黃繼奎

判斷物體是否空心的問題能有效考查同學(xué)們對(duì)密度概念的理解，以及利用密度知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，因此成為提升同學(xué)們科學(xué)思維的經(jīng)典題型。下面對(duì)此類問題歸類剖析。

一、定量計(jì)算型

例1 已知鐵的密度ρ鐵=7.9 × 103 kg/m3。小聰同學(xué)為了判斷一個(gè)小鐵球是否空心，他利用天平測(cè)出鐵球的質(zhì)量，然后利用排水法測(cè)出小鐵球完全浸沒在量筒內(nèi)前后的體積，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表。請(qǐng)判斷小鐵球是空心的還是實(shí)心的，寫出依據(jù);若是空心的，求出空心部分體積。

[鐵球的質(zhì)量m/g 水的體積V水/mL 水和鐵球的總體積V總/mL 79 60 85 ]

[思路點(diǎn)撥

]

解決本題的關(guān)鍵是判斷物體是否空心，判斷方法有以下三種：（1）比較密度法：根據(jù)鐵球的質(zhì)量和體積，利用[ρ=mV]求出鐵球的密度為[ρ球]，然后與[ρ鐵]相比較，若[ρ球=ρ鐵]則為實(shí)心，若[ρ球<ρ鐵]則為空心;（2）比較體積法：假設(shè)鐵球是實(shí)心的，根據(jù)鐵球的質(zhì)量和鐵的密度，利用[V=mρ]求出鐵球中鐵的體積為[V鐵]，然后與[V球]相比較，若[V鐵=V球]則為實(shí)心，若[V鐵<V球]則為空心;（3）比較質(zhì)量法：假設(shè)鐵球是實(shí)心的，根據(jù)鐵球的體積和鐵的密度，利用[m=ρV]求出鐵球的質(zhì)量為[m球]，然后與[m鐵]相比較，若[m球=m鐵]則為實(shí)心，若[m球>m鐵]則為空心。

解法一：比較密度法

（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知：V球=V總 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，鐵球的密度為：[ρ球=m球V球=79 g25 cm3=3.16 g/cm3]，由于鐵的密度[ρ鐵=7.9×103 kg/m3=7.9 g/cm3]，即[ρ球<ρ鐵]，所以鐵球是空心的;（2）空心部分的體積：V空心=V球 - V鐵=V球 - [m鐵ρ鐵]? =? 25 cm3 - [79 g7.9 g/cm3] = 25 cm3 - 10 cm3=15 cm3。

解法二：比較體積法

（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知：V球=V總 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，假設(shè)鐵球是實(shí)心的，鐵球中鐵的體積：[V鐵=m鐵ρ鐵=79 g7.9 g/cm3=10 cm3] < 25 cm3，即V鐵

解法三：比較質(zhì)量法

（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知：V球=V總 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，假設(shè)球是實(shí)心的，鐵球的質(zhì)量為：[m球=ρ鐵V球=7.9 g/cm3×25 cm3=197.5 g>79 g]，即[m球>m鐵]，所以鐵球是空心的;（2）空心部分的體積：V空心=V球 - V鐵=V球 - [m鐵ρ鐵]? =? 25 cm3 - [79 g7.9 g/cm3] = 25 cm3 - 10 cm3=15 cm3。

[能力提升

]

一個(gè)體積為3000 cm3的銅球質(zhì)量為17.8 kg，它是實(shí)心還是空心的？如果是空心的，空心部分的體積為多大？若在銅球的空心部分注滿水，球的總質(zhì)量是多少？（銅的密度為8.9 × 103 kg/m3）

答案：該銅球是空心的 空心部分的體積為1000 cm3 若在銅球的空心部分注滿水，球的總質(zhì)量是18.8 kg

二、定性比較型

例2 質(zhì)量、體積都相同的鋁球、鐵球和銅球，已知ρ銅>ρ鐵>ρ鋁，則下列說法正確的是（ ）。

A. 若鋁球是實(shí)心的，則銅球、鐵球一定是空心的

B. 若銅球是實(shí)心的，則鋁球、鐵球一定是空心的

C. 若鐵球是實(shí)心的，則鋁球、銅球一定是空心的

D. 鋁球、鐵球和銅球都可能是空心的

[思路點(diǎn)撥

]

在三球外形、體積和質(zhì)量都相同的情況下，判斷它們是實(shí)心還是空心的方法有兩種：（1）根據(jù)密度的物理意義判斷：密度是表示構(gòu)成物質(zhì)的疏密程度的物理量，不同物質(zhì)的疏密程度一般不同，若三球的平均密度相等，則密度大的物質(zhì)構(gòu)成的球一定是空心的;（2）比較質(zhì)量或體積法：假設(shè)三球都是實(shí)心的，利用密度公式變形可比較出三球的實(shí)際體積或?qū)嶋H質(zhì)量大小，然后結(jié)合題設(shè)條件判斷。

解法一：密度概念判斷法

三球的質(zhì)量和體積相等，根據(jù)[ρ=mV]可知三球的密度相同。由于鋁的密度最小，則密度較大的銅和鐵構(gòu)成的球一定是空心的，鋁球可能是實(shí)心的也可能是空心的。故選AD。

解法二：比較質(zhì)量或體積法

（1）假設(shè)三球都是實(shí)心的，根據(jù)[m=ρV]可知，在三球體積相同時(shí)，球體的質(zhì)量跟物質(zhì)的密度成正比，銅的密度最大，則銅球的質(zhì)量最大。由于三球的質(zhì)量相同，則銅球和鐵球一定是空心的，鋁球可實(shí)可空。故選AD。（2）假設(shè)三球都是實(shí)心的，根據(jù)[V=mρ]可知，在三球質(zhì)量相同時(shí)，球體的體積跟物質(zhì)的密度成反比，鋁的密度最小，則鋁球的體積最大。由于三球的體積相同，則銅球和鐵球一定是空心的，鋁球可實(shí)可空。故選AD。

[能力提升

]

三個(gè)體積、質(zhì)量都相同的空心銅球、鐵球和鋁球（已知ρ銅>ρ鐵>ρ鋁），其中空心部分體積最大的是（ ）。

A. 銅球 B. 鐵球 C. 鋁球 D. 無法判斷

答案：A