王國軍

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，有其自身完整、清晰的邏輯體系和準(zhǔn)確、規(guī)范的表達(dá)體系，教師必須在課堂上牢牢“抓住”學(xué)生的眼和腦，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展過程。為此，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)史的相關(guān)素材，編成詩作應(yīng)用于課堂，學(xué)生們對(duì)這種形式很感興趣，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣越來越濃了。

一、概述數(shù)學(xué)核心概念的發(fā)展簡史，激發(fā)興趣

函數(shù)是數(shù)學(xué)中的核心概念，函數(shù)從形成到完善經(jīng)歷了三百多年的時(shí)間。學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也知道了與之相關(guān)的解析式、圖像等表示方法。在高一階段，該如何重講函數(shù)呢？在講解函數(shù)的概念時(shí)，筆者用一首詩開頭：

萊氏創(chuàng)詞歐氏簡，概念發(fā)展三百年。

貝式歐變狄對(duì)應(yīng)，清李善蘭譯數(shù)函。

翻閱數(shù)學(xué)史，可以清楚地看到，在函數(shù)概念的發(fā)展過程中有幾個(gè)重要的時(shí)間節(jié)點(diǎn)及數(shù)學(xué)家。1692年，德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨用“function”表示函數(shù)，函數(shù)這個(gè)名詞從此面世。但函數(shù)到底是什么，其內(nèi)涵與外延還不清楚明了。1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努利（萊布尼茨的學(xué)生）指出了函數(shù)的形式—函數(shù)要用一個(gè)式子表示—突出了函數(shù)的形式化特征。這可以稱為函數(shù)概念發(fā)展的第一階段。1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉指出函數(shù)的內(nèi)容—變量及變化，并且用f （x）表示函數(shù)，函數(shù)的符號(hào)從此固定下來。這就是函數(shù)概念發(fā)展的第二階段。這就是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)的概念，這樣函數(shù)的概念雖然模糊，但基本上建立起來了。德國數(shù)學(xué)家狄立克萊于1837年進(jìn)一步指出函數(shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，函數(shù)是建立在非空數(shù)集上的映射，函數(shù)的本質(zhì)就是一種對(duì)應(yīng)。這就是函數(shù)概念發(fā)展的第三階段。1895年，清朝數(shù)學(xué)家李善蘭將“function”譯為“函數(shù)”，從此函數(shù)的概念進(jìn)入我國，成為數(shù)學(xué)工作者的專用術(shù)語。

教材上對(duì)數(shù)學(xué)核心概念也有相應(yīng)的補(bǔ)充，作為閱讀材料出現(xiàn)。這部分內(nèi)容因考試不考，教師往往不講，學(xué)生自然也不會(huì)過多注意。筆者認(rèn)為，這一部分應(yīng)該引起教師的注意，這既是數(shù)學(xué)史的有機(jī)組成部分，也是數(shù)學(xué)文化的重要載體。通過這一板塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以從另一角度看數(shù)學(xué)，也有利于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)整體的知識(shí)系統(tǒng)。

二、評(píng)析數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生歷程的得失，激發(fā)動(dòng)力

對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，也是人類文明發(fā)展歷程中的重要里程碑。筆者曾經(jīng)詢問過學(xué)生對(duì)數(shù)的簡單歷史，大部分學(xué)生對(duì)此不甚了解，不少學(xué)生因?qū)?shù)過于抽象且不好理解而產(chǎn)生了畏難情緒。筆者在講解對(duì)數(shù)時(shí)，用這樣的詩句開頭：

天文航海算數(shù)繁，曾借三角化加減。

史萌納得歐揭底，根式指對(duì)一冪涵。

16、17世紀(jì)之交，隨著天文觀測和航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，解決大數(shù)運(yùn)算的問題日益凸顯，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急。16世紀(jì)前半葉，德國數(shù)學(xué)家約翰·維爾納用三角函數(shù)的積化和差公式進(jìn)行大數(shù)的計(jì)算，但對(duì)于大數(shù)的乘方與開方運(yùn)算卻沒有好的解決方法，這就是前兩句詩的內(nèi)容。第三句涉及對(duì)數(shù)發(fā)展中的三個(gè)人，史提非、納皮爾和歐拉。史提非天才地創(chuàng)造了兩排數(shù)（見圖1），將數(shù)的運(yùn)算成功簡化。比如，計(jì)算16×64的值，就在上排指數(shù)列中找到4和5兩個(gè)數(shù)，相加得到9，再在下排原數(shù)列中找到9對(duì)應(yīng)的數(shù)512，這就是16×64的計(jì)算結(jié)果。這就是對(duì)數(shù)產(chǎn)生的萌芽。1614年，納皮爾用運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何術(shù)語重新解釋了上述原理，發(fā)明了對(duì)數(shù)。1624年，納皮爾與布里格斯共同商定了以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)，公布了以10為底1～2000及90000～100000的14位常用對(duì)數(shù)表，極大地發(fā)展了對(duì)數(shù)的運(yùn)算價(jià)值。1770年，大數(shù)學(xué)家歐拉用y=ax定義對(duì)數(shù)x=loga y，并指出對(duì)數(shù)源于指數(shù)，但對(duì)數(shù)的發(fā)明卻早于指數(shù)（指數(shù)符號(hào)在1637年由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開始使用），成為數(shù)學(xué)史上的一大珍聞。

通過解讀這首小詩，學(xué)生們既為史提非天才的創(chuàng)造所折服，又為其與對(duì)數(shù)的發(fā)明失之交臂而感嘆;為納皮爾另辟蹊徑發(fā)明對(duì)數(shù)而感嘆，又為其沒有揭示對(duì)數(shù)的本質(zhì)而遺憾;深深佩服數(shù)學(xué)大師歐拉的高瞻遠(yuǎn)矚，又為對(duì)數(shù)最終有了數(shù)學(xué)的解釋而興奮。由認(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)源于指數(shù)，學(xué)生自然而然地想到了用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)應(yīng)記憶對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，這樣指數(shù)與對(duì)數(shù)的聯(lián)系就更加緊密。這樣處理教材，既減少了學(xué)生不必要的記憶量，又突出了數(shù)學(xué)概念間的天然聯(lián)系，加之對(duì)歷史人物得與失的感慨，學(xué)生怎么會(huì)沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣呢？

三、總結(jié)數(shù)學(xué)核心板塊的公式系統(tǒng)，激勵(lì)精神

三角函數(shù)部分由于有大量的公式需要記憶，學(xué)生對(duì)此頗有怨言：一怕公式記不準(zhǔn)，二怕不能正確選擇合適的公式。三角函數(shù)有一句流傳甚廣的記憶口訣—奇變偶不變，符號(hào)看象限。雖然此口訣言簡意賅，減少了記憶量，但對(duì)誘導(dǎo)公式如何使用卻沒有交代。筆者在講授“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”時(shí)，先對(duì)課題里的“誘導(dǎo)”一詞進(jìn)行了新的解讀，怎么誘呢？誘在這里就是湊角，用第一象限里的銳角α表示其他三個(gè)象限的角。用什么導(dǎo)呢？這里的導(dǎo)就是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的關(guān)系。成功引起學(xué)生的關(guān)注之后，筆者將三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式分成兩組進(jìn)行解構(gòu)，一組是保名變換，一組是改名變換。重點(diǎn)關(guān)注誘導(dǎo)前后三角函數(shù)名稱和符號(hào)的變化，并利用單位圓結(jié)合對(duì)稱性將公式改名與否、變號(hào)與否進(jìn)行了解釋和說明。在總結(jié)階段，筆者拋出這樣一首詩，作為本節(jié)課的結(jié)束：

三角化簡先誘導(dǎo)，負(fù)角化正大變小。

奇變偶同定符號(hào)，圓中對(duì)稱自明了。

筆者沒有對(duì)這首詩做任何解釋，當(dāng)這首詩完整出現(xiàn)在黑板上時(shí)，正好下課鈴聲響起，同學(xué)們自發(fā)鼓掌，沉浸在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣中。

教無定法，教無常法。在教學(xué)上從來沒有一種方法包打天下。作為一種有益的嘗試，筆者將數(shù)學(xué)史編成詩，將“數(shù)學(xué)詩”引入課堂，取得了很好的教學(xué)效果。筆者希望與更多的同行交流，也歡迎大家批評(píng)指正。

（作者單位：河北省石家莊市第二中學(xué)）

責(zé)任編輯：胡玉敏

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