廣東省廣州市廣東實驗中學(xué)(510000)沈源欽 肖勇鋼

為推進(jìn)廣東普通高中新課程新教材實施,彰顯國家級示范校的示范引領(lǐng)功能,華南師大附中聯(lián)合廣東實驗中學(xué)、執(zhí)信中學(xué)于12月2-4日共同舉辦廣東省“聚焦育人模式改革、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)”的國家級示范校研討交流活動,課堂教學(xué)通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行直播,筆者代表廣東實驗中學(xué)數(shù)學(xué)科組參加同課異構(gòu)課堂教學(xué),引發(fā)了大家的熱議.以下是我們根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1],及追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)[2]設(shè)計的教案和反思,希望廣大讀者批評指正.

本設(shè)計著重突出三角函數(shù)的“函數(shù)性”[3];注重促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的日常滲透和培養(yǎng);重構(gòu)教材內(nèi)容與編排,力使教學(xué)邏輯主線明確,在課堂實踐中以教師問題串為引,層層推進(jìn),在同課異構(gòu)課堂現(xiàn)場師生互動熱烈,師生問答有效突破難點,順利實現(xiàn)課堂預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo),效果較為理想.

1 教學(xué)設(shè)計

【教材】人民教育出版社普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第177 頁至第180 頁[4].

【教學(xué)對象】華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一年級學(xué)生.

【教材分析】三角函數(shù)是解決實際問題的重要工具,是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,是對函數(shù)概念、性質(zhì)、圖像變換及函數(shù)應(yīng)用的進(jìn)一步深化,是一般函數(shù)概念的下位知識.

通過本章的學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

三角函數(shù)概念這一節(jié)之前,學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角、弧度制等內(nèi)容,后續(xù)將接著研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)解決一些實際問題[5].而本節(jié)內(nèi)容是研究三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ),故本節(jié)內(nèi)容在本章中具有承上啟下的地位.本節(jié)內(nèi)容分兩課時,研究路徑是“明確研究對象-→對應(yīng)關(guān)系的特點分析-→定義-→性質(zhì)”.

而第一課時任意角三角函數(shù)概念的重點是借助單位圓上點的圓周運動理解任意角的正弦、余弦的定義[5][3],而解決這一重點的關(guān)鍵是在直角坐標(biāo)系中,借助單位圓、象限角等知識,獲得對應(yīng)關(guān)系,確認(rèn)是函數(shù),再抽象概括出三角函數(shù),在這一過程中,學(xué)生可以感受到數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)化、化繁為簡等數(shù)學(xué)思想和方法.

【教學(xué)目標(biāo)】

(1)借助單位圓上點的圓周運動,結(jié)合已學(xué)習(xí)的任意角和弧度,理解抽象化與形式化的任意角正弦、余弦定義,體會定義的合理性;

(2)能根據(jù)三角函數(shù)定義求特殊角的三角函數(shù)值;

(3)能求解和理解“坐標(biāo)比”定義:只要終邊上任意一點,便可以求得相應(yīng)的三角函數(shù)值;同時升華認(rèn)識到單位圓這一數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點.

(4)經(jīng)歷抽象概括三角函數(shù)模型的過程中,體會數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)化、化繁為簡等數(shù)學(xué)思想和方法;(獲得基本思想)

(5)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)的發(fā)展.

(5)體會三角函數(shù)發(fā)展歷史與課程學(xué)習(xí)階段的一致性感受數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折,以及追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科價值.

【學(xué)生學(xué)情分析】

(1)認(rèn)識基礎(chǔ):學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了函數(shù)的初步概念,進(jìn)入高中后又從集合與對應(yīng)的觀點重新刻畫了函數(shù)的概念,研究了指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)[5],故學(xué)生已具備了學(xué)習(xí)和研究一個新函數(shù)的基礎(chǔ)知識、基本活動經(jīng)驗和初步能力.本節(jié)課之前學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角,以及弧度數(shù)與實數(shù)的一一對應(yīng),這為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

(2)認(rèn)知障礙:三角函數(shù)是“從角(實數(shù))的集合到坐標(biāo)分量的集合”[5]的對應(yīng)關(guān)系,其概念的構(gòu)建是一個數(shù)學(xué)化的過程,這與以前各類初等函數(shù)概念的建構(gòu)過程是不一樣的,與學(xué)生的已有經(jīng)驗有較大差距(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等是通過具體事例的共性歸納而抽象出來,其解析式有明確的運算含義)[3],學(xué)生對任意角三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的理解要比從前困難些,因此在“對應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識上要破除定勢[3],這是教與學(xué)的一個難點,所以在教學(xué)中需以直觀的幾何方式呈現(xiàn)單位圓上點的圓周運動,通過合理設(shè)計問題串,及函數(shù)值運算環(huán)節(jié),促進(jìn)學(xué)生更好地理解定義,突破該學(xué)習(xí)難點.

【教學(xué)重點、難點】

重點:借助單位圓上點的圓周運動建構(gòu)和理解任意角的正弦、余弦的定義[8];能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值.

難點:從單位圓上點的圓周運動中如何確定變量,如何明確對應(yīng)關(guān)系,如何構(gòu)建和理解對應(yīng)法則.

【教法、學(xué)法分析】

任意角三角函數(shù)的概念是一般函數(shù)概念的下位概念,是“下位學(xué)習(xí)”[3].為了更好地突出“任意角三角函數(shù)的函數(shù)性”并能根據(jù)定義進(jìn)行簡單求值,所以在教學(xué)策略上,以生活情景摩天輪抽象出圓周上點P的運動為教學(xué)起點[9],調(diào)動象限角、弧度制、單位圓、坐標(biāo)系等相關(guān)知識,從圓周運動中尋找變量、確定變量,抽象并概括出任意角三角函數(shù)的概念.因此在本課時中采用“以學(xué)生活動為主線,教師通過問題串引導(dǎo)學(xué)生思考,構(gòu)建和理解任意角的正弦、余弦的定義的教學(xué)策略.部分教學(xué)策略設(shè)計說明如下:

(1)利用單位圓上的圓周運動,由老師通過適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生尋找變量;

(2)由老師通過問題串提問,尋找變量α與P點的橫、縱坐標(biāo)間的對應(yīng)關(guān)系,從而為理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系奠定基礎(chǔ);

(3)再通過問題引導(dǎo),使學(xué)生明確三角函數(shù)的“三要素”,突出了三角函數(shù)的“函數(shù)性”,使得三角函數(shù)定義的引入水到渠成,更好地建構(gòu)和理解任意角正弦、余弦的定義.

【教學(xué)流程】

(一)提出問題,尋找變量

1.教學(xué)內(nèi)容

摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施,乘客坐在摩夭輪的座艙慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.

現(xiàn)已知某摩天輪最高點距離地面160 米,轉(zhuǎn)盤直徑153米,游客乘坐在座艙P,從距離地面最近的位置A出發(fā),轉(zhuǎn)盤逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一周約30 分鐘.(即4πrad/h)

如何刻畫(描述)座艙P的位置變化?

摩天輪上座艙P的運動可以近似看做質(zhì)點在做圓周運動.

數(shù)學(xué)問題:單位圓O上的點P以A為起點,做逆時針方向旋轉(zhuǎn).用哪些變量刻畫(描述)點P的位置變化?

(1)借助角α的變化刻畫點P的位置變化:形

(2)借助坐標(biāo)描述點P的位置:數(shù)形結(jié)合

2.師生活動

教師引言:經(jīng)過前兩節(jié)任意角和弧度制的學(xué)習(xí),我們一起來解決下面的問題:游客乘坐在座艙P,從距離地面最近的位置A出發(fā),轉(zhuǎn)盤逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn).當(dāng)我們把座艙P看成質(zhì)點,則可看成點P在圓周上運動.為研究的方便,我們在單位圓進(jìn)行研究,因此可抽象出這個數(shù)學(xué)問題.

提出問題:單位圓O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn),可以用哪些變量刻畫點P的位置變化?

注:學(xué)生可能回答弧長、弦長、圓周角∠AOP、坐標(biāo)、時間等,在教學(xué)中都要給予回應(yīng),盡可能給予表揚,并理性討論.

教師引導(dǎo)語:我們一起來考察這些變量,看看哪些比較合理.

特別注意:這里對弧長、弦長變量的考察,可以從給“定弧長和弦長,可能得到兩個P點位置”進(jìn)行點評.

其中,當(dāng)學(xué)生回答坐標(biāo)時,教師肯定學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)意識和思想,同時教師及時追問引導(dǎo)1:坐標(biāo)系放在什么位置合適?【即如何建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系】

通過學(xué)生回答建系問題,教師升華總結(jié):建系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁,是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要方法.依據(jù)對稱性以及關(guān)于任意角終邊在非負(fù)半軸的要求建系.通過坐標(biāo)表示點P:數(shù)形結(jié)合.這個變量合理.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析角:給定角α,可以確定射線OP,可以確定射線與單位圓交點P(唯一).板書“射線OP →點P”.并及時引導(dǎo)學(xué)生從摩天輪轉(zhuǎn)動不止1 圈及順時針轉(zhuǎn)動等,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)為任意角.這個變量合理.

【設(shè)計意圖】1.由摩天輪實際例子抽象出數(shù)學(xué)問題,明確本課時的研究任務(wù);2.通過將一般圓周運動簡化為在單位圓進(jìn)行研究,不失一般性,體現(xiàn)化繁為簡,突出本質(zhì)的數(shù)學(xué)研究方法.通過教師的提問和引導(dǎo),尋找到刻畫數(shù)學(xué)模型(即刻畫P點位置變化)的兩個變量,為下一環(huán)節(jié)的探究自然鋪墊.

(二)聯(lián)系變量、構(gòu)建函數(shù)

1.尋找對應(yīng)關(guān)系

由教師引導(dǎo):角α與點P橫、縱坐標(biāo)建立對應(yīng)關(guān)系

教師邊通過PPT 動畫的展示,邊提問學(xué)生(點名),OA是始邊,當(dāng)我們確定角α?xí)r,能確定什么?——(學(xué)生可能回答終邊),教師追問:終邊唯一嗎?那終邊此時和單位圓有幾個交點,交點是誰?——(學(xué)生回答只有一個,是P點)

此過程教師邊提問邊在PPT 給出如下過程:

2.獲得函數(shù)關(guān)系

教師層層引導(dǎo),

第一次引導(dǎo):α定了,y定了,幾個?(學(xué)生回答:1 個);α定了,x定了,幾個?(學(xué)生回答:1 個)

第二次引導(dǎo):這樣的話,給定角α,α什么范圍呢?(學(xué)生回答實數(shù)范圍,教師要明確任意角的集合就是實數(shù)集R,看來引入弧度制是很有必要的.),有唯一實數(shù)的y與之對應(yīng);同理,給定角α,實數(shù)有唯一實數(shù)的x與之對應(yīng).這就是什么?(學(xué)生回答函數(shù))

學(xué)生給出回答,教師進(jìn)行如下板書:

教師小結(jié):綜合以上大家的回答,得到比較清晰的兩個函數(shù)關(guān)系,在弧度制下任意角為自變量,分別以橫、縱坐標(biāo)為函數(shù)值的兩個函數(shù)了,不妨記為f和g(板書如下)

【設(shè)計意圖】(1)這是本節(jié)課的重點和難點,結(jié)合一般函數(shù)概念、任意角、弧度制等知識,通過教師直觀演示、不斷設(shè)問、追問和層層引導(dǎo),學(xué)生獲得三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,幫助學(xué)生在一般函數(shù)觀念下理清三角函數(shù)的“三要素”,初步構(gòu)建三角函數(shù)概念,為理解形式化的三角函數(shù)定義起關(guān)鍵作用,突破了教與學(xué)的難點.

(2)在概念的形成過程中,體會函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想.

(三)理解法則,構(gòu)建概念

教師:請同學(xué)根據(jù)剛才兩個函數(shù)關(guān)系,求解函數(shù)值.

注:學(xué)生通過計算,觀察給定角之間的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)關(guān)系,求得結(jié)果.教師通過提問學(xué)生獲得結(jié)果,其中重點提問學(xué)生回答和的計算過程.

教師需做出三點引導(dǎo):(1)要點出利用初中解直角三角形解題;(2)引導(dǎo)學(xué)生在長度上添加符號獲得坐標(biāo);(3)由初中直角三角形得和進(jìn)而得到并由學(xué)生等,從而獲得對應(yīng)關(guān)系表達(dá)式:y=f(α)=sinα,x=g(α)=cosα,

根據(jù)“點P縱坐標(biāo)y、橫坐標(biāo)x都是角α的函數(shù)”的函數(shù)關(guān)系求f(a)、g(a)

【設(shè)計意圖】這是本設(shè)計的亮點.通過學(xué)生練習(xí),鞏固理解剛剛構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系,幫助學(xué)生構(gòu)建和理解三角函數(shù)解析式.也為獲得初高中定義關(guān)聯(lián)探究提供直觀素材.

(四)關(guān)聯(lián)探究,深化認(rèn)識

教師提問:初中也有三角函數(shù),那初高中的定義有什么區(qū)別和聯(lián)系?(由學(xué)生回答,并整理為三個維度的比較)

初中定義高中定義函數(shù)值符號值均為正數(shù)可正可負(fù)可零角的范圍銳角任意角函數(shù)值定義邊長比值終邊上點的坐標(biāo)

教師引導(dǎo):初高中三角函數(shù)定義有什么內(nèi)在聯(lián)系?

要引導(dǎo)學(xué)生在上一張PPTΔOMP中,由初中定義得由高中定義得sinα=y.

【設(shè)計意圖】通過上一環(huán)節(jié)的運算結(jié)果,由教師引導(dǎo)學(xué)生分三維度進(jìn)行回答,體會高中三角函數(shù)定義與初中三角函數(shù)定義的區(qū)別,從銳角的初高中運算結(jié)果的一致認(rèn)知到高中三角函數(shù)定義統(tǒng)一和兼容了初中三角函數(shù)定義.

(五)明確要素、理解概念

1.教師給出三角函數(shù)的定義并黑板板書:

設(shè)α是一個任意角,α ∈R,它的終邊OP與單位圓交于點P(x,y),把點P的縱坐標(biāo)y定義為角α的正弦函數(shù)y=sinα;把點P的橫坐標(biāo)x定義為角α的余弦函數(shù)x=cosα.

2.教師引導(dǎo)學(xué)生理解從函數(shù)三要素對正切函數(shù)進(jìn)行“檢驗”,確認(rèn)其函數(shù)關(guān)系.

把點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值定義為角α的正切函數(shù).

3.教師要特別強調(diào):α是自變量,sinα是整體,離開自變量α的sin,cos,tan 是沒有意義的.

4.給出三角函數(shù)的常用記法:

教師要給學(xué)生特別指出此處的x、y,與初始定義中的x、y是不一樣的!

【設(shè)計意圖】(1)在建構(gòu)三角函數(shù)概念過程中,通過再次明確函數(shù)三要素,較為準(zhǔn)確地理解三角函數(shù)定義.(2)給出三角函數(shù)的常用記號,為后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)做好知識和符號鋪墊.

(六)歷史拓展、感同身受[9][10]

教師講述:任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一.而三角學(xué)是天文觀察結(jié)果推算的一種方法,因此在相當(dāng)長的時期里隸屬于天文學(xué).

直到1464年,德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯第一次獨立于天文學(xué)之外對三角知識作了較系統(tǒng)的闡說,但僅僅采用了正弦和余弦函數(shù)且函數(shù)值限定在正數(shù)范圍.

而后哥白尼學(xué)生將三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長之比,制作了更精確的三角函數(shù)表.

18世紀(jì)歐拉新定義了三角函數(shù)(接近現(xiàn)今定義),從函數(shù)角度去理解,使其可脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運算,反映運動和變化的過程,且在微積分、物理學(xué)研究(如振動、聲音傳播等)中大放光彩.

【設(shè)計意圖】通過介紹三角函數(shù)的歷史發(fā)展(與學(xué)生的三角函數(shù)概念學(xué)習(xí)過程具有相似性),使其感同身受,獲得共鳴,體會數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折;滲透數(shù)學(xué)文化,傳遞數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科價值.

(七)深化應(yīng)用

1.進(jìn)階訓(xùn)練

例1如圖已知角α的終邊上的點求角α的正弦、余弦和正切值.

2.變式訓(xùn)練

變式 1:已知角α的終邊經(jīng)過點P(-12,5),求角α的正弦、余弦和正切值.

分析:ΔOM1P1～ΔOMP,由得由.

3.拓展理解

變式2:已知角α的終邊經(jīng)過點P(x,y),求角α的正弦、余弦和正切值.

分析:ΔOM1P1～ΔOMP,由v和y同號,則;由v和x同號,則.

4.獲得等價定義

教師注意引導(dǎo):1.當(dāng)r=1 時,則為初始定義形式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡潔和形式美;2.當(dāng)α是銳角時,則函數(shù)值則等價于邊長比,再次認(rèn)識初高中定義的聯(lián)系.

設(shè)角α的終邊上任意一點的坐標(biāo)為(x,y),它與原點的距離為r,則.

【設(shè)計意圖】1.通過進(jìn)階和變式訓(xùn)練鞏固所學(xué)定義,也通過練習(xí)層層遞進(jìn),為三角函數(shù)的“坐標(biāo)比”定義證明做了鋪墊.最終使學(xué)生認(rèn)識到:只要終邊上任意一點,便可以求得相應(yīng)的三角函數(shù)值,得到三角函數(shù)的“坐標(biāo)比”定義.2.使學(xué)生同時對單位圓這一數(shù)學(xué)模型的再認(rèn)識:單位圓對三角函數(shù)定義起到更易理解、運算的便捷性.

(八)課堂小結(jié)

1.知識小結(jié):三角函數(shù)定義,以及如何求三角函數(shù)值

2.思想歸納:

(1)從引入坐標(biāo)表示感受數(shù)形結(jié)合的思想和方法,從如何建系及在單位圓中探究體會數(shù)學(xué)化繁為簡的方法;從具體問題—定義—例題—新結(jié)論的學(xué)習(xí)路徑,體會數(shù)學(xué)中特殊與一般不斷轉(zhuǎn)化的研究方法.

(2)經(jīng)歷從認(rèn)識任意角三角函數(shù)新概念統(tǒng)一兼容初中三角函數(shù)概念;從三角函數(shù)歷史中,看到數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折和嚴(yán)謹(jǐn)追求.

(3)升華對弧度制引入必要性的認(rèn)識.

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié),升華認(rèn)識

(九)作業(yè)布置

1.完成書P180 練習(xí)題、P184 習(xí)題5.2 第1,11,12 題

2.完成特殊角的三角函數(shù)值表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度sin α cos α tan α

3.拓展閱讀:閱讀課本P186 頁,課后查閱相關(guān)知識.

2 設(shè)計說明

(1)本設(shè)計要體現(xiàn)新課程理念及本課時的教材實施要求,更加突出體現(xiàn)三角函數(shù)的“函數(shù)性”,邏輯主線明確,在課堂實踐中以教師問題串為引,層層推進(jìn),在師生問答互動中突破難點.

(2)與以往課標(biāo)和舊教材(實驗版)比較,高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2020 修訂版)和新教材(2019 版)對三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)要求和知識呈現(xiàn)順序發(fā)生變化,其更加凸顯三角函數(shù)的“函數(shù)性”,以及以數(shù)學(xué)建模作為邏輯主線的編排.對于新課標(biāo)新教材,一線教師對三角函數(shù)概念應(yīng)構(gòu)建如下的認(rèn)知概念圖式[5]:

①構(gòu)建三角函數(shù)的概念,是一個數(shù)學(xué)化的過程,它是直接由單位圓上點的運動規(guī)律的描述而得到;

②三角函數(shù)的概念對應(yīng)關(guān)系與眾不同,主要表現(xiàn)在不以“代數(shù)運算”為媒介,要突出其“函數(shù)性”.

③理解三角函數(shù)概念,關(guān)鍵在于搞清楚其“函數(shù)三要素”,核心在于明確它的對應(yīng)關(guān)系.

④任意角三角函數(shù)以坐標(biāo)分量為函數(shù)值,是研究現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的;而銳角三角函數(shù)以比值為函數(shù)值,是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來的,他們研究的對象不同,表現(xiàn)的性質(zhì)也不同.

(3)教材內(nèi)容重構(gòu)

①基于教學(xué)對象華師附中學(xué)生有較高的學(xué)習(xí)水平和理解能力,對教材呈現(xiàn)做處理如下:教材中的探究1:求三個特殊角的終邊與單位圓的交點P,從而得到“任意給一個角α,其終邊與OP與單位圓的坐標(biāo)唯一確定”的結(jié)論,處理為由學(xué)生通過PPT 動畫的演示,通過口頭邏輯推理得到結(jié)論.

②通過設(shè)計求函數(shù)值的運算環(huán)節(jié),學(xué)生的“再創(chuàng)造”過程,讓學(xué)生自然構(gòu)建解析式,突破對函數(shù)關(guān)系的理解障礙;同時將教材探究2 內(nèi)容自然融入其中,直觀的數(shù)據(jù)不僅讓學(xué)生體會初高中三角函數(shù)定義的聯(lián)系和區(qū)別.這一部分是本設(shè)計的亮點之一!

根據(jù)“點P的縱坐標(biāo)y、橫坐標(biāo)x都是角α的函數(shù)”的函數(shù)關(guān)系,求f(α),g(α)

初中定義高中定義函數(shù)值符號值均為正數(shù)可正可負(fù)可零角的范圍銳角任意角函數(shù)值定義邊長比值終邊上點的坐標(biāo)

(4)將后續(xù)課程有關(guān)于三角學(xué)與天文學(xué)的數(shù)學(xué)史資料,與筆者查閱的三角函數(shù)概念歷史發(fā)展資料有機整合,結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念的進(jìn)程一致性,使學(xué)生感同身受,產(chǎn)生共鳴,滲透數(shù)學(xué)文化,傳遞數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科價值,為本設(shè)計的另一亮點.

3 評課議課與教學(xué)改進(jìn)

本教學(xué)設(shè)計在廣東省教育廳、教育研究院指導(dǎo)下的2020廣東省普通高中新課程新教材實施研討交流活動中進(jìn)行實施,能順利實現(xiàn)課堂預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo),師生互動熱烈,教學(xué)效果理想.廣大省內(nèi)同行通過網(wǎng)絡(luò)直播觀看并進(jìn)行評議指導(dǎo)和鼓勵,專家也進(jìn)行點評,評課議課內(nèi)容摘取如下:

中學(xué)同行議課:(1)上課的感覺非常好,結(jié)構(gòu)處理個人覺得最好(廣州執(zhí)信中學(xué)朱老師);第一次聽到把三角函數(shù)概念講得這樣透徹(陽春一中劉城老師);(3)教學(xué)設(shè)計能重構(gòu)教材,兼具創(chuàng)新性和操作性;(4)情景引入自然,講解水到渠成,自然而然;(5)師生互動熱烈,教師層層遞進(jìn),有效引導(dǎo).(網(wǎng)絡(luò)留言)

專家點評(廣東省教育研究院數(shù)學(xué)科主任吳有昌教授):沈老師對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容分析清楚,理解到位,對學(xué)生的認(rèn)知障礙估計準(zhǔn)確.教學(xué)目標(biāo)全面,注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng);教學(xué)方法策略合理,對在建模過程中如何選擇變量、如何建立和理解弧度制下的任意角和它的終邊在單位圓上交點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系這兩個難點設(shè)計了問題串,順利突破了難點,突出了從函數(shù)這個大概念下理解三角函數(shù)的定義,凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì).教學(xué)設(shè)計整體合理,教學(xué)實際效果好.

筆者的教學(xué)反思:根據(jù)課堂的實踐情況,筆者認(rèn)為本設(shè)計可在以下三方面進(jìn)行改進(jìn):

(1)情景設(shè)計和引入可以更加飽滿,點明周期性現(xiàn)象;

(2)數(shù)學(xué)史部分可以放置在例題之后,小結(jié)之前,使得課堂主線邏輯性更強;