廣東省廣州市第二中學(510530)李碧

1 元認知理論

元認知(metacognition)的概念起源于對“記憶的記憶”之研究,由美國心理學家弗拉維爾(Flavell)最先提出.他將元認知概括為“個體對自己認知狀態(tài)和過程的意識和調(diào)節(jié)”(Flavell,1985).元認知的核心意義是對認知的認知,故稱其為“元認知”.弗拉維爾認為,元認知包含兩個主要成分:元認知知識和元認知體驗.元認知知識是個體有關(guān)自己或他人的認知活動、過程、結(jié)果及相關(guān)的知識.元認知體驗是認知主體隨著認知活動的展開而產(chǎn)生的理性或感性的綜合體驗或感受.

國內(nèi)學者(如董奇、陳英和等)多傾向于認為元認知由三個成分構(gòu)成:元認知知識、元認知體驗和元認知監(jiān)控.其中元認知監(jiān)控是指主體在進行認知活動的過程中,將自己正在進行的認知活動作為對象,不斷地對其進行積極而自覺地監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)的過程.

2 元認知理論與數(shù)學解題的關(guān)聯(lián)

波利亞解題理論中最著名的首推他的《怎樣解題》.波利亞的“怎樣解題表”分為“弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧”四個階段,對整個解題的過程實施元認知監(jiān)控.表中有大量提示性的問題,但這些問題不是問別人,而是問自己,實際是解題者的自我詰問,自我反思,也就是“客體水平”的,屬于認知性的;問題中還有一部分是以解題者自身為對象,針對主體內(nèi)部心理現(xiàn)象認識過程的,屬于元認知性的.譬如說:“你以前見過它嗎?”“你知道一個與此相關(guān)的問題嗎?”等等.這些問題都沒有直接涉及問題的具體內(nèi)容,完全是針對主體自身思維,是對自身解題思維活動的反詰,是自我監(jiān)察、自我意識、自我預測、自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控,這些都是元認知,整個表格就是一個完整的數(shù)學解題的元認知體系.在數(shù)學學習中,只有在學生的積極參與下,自我監(jiān)控活動才能實現(xiàn),也只有在學生的自主活動中,數(shù)學元認知能力才能獲得發(fā)展.

3 元認知理論下的高中數(shù)學解題教學

高中數(shù)學解題教學,經(jīng)常出現(xiàn)的問題是:教師自認為對問題的講解很清晰,但學生在解決類似的問題、甚至是同一道題時都會錯漏百出甚至無從下手.如何提高高中解題教學的效率?筆者根據(jù)元認知理論,在高中解題教學中采取以下教學策略,取得了很好的教學效果.

3.1 一題多解,豐富學生的元認知知識

一題多解是學生多角度思考及探索不同的解題途徑,可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,達到舉一反三、融會貫通.學生再通過比較各種解法,優(yōu)化思維方法.通過一題多解,可以豐富學生的元認知知識,拓展學生思路,提高學生解題的靈活性.

筆者以“函數(shù)零點與導數(shù)”解題課為例,探索一題多解在高中解題教學中的應(yīng)用.

例1若函數(shù)f(x)=ex-ax在x ∈(0,+∞)上僅有一個零點,求實數(shù)a的值.

這道例題選擇了學生較為熟悉的函數(shù),旨在讓學生以“說思路”的方式鞏固解決函數(shù)零點問題的三種基本方法:單一函數(shù)、分離參數(shù)、曲線與曲線交點問題.通過思路4、思路5學習兩種“新”的轉(zhuǎn)化方式,強化轉(zhuǎn)化,突破函數(shù)、方程等價轉(zhuǎn)化的局限,突出換元思想.增加學生對于零點問題轉(zhuǎn)化方式的元認知知識.

3.2 一題多變,提升學生的元認知體驗

一題多變是通過改變題目條件、結(jié)論或者減少、增加條件等方式,進行新的求解.一題多變,可以提高學生思維的敏捷性、應(yīng)變性及創(chuàng)造性等.通過一題多變提升學生的元認知體驗,提高學生解題的速度.

筆者仍以“函數(shù)零點與導數(shù)”解題課為例,探索一題多變在高中解題教學中的應(yīng)用.

變式1若函數(shù)f(x)=eax-x在x ∈(0,+∞)上僅有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

變式1 將例1 中參數(shù)a從一次項系數(shù)調(diào)整到指數(shù)的一次項系數(shù),旨在鞏固例1 換元的思想.變式1 要先將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為對數(shù)方程,然后從三種常見方法中進行選擇,強調(diào)方法選擇的意識.增加學生對于零點問題轉(zhuǎn)化方式的元認知體驗.

變式2若函數(shù)f(x)=xex-a(x+1)2在x ∈(-∞,0)上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

從例1 中指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)運算得到的函數(shù),到變式2 中“類二次曲線y=xex”函數(shù)與二次函數(shù)通過運算得到的函數(shù),暗藏題目的構(gòu)造方式,引導學生用函數(shù)模型的眼光閱讀理解題目,培養(yǎng)學生對要解決的函數(shù)模型的構(gòu)造進行思考,提升優(yōu)化解題思維的能力.進一步提升學生的元認知體驗.

變式3若方程上有兩個根,求實數(shù)a的取值范圍.

變式4若函數(shù)f(x)=ax2+(a-2)x-lnx在x ∈(0,+∞)上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

變式5若函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x在x ∈R上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

3.3 多題歸一,加強學生的元認知監(jiān)控

學生自己做題時做不到自主地歸納總結(jié),就知道做題,結(jié)果是相同或相近題目反復做,效率低下.作為教師,在平時的教學中,要有意識地幫助學生養(yǎng)成良好的歸納總結(jié)習慣.

教師在課堂教學中滲透多題一解,做出示范,逐步培養(yǎng)學生自己總結(jié)歸納、提煉數(shù)學方法和數(shù)學思想的能力,養(yǎng)成良好的數(shù)學元認知監(jiān)控的習慣.

例2(2020 全國1 卷)已知A,B分別為橢圓E:的左、右頂點,G為E的上頂點,為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

例2 的第(2)問解法很多,如果只注重講解解法,學生可能不會遷移,碰到類似的問題,又陷入設(shè)參的選擇煩惱和并不簡單的計算中.教師若是引導學生分析題目條件,發(fā)現(xiàn)A,B兩點關(guān)于原點對稱,在求解過程中,將題目條件3kAP=kP B轉(zhuǎn)化為,接下來設(shè)直線CD方程,則為常見題型.

習字教學在現(xiàn)行教學資源豐富的情況下，打破了空間限制。微課制作、PPT制作，使學生從枯燥單一的寫字訓練，變成輕松愉快的寫字。練就一手好字，提高了語文知識的學習，提升了學生綜合素質(zhì)，傳承了中華漢字文化發(fā)展。

為了強化學生對于這類問題的元認知監(jiān)控,筆者在講解這道題時給出了以下題組:

【題1】已知橢圓C:與點P(0,1),設(shè)直線l不經(jīng)過點P,且與橢圓C交于不同的兩點A,B,若直線PA與直線PB的斜率之和-1,求證直線l過定點.

【題2】已知A,B分別為橢圓C:的左、右頂點,過右焦點F的直線l與橢圓C交于不同的兩點P,Q(P在Q上方),設(shè)直線PA、BQ的斜率分別為k1,k2,求.

【題3】已知A,B分別為橢圓的左、右頂點,P,Q為橢圓上兩點且滿足kAP=7kQB,求ΔPQB與ΔPQA面積之差的最大值.

題1 鞏固2020年高考題中證直線過定點的設(shè)參方法及加強計算練習;題2 強化將所求的斜率轉(zhuǎn)化;題3 挖掘直線PQ過定點.題組選取的三道題的求解思路來源于2020年高考題的解題方法,并從不同側(cè)面強化了解題的關(guān)鍵思路.經(jīng)過這樣的題組訓練與多題一解,學生在面對類似的問題時,求解過程就會快捷很多,從而會增強解題的信心和興趣.

對于高中數(shù)學解題中重點和難點內(nèi)容,利用題組形式,形成多題歸一,引導學生在大量的解題訓練中進行元認知監(jiān)控,不斷反問自己解決問題的關(guān)鍵點,總結(jié)相似問題的統(tǒng)一解法,就會減少學生重復低效的訓練,提高學習效果.

3.4 即時提問,培養(yǎng)學生解題的反思、調(diào)節(jié)意識

在高中數(shù)學解題教學中通過即時提問充分展現(xiàn)學生思維過程,暴露學生思維出現(xiàn)的問題,可以培養(yǎng)學生在解題過程中對自身解題思維活動的反詰,是自我監(jiān)察、自我意識、自我預測、自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控的過程,提高學生解題的準確性.

下面是某節(jié)數(shù)學解題課的片段.

例3有5 本不同的書,其中語文書2 本,數(shù)學書2 本,物理書1 本.若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上,則同一科目的書都不相鄰的概率為____.

這道題涉及了三種群體的不相鄰問題,對于解題帶來了一定的困難.有學生按照以下方法求解:

先排語文書,保證語文不相鄰,中間插入一本書,分兩類:(1)中間插入物理書,再在三本書形成的4 個位置中放數(shù)學書,有種擺放方法;(2)中間插入一本數(shù)學書,還有一本數(shù)學書可以放兩本語文書之間也可以放兩本語文書外面,有種擺放方法;故所求概率為.

筆者問:這種解法答案對嗎?有同學說答案不對.

筆者追問:什么原因?學生們陷入了沉思.筆者趁機提醒學生反思一下解題過程.有學生很快發(fā)現(xiàn)第一類和第二類計數(shù)方法有重復.

筆者繼續(xù)追問:那么問題出現(xiàn)在哪里呢?經(jīng)過學生們的討論和研究,他們發(fā)現(xiàn):因分類標準不統(tǒng)一,第二類包含了第一類的部分擺放方法,應(yīng)該在第二類中去掉物理書在語文書中間的情況,修改如下:

分兩類:(1)中間插入物理書,再在三本書形成的4個位置中放數(shù)學書,有種擺放方法;(2)中間插入一本數(shù)學書,物理書要放在兩本語文書外面,有種.故所求概率為

筆者繼續(xù)追問:剛才的解法的錯誤根源在哪里?有學生回答:二級分類標準不清晰.筆者繼續(xù)追問:怎么修改思路?

學生給出以下方法:

先排語文書,選擇特殊元素物理作為分類的標準:(1)物理書放語文書中間,有種擺放方法;(2)物理書放兩本語文書外面,有種.故所求概率為.

課后,筆者引導學生做好解題反思:分類、分步的方法是解排列組合問題的根本方法.面對較復雜的排列組合問題,如果一時沒想到解法,建議從最基本的分類、分步思想入手,并注意選擇好分類的標準,將復雜問題分解成簡單的問題解決.筆者趁機提醒學生在解題中出現(xiàn)錯漏時,不要輕易回避,應(yīng)該對思路進行反思、修正,調(diào)節(jié).

4 教學建議

一題多解,豐富學生的元認知知識,提高學生解題的靈活性;一題多變,提升學生的元認知體驗,提高學生解題的創(chuàng)造性;多題歸一,引導學生自我監(jiān)控、總結(jié)歸納,提高學生做題的有效性;即時提問,培養(yǎng)學生自我調(diào)節(jié)能力,提高學生解題的準確性.

將元認知理論應(yīng)用在高中數(shù)學解題教學,不僅可以優(yōu)化教學方式,也是精準有效培養(yǎng)學生解題能力的關(guān)鍵.筆者建議在高中數(shù)學解題的教學實踐中應(yīng)將“一題多解”、“一題多變”、“多題歸一”、“即時提問”等方式根據(jù)教學內(nèi)容需要進行融合,提升高中數(shù)學解題教學的效率.