江蘇省豐縣中學(221700)馬德宇

1 問題的提出

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學學習和應用過程中逐步形成和發(fā)展的[1].

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出:基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質,創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題,引發(fā)學生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).在解題教學中,我們常常會教給學生一些特殊的解題方法,諸如“一題多解”、“多題一解”.好的數(shù)學學習既能走進去,又能走出來,善于從解題中尋求數(shù)學思想方法,提升學生思辨智慧,以此提升學生思維素養(yǎng).在這些問題的求解過程中究竟蘊含著什么樣的思維,也就是說,在解題過程中我們是如何思維的,著名的美國心理學家吉爾福特按思維方向把思維分為發(fā)散思維和會聚思維兩種思維方式.發(fā)散思維能排除常規(guī)的思維定勢,突破固有的認知結構,融會貫通地駕馭知識,靈活地選擇各種途徑和方法,提出多種多樣的解答,是一種開放性的現(xiàn)代思維方式.會聚思維是運用已有的知識、經(jīng)驗和方法,把問題所提供的各種信息,沿著解決問題的途徑,朝著一個方向集中思考,從而得到一個確定的結論.

2 解決問題的途徑

2.1 一題多解與發(fā)散思維

學生要養(yǎng)成的良好習慣,不滿足于用一種做法和思路解題.一道題目做完之后想一想還有沒有其它方法,哪種方法更簡單.對于最后的結果,是不是可以有其它的合理解釋.

發(fā)散思維具有三個特性,即流暢性、變通性和獨特性.這三個特性是發(fā)散思維的三個不同層次的表現(xiàn).

2.1.1 流暢性

流暢性是思維沿某個方向活動時,能敏捷暢通地發(fā)散,取得豐富的內(nèi)容,使發(fā)散的量盡可能增加.

例1已知實數(shù)a,b,x,y滿足a2+b2=1,x2+y2=9,求ax+by的最大值.

解法1因為(ax+by)2=a2x2+b2y2+ 2axby≤a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)(x2+y2)=9,所以-3 ≤ax+by≤3,故ax+by的最大值為3.

解法2設a=cosα,b=sinα,x=3 cosβ,y=3 sinβ,則ax+by=3 cosαcosβ+3 sinβsinβ=3 cos(α-β)≤3.

解法3設m=(a,b),n=(x,y),則ax+by=m·n=|m||n|cos〈m,n〉=3 cos〈m,n〉≤3.

解法4利用柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2可得,(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=9,所以ax+by≤3,故ax+by的最大值為3.

通過對解題方法的反思,實現(xiàn)一題多解、多題歸一,總結解題規(guī)律,注意積累解數(shù)學題的思維模式和思維方法,如基本不等式法、參數(shù)法、向量法、圖像法、極限法、估算法等,關鍵是引導學生怎樣正確的審題,怎樣根據(jù)已知條件建立正確的數(shù)學模型.

2.1.2 變通性

2.1.3 獨特性

獨特性是指思維以新的角度、新的途徑展開,得出與眾不同的新穎獨特的見解.獨特性是在流暢性、變通性的基礎上形成的,是發(fā)散思維的高級階段.

例3已知拋物線在y軸上的截距為3,對稱軸為直線x=-1,在x軸上截得線段長為4,求拋物線方程.

解法1截距為3,可選擇一般式方程:y=ax2+bx+c(a/=0)顯然有c=3,利用其他條件可列方程組求a,b值.

解法2由對稱軸為直線x=-1,可選擇頂點式方程:y=a(x-m)2+k(a /=0)顯然有m=-1,利用其他條件可列方程組求a,k的值.另外,由圖像對稱性可知x軸上交點為(l,0)和(-3,0).

解法3由截距為3,即過三點(0,3)、(l,0)和(-3,0),可選擇一般式方程:y=ax2+bx+c(a /=0),代人點坐標,列方程組可求a,b,c值.

解法4由一元二次方程與一元二次函數(shù)關系可選擇兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a /=0)(必須與x軸有交點)顯然:x1=-3,x2=1,由截距3,可求a值.

此題解法充分體現(xiàn)了思維靈活性,以簡馭繁,用特殊化思想求解,解題迅速、正確.

發(fā)散思維是創(chuàng)造性人才必須具備的素質.在數(shù)學教學中,我們必須熱心引導,多方啟迪,著意培養(yǎng)學生發(fā)散思維的敏智?；?實踐證明:選編典型習題,選取不同的研究對象,根據(jù)不同的數(shù)學規(guī)律,運用不同的方法,進行一題多解的練習,是培養(yǎng)發(fā)散思維能力的行之有效的途徑.

2.2 多題一解與會聚思維

會聚思維具有求同性、程序性和比較性,下面我們結合實例做些簡單的介紹.

2.2.1 求同性

會聚思維是以認識事物的共同性或掌握方法的通用性為目的的思維方式.與發(fā)散思維的求異性恰好相反,會聚思維是按照原有的知識、經(jīng)驗和方法,去把握事物的共同點.

分析這五道題可知,它們只是提法不同、角度不同,但本質是一個,都可以稱為“1”的替換.會聚思維的求同性是人們擴大認識領域,建立并加固知識體系的有力武器.

2.2.2 程序性

會聚思維總是按照固有的觀念、常規(guī)和步驟進行運作,具有嚴謹縝密的程序,有章可循,有法可依,步步相接,環(huán)環(huán)相扣把思維活動指向事物的本質和規(guī)律.

a.已知什么、要求什么——已知的是具體數(shù)據(jù)、還是字母已知量?隱含的條件是什么?是否有信息多余?

b.研究對象如何選取?

c.解題過程怎樣確定——是選取一個過程還是幾個過程?

d.以前的解題經(jīng)驗有無利用價值——過去解決過這類問題嗎?

e.能否構造出待求問題的數(shù)學情景——畫出一張圖來說明問題或表征問題?

反思其過程,發(fā)現(xiàn)其錯誤,通過這樣做,不僅可以防止類似錯誤再犯,而且加深了對正確建立結論的印象,從而培養(yǎng)了思維的批判性,養(yǎng)成經(jīng)常獨立反思的習慣.通過一個例題解決一連串問題可以有效地提高解題能力,通過對解題過程的反思,引導學生反思新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系,注意用舊知識去理解新知識,同時又用新知識去解決舊問題.引導學生進行知識間的橫向、縱向聯(lián)系,使知識結構化,系統(tǒng)化.

2.2.3 比較性

在集中指向同一目標的幾種思路、方案和方法中,通過比較,尋找一個較佳的思路、方案和方法,這是會聚思維的又一特點.大發(fā)明家愛迪生試制電燈泡的燈絲時,是從1600 多種不同方案中選出碳化絲這種材料的,這是當時最佳的方案.在數(shù)學解題中,我們提倡一題多解,訓練發(fā)散思維能力,同時,我們也要善于比較各種解法,“多”中擇“優(yōu)”,掌握最簡便的解題方法,培養(yǎng)會聚思維的能力.

在上面的例1 中,顯然法2 和法3 學生易理解,法四雖然簡單,但公式在高中課本中沒有.例2 中法1 學生比較好理解,利用判別式解決方程有根問題.

2.3 發(fā)散思維與會聚思維的關系

發(fā)散思維貴在活躍,思路開闊,方法多.會聚思維注重嚴謹,比較擇優(yōu),方法好.在解題訓練中是相互補充,相輔相成的.我們既要充分運用發(fā)散思維,使用各種方法,沿著多種途徑去探索問題,又要善于運用會聚思維,比較各種方法,尋求最佳的解決問題的方案.

在解題訓練中,學生比較習慣單一地做題或思考問題,不善于把所學的內(nèi)容整理歸納,不能構成體系,思考問題時又是東一榔頭西一耙子,這種思維的凌亂狀態(tài)阻礙思維能力的提高.因此在解題教學中應注重培養(yǎng)學生注意以下幾點:

“反思與寫讀書筆記”——引導學生將自己在預習中不理解的問題紀錄下來;在課堂上記好筆記,課后整理與補充筆記;看參考書,寫點摘錄;單元復習,寫點小結.

“梳理知識”——數(shù)學知識的前后聯(lián)系比較緊密,每學完一個單元要提醒學生自覺地整理與總結.例如整理圓錐曲線的知識結構.由它們的定義、標準方程、圖像和性質,歸納成統(tǒng)覽表,并作對比,掌握其相同點與不同點.

“梳理解題方法”——數(shù)學中處理問題的方法多種多樣,它們分散在各個章節(jié)中,要把解決同一類題目的各種知識與方法系統(tǒng)地貫通、串聯(lián)起來,促使思維系統(tǒng)化與深刻化.例如函數(shù)的最值問題.運用二次函數(shù)的配方、在閉區(qū)間上的單調性、三角函數(shù)的有界性、均值定理、二次方程的判別式等方法來解決這樣的問題.

解題,要經(jīng)歷“見山是山,見山不是山,見山又是山”的參悟過程.就如同例4 中“1”的代換,1 非1,實為形式非1 而實質是1,1 還是1.那么“Δ”、“O”是什么?是x,是x+2,也是sinx,更是,……,如此,題目就源源不斷地來了.

數(shù)學家波利亞指出:“好問題同某種蘑菇,有些相像,它們成堆地生長,找到一個以后,你就應當在周圍找一找,很可能附近就有好幾個.”問題解決只是解題的第一步,之后,從解決的問題出發(fā),運用類比、聯(lián)想、特殊化、一般化等思維方法,創(chuàng)編派生出一些常規(guī)問題和開放性問題,使得問題“成片開發(fā)”,提升素養(yǎng).或許,在不久的高考考場中,你會見到你自己編的題.