廣東省廣州市南國學(xué)校(510627)馬丹

廣東省廣州市天河區(qū)教師發(fā)展中心(510635)劉永東

1 寫在前面

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開數(shù)學(xué)交流[1].數(shù)學(xué)交流即在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中師生通過閱讀、討論、辯論、合作等方式[2]進行數(shù)學(xué)思想、知識的傳播或交換[3].通過交流,學(xué)生對知識會有更深入的理解,教師能清楚了解到學(xué)生對知識的理解、掌握程度.在平時教學(xué)中有很多數(shù)學(xué)交流的機會:課堂上教師的講授與提問、學(xué)生的聽課與質(zhì)疑;課后學(xué)生的作業(yè)、錯題反思、知識點總結(jié)、教師批改作業(yè)等人與文本的交流;課外學(xué)生之間的問題探討或論文報告等也是數(shù)學(xué)交流的形式.不同形式的交流指向共同的目的,即在數(shù)學(xué)交流中讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想,提升思維.對此,筆者以一節(jié)數(shù)學(xué)活動“二元一次方程(組)解的幾何意義”為例,與同行分享在數(shù)學(xué)交流中感悟?qū)W生思維變化的細節(jié)與思考.

2 過程簡析

片段1:你如何理解等式x-y=0,請說一說.

追問1:該方程的解的形式是怎樣的?

追問2:方程的解能用有序數(shù)對表示嗎?能否將方程的解表示在平面直角坐標(biāo)系中?

該教學(xué)片段用一個個追問促使學(xué)生展現(xiàn)知識儲備,讓學(xué)生建立起聯(lián)系的關(guān)鍵詞:二元一次方程→無數(shù)解→有序數(shù)對→平面直角坐標(biāo)系,將已學(xué)知識串聯(lián)起來,不斷使知識內(nèi)化,以期生成新知識.

片段2:請把二元一次方程x-y=0 的解在平面直角坐標(biāo)系中表示出來,你發(fā)現(xiàn)什么?

該教學(xué)片段讓學(xué)生畫完圖后討論,得出結(jié)論.教師再用幾何畫板動態(tài)演示x-y=0 的圖象是一條直線,并追問:是不是所有的二元一次方程的圖象都是一條直線呢?

片段3:請任意寫出一個二元一次方程,并把它的圖象在平面直角坐標(biāo)系中畫出來!

該教學(xué)片段中小組每人舉一個例子,畫出圖形后互相檢查、比較、討論,得出共識結(jié)論,并懂得用“兩點式”畫二元一次方程圖象的簡便方法.

片段4:在片段3 的平面直角坐標(biāo)系中,再任意畫一個二元一次方程的圖象,和同伴交流所畫圖象的區(qū)別,并思考造成區(qū)別的原因.

該教學(xué)片段讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)兩條直線相交、平行的情形,有意識的交流圖象存在區(qū)別的原因,感悟數(shù)學(xué)思想.

3 策略解析

3.1 設(shè)“好問題”,讓學(xué)生“想說”“敢做”

問題是師生進行數(shù)學(xué)交流的紐帶.設(shè)置合理的、有意義的“好問題”,能更好的促使學(xué)生積極思考,并通過不停的引導(dǎo)追問,引出最深層的數(shù)學(xué)思想,體悟智慧的碰撞過程.從而給學(xué)生創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的機會,并在參與數(shù)學(xué)交流中充分表達自己的數(shù)學(xué)思維過程.

然而,一些數(shù)學(xué)課堂缺少主動的、互動的數(shù)學(xué)交流,讓人感覺交流不起來.那么,怎樣才能更好的促使生生、師生之間的交流呢?蘇霍姆林斯基曾說過:“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要,那就是希望自己是個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者”.可見,創(chuàng)設(shè)啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、研究、探索的問題,能激發(fā)學(xué)生“想說”的欲望.片段1 的問題串都是已學(xué)知識的簡單再現(xiàn),在于營造一個輕松、和諧的氛圍,共同傾聽和評價,學(xué)生愿意表達,又能展示知識的動態(tài)生成過程,讓學(xué)生在溫故的過程中逐步生成新知.

而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識離不開實踐,動手操作不僅讓學(xué)生主動獲取了知識,積累了數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗,還培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、應(yīng)用及解決問題的能力.基于好的情境下的動手操作能引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想,有利于提升學(xué)生思維的發(fā)展.那么,怎么創(chuàng)設(shè)“好情境”,讓學(xué)生“敢做”呢?片段2 的問題:二元一次方程x-y=0 的解怎么和平面直角坐標(biāo)系建立聯(lián)系呢?又會有什么聯(lián)系?這個聯(lián)系可以通過直觀建立,于是讓學(xué)生大膽猜想并動手操作和驗證,做一做、看一看、想一想、說一說,發(fā)現(xiàn)和掌握新知識,完成“數(shù)”“形”互譯的過程,了解到二元一次方程解的幾何意義,又為構(gòu)建二元一次方程和初二要學(xué)的一次函數(shù)的聯(lián)系埋下伏筆.

3.2 悟“好過程”,讓學(xué)生“會說”“敢想”

讓學(xué)生將自己在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、掌握技巧過程中“想到的”,“說”給別人“聽”,并引發(fā)數(shù)學(xué)交流,就需要學(xué)生“會說”.學(xué)生將自己的推斷和思想以口頭或者書面的形式進行表達的過程,不僅可以讓學(xué)生對原理有更深的理解,在不同意見和想法的爭辯中,學(xué)生的表達和邏輯思維的能力也得到了很好的提高.可見,在“好過程”中體悟才有說的基礎(chǔ),由此需要在緊扣教學(xué)目標(biāo)的前提下,留給學(xué)生足夠的時間和空間參與知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程.引導(dǎo)學(xué)生自己尋求知識產(chǎn)生的原因,體會新知與舊知的區(qū)別與聯(lián)系.在探索思考的過程中,讓學(xué)生體會研究數(shù)學(xué)問題的方法,感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵,尋找規(guī)律,獲得結(jié)論.

片段3 中,組內(nèi)每人畫的二元一次方程的圖象各異,大家在互相檢查、比較、討論中得出用“兩點式”畫圖象的結(jié)論,并在體驗探索的過程中激活了思維,思想得到了升華.而片段4 在同一個平面直角坐標(biāo)系中再任意畫一個二元一次方程的圖象,學(xué)生探究、嘗試、猜想、交流的機會暴露無遺,數(shù)形結(jié)合思想在不知不覺中得以滲透.完全開放的問題設(shè)置讓學(xué)生能說的和想說的機會很多,在交流中不僅強化了知識與知識的內(nèi)在聯(lián)系,還為今后研究方程、不等式和函數(shù)圖象間的關(guān)系打下基礎(chǔ),使知識的發(fā)生發(fā)展渾然一體,有利于學(xué)生思維的持續(xù)性發(fā)展.如此,學(xué)生體悟好過程,就敢想、會說,并能進行深度的交流.

4 數(shù)學(xué)交流

一般情況下,隨著年齡的增大,學(xué)生主動回答問題的意愿逐步減弱[1];而課外學(xué)生也沒有足夠的時間進行數(shù)學(xué)交流.再者,有些學(xué)生自己能夠理解題目表達的意思,也能正確解答,但卻不能清楚明白地向他人講述解題思路與思維過程,總是詞不達意,沒有邏輯,影響了數(shù)學(xué)交流,導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生的交流更傾向于請教,而不是共同探討問題.

而數(shù)學(xué)交流本是雙方互換信息,互相影響的學(xué)習(xí)活動[1].對學(xué)生進行數(shù)學(xué)語言、組織表達能力的訓(xùn)練,需要給予他們足夠的時間,足夠的自信去進行交流.這離不開教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),特別是設(shè)置開放性的問題,能給予學(xué)生更多的主動權(quán).在片段3 的交流中,小組每人的方程不一樣,圖象也不一樣,但組內(nèi)每個人得出的圖象大都是一條直線,個別有不同,但交流后全班達成共識結(jié)論.此時追問“如何簡便確定一條直線?”“兩點可以怎樣簡便取點?”等問題,讓學(xué)生意識到“找與坐標(biāo)軸交點”這一快速確定圖象的方法,為以后函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過程,歸納出結(jié)論:直線上任意一點的坐標(biāo)都對應(yīng)著二元一次方程的一組解,順理成章的明白了點的坐標(biāo)和方程解的對應(yīng)關(guān)系.

而看似技能訓(xùn)練的片段4,一方面讓大家體會到掌握了更快捷方法的樂趣,另一方面,為過渡到二元一次方程組鋪墊.這個開放性問題出現(xiàn)了很多不同的結(jié)果.事實證明,永遠別低估了孩子們自我探究的能力,教師也無需特別預(yù)設(shè),“重合、相交、平行”三種結(jié)果都出現(xiàn)了,為交流打下很好的基礎(chǔ).小組上臺展示,同伴質(zhì)疑產(chǎn)生認知沖突,讓學(xué)生更清楚明白整個探究過程,同時教師進行系列追問:每一條直線代表的是什么?三種不同結(jié)果又表示什么意義?解一解你舉的方程組,是否與你所畫的圖形相符?這一串追問讓學(xué)生對知識的理解更加透徹,思維也更深一層.并讓學(xué)生采用消元法和圖象法分別解二元一次方程組,感受不同方法的特點,更深層的體會“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”的真諦[4].學(xué)生也在交流后得出結(jié)論:一個二元一次方程對應(yīng)一條直線,如果兩直線相交,那么二元一次方程組有唯一解,交點坐標(biāo)就是相對應(yīng)的二元一次方程組的解;如果兩直線重合,那么相對應(yīng)的二元一次方程組有無數(shù)組解;如果兩直線平行,那么相對應(yīng)的二元一次方程組無解.

特別的,有小組提出:為什么大家所畫的平行不完全一樣,間隔的距離有大有小呢?于是,師生繼續(xù)分析討論,并用直接的話解釋出根源:“常數(shù)的差距大小決定了分開的多少”.學(xué)生的這個發(fā)現(xiàn)不僅讓大家對本節(jié)的內(nèi)容理解的更透徹,更為以后學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的平移打下了基礎(chǔ),也說明了數(shù)學(xué)結(jié)論是在不斷完善中形成的,課堂達到了超出預(yù)設(shè)的精彩效果.

事實上,這節(jié)數(shù)學(xué)活動課的主題是“二元一次方程(組)解的幾何意義”,但教學(xué)的最終目的是讓學(xué)生理解過程與方法,因為對于二元一次方程組,一般不用圖象求解,但對于一些高次方程、無理方程、超越方程的求解,畫圖象的方法就起作用了.再則,將二元一次方程與一次函數(shù)聯(lián)系起來,為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)做鋪墊,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在不同知識領(lǐng)域的相融、和諧與一致,對數(shù)學(xué)思想的理解和體悟更清晰,學(xué)會站在更高的起點上動態(tài)的分析和解決問題.

5 寫在最后

數(shù)學(xué)課堂需要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程,而這個過程需要他們用數(shù)學(xué)語言表達出來.教師應(yīng)善于利用反映數(shù)學(xué)思想的基本材料,有意識地設(shè)計與數(shù)學(xué)思想相聯(lián)系的學(xué)習(xí)活動,設(shè)置開放的好問題、好情境、好過程,讓學(xué)生獨立思考并充分地展開交流,在交流中引導(dǎo)學(xué)生對一般性的規(guī)律進行自主總結(jié)和概括,在交流后引導(dǎo)學(xué)生一起架構(gòu)起單元學(xué)習(xí)脈絡(luò),構(gòu)建知識體系,以達到潤物細無聲的效果.