強(qiáng)震球 強(qiáng)振宇

【編者按】模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的意義。如何在教學(xué)中滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提升？本期話題圍繞“滲透模型思想，優(yōu)化建模過(guò)程”的相關(guān)研究而展開(kāi)。

一、厘清小學(xué)階段的模型思想

1. 辨析模型思想的概念。

所謂數(shù)學(xué)模型是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表達(dá)出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。按廣義解釋?zhuān)惨磺袛?shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系，各種數(shù)學(xué)公式、各個(gè)方程式，以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等都稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型。按狹義解釋?zhuān)切┓从程囟▎?wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，蘊(yùn)含的模型無(wú)處不在——數(shù)概念模型、運(yùn)算模型、幾何圖形模型、植樹(shù)模型、工程模型等。仔細(xì)分析，不難看出模型思想和符號(hào)化意識(shí)相似，都是抽象后的數(shù)、數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律的表達(dá)。那么，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，模型思想就是要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，從相對(duì)簡(jiǎn)單到相對(duì)復(fù)雜，從相對(duì)具體到相對(duì)抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，形成運(yùn)用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣——即“建?！?。建模過(guò)程就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種模型意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

2. 明確模型思想的價(jià)值。

首先，有利于明晰數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它的本質(zhì)是抽象的。現(xiàn)在，通過(guò)由原型抽象出數(shù)學(xué)模型的實(shí)例，使得抽象的數(shù)學(xué)看得見(jiàn)、摸得著，避免“數(shù)學(xué)聯(lián)系生活”的形式化，避免就題論題的知識(shí)傳授，讓學(xué)生真正感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)理性。

其次，有利于明晰一般化思想。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活，模型思想能將一個(gè)問(wèn)題的解決，拓展為一類(lèi)問(wèn)題的解決。它能讓學(xué)生清晰感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，從而增進(jìn)自身對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和信心。

再次，有利于明晰結(jié)構(gòu)化思想。數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)模型各有自己的闡釋?zhuān)涔餐c(diǎn)可以歸結(jié)為一句話：由原型結(jié)構(gòu)抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)就是關(guān)系的組合，具有整體性。滲透模型思想，就是要啟迪學(xué)生在掌握模型的主干后，進(jìn)行“多題一解”與“一題多變”的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生在改編的過(guò)程中領(lǐng)悟結(jié)構(gòu)化內(nèi)涵，易于學(xué)生看破這些數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、把握小學(xué)階段模型思想的現(xiàn)狀

1. 不能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，目標(biāo)不準(zhǔn)。

有些數(shù)學(xué)教師由于受傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響，本身又對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)不足，在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)，往往在乎的還是對(duì)學(xué)生的基本知識(shí)傳授，即使是一些簡(jiǎn)單易操作的探究性活動(dòng)，仍認(rèn)為是浪費(fèi)時(shí)間。導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)，不能直抵?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

2. 不能凸顯數(shù)學(xué)思想，重點(diǎn)不明。

作為小學(xué)數(shù)學(xué)一種新的課堂教學(xué)方式“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證—總結(jié)應(yīng)用”，已經(jīng)引起一線教師的關(guān)注和實(shí)踐。但是，由于教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)不清，缺乏對(duì)各類(lèi)知識(shí)模型化的對(duì)策，注意力過(guò)多地放在“生活情境創(chuàng)設(shè)”和“實(shí)際應(yīng)用”的翻新上。對(duì)處于核心地位的“建立模型”忽視了實(shí)質(zhì)，教學(xué)即使將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)，也僅僅停留在聯(lián)系的層面。這樣學(xué)生也就不能通過(guò)模型的形成提高自己的思維能力，違背建模初心。

3. 不能架構(gòu)整體練習(xí)，興趣不濃。

模型思想蘊(yùn)含結(jié)構(gòu)化思想，要求我們將一個(gè)問(wèn)題——原型的解決，拓展為一題多變的解決。然而，在平時(shí)教學(xué)的解釋?xiě)?yīng)用環(huán)節(jié)，大多呈現(xiàn)為單個(gè)實(shí)際問(wèn)題的設(shè)計(jì)，是為用而用，缺少思維含量，練習(xí)忽視模型結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。這樣就將問(wèn)題解決策略多樣化，演繹成低水平的“一題多解”現(xiàn)象。學(xué)生掌握不了關(guān)系模型的主干，體會(huì)不到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的魅力，形成不了以簡(jiǎn)馭繁的解題思路，題越做越?jīng)]興趣，形成不了模型思想。

三、融入模型思想的教學(xué)實(shí)踐

1. 在概念教學(xué)中建?！y(tǒng)攝引領(lǐng)。

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的基石，它直接影響后續(xù)學(xué)習(xí)及思維能力的發(fā)展。概念分為描述性概念和定義性概念兩類(lèi)，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)語(yǔ)言中名詞、術(shù)語(yǔ)、符號(hào)等的含義。由于數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性反映，因而，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都可以看做數(shù)學(xué)模型，每個(gè)概念是建立其他數(shù)學(xué)模型的材料。教學(xué)過(guò)程中教師需要逐步抽象、簡(jiǎn)化，不斷變化數(shù)學(xué)問(wèn)題的非本質(zhì)屬性，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突出數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

【教學(xué)片段一】

一年級(jí)學(xué)生對(duì)“加法——5+2=7”的認(rèn)識(shí)。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)從第一幅圖上看到什么？

生：有5只小兔在采蘑菇。

師：第二幅圖呢？

生：有2只小兔在采蘑菇。

師：誰(shuí)來(lái)把兩幅圖的意思連起來(lái)說(shuō)？

生：小兔采蘑菇，左邊有5只，右邊有2只。

師：根據(jù)圖的意思，請(qǐng)你們提一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。（一共有多少只小兔？）

師：那么一共有多少只呢？（7只，算式5+2=7）

師：結(jié)合情境圖——左邊有5只小兔，右邊有2只小兔。要求一共有多少只，就是把5只和2只合起來(lái)，算式是5+2=7。這里的5表示什么？2表示什么？7表示什么？

師：大家能不能用小棒代替小兔子，把這一過(guò)程擺一擺呢？

師：看這個(gè)同學(xué)擺的小棒圖，要求一共有多少根小棒，怎么表示呢？（5+2=7）

師：左邊有5根小棒，右邊有2根小棒。要求一共有多少根小棒，就是把5根和2根合起來(lái)，算式是5+2=7。這里的5表示什么？2、7又表示什么？

師：看，圖中先是小兔，再是小棒，為什么都可以用同一個(gè)算式5+2=7來(lái)表示呢？

師：同學(xué)們都說(shuō)得很好。那么5+2=7還可以表示生活中怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？請(qǐng)大家相互說(shuō)一說(shuō)。

師：這兒有加法算式“4+3=7”，誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

師：如果用□+□=□來(lái)表示加法，你們還能怎么說(shuō)？

上述教學(xué)片段根據(jù)低年級(jí)學(xué)生年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)特點(diǎn)，由具體的實(shí)例開(kāi)始，借助小棒操作進(jìn)行知識(shí)的內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過(guò)學(xué)生舉例，以思維的發(fā)散和聯(lián)想擴(kuò)展理解加法的意義，從而賦予“5+2=7”更多的模型意義。重點(diǎn)訓(xùn)練了：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象、對(duì)現(xiàn)實(shí)信息的概括、加法意義的舉一反三學(xué)習(xí)能力。教師通過(guò)豐富的資源在開(kāi)展加法教學(xué)的同時(shí)，融入加法“□+□=□”模型思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)自身的魅力，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)乘法、減法等內(nèi)容助力。

2. 在數(shù)學(xué)規(guī)則中建?！砸划?dāng)十。

數(shù)學(xué)規(guī)則指的是在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大量有關(guān)數(shù)的四則計(jì)算法則、運(yùn)算定律與性質(zhì)、計(jì)算公式等內(nèi)容。這些內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系、空間形式、計(jì)算規(guī)律的概括與總結(jié)，具有模型意義。因此，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)不失時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生觀察、探索，經(jīng)歷推理、歸納等數(shù)學(xué)化的過(guò)程，嘗試用簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言來(lái)建構(gòu)、表達(dá)模型，掌握模型主干，領(lǐng)悟模型的結(jié)構(gòu)化，解決問(wèn)題一大片，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用模型的興趣。

例如，在蘇教版三下的“年、月、日”單元中，有一節(jié)“求簡(jiǎn)單的經(jīng)過(guò)時(shí)間”的學(xué)習(xí)內(nèi)容。這部分內(nèi)容是學(xué)生認(rèn)識(shí)了“1日=24時(shí)”，掌握了鐘面24時(shí)在具體生活情境中的記錄方法后，解決與時(shí)間知識(shí)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)解決這類(lèi)問(wèn)題，讓學(xué)生具體感受時(shí)間的實(shí)際意義，體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活的廣泛聯(lián)系。那么，如何在學(xué)生求經(jīng)過(guò)時(shí)間時(shí)體現(xiàn)模型思想呢？

【教學(xué)片段二】

一、初“模”：整時(shí)到整時(shí)的經(jīng)過(guò)時(shí)間（時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）

1. 出示“節(jié)目預(yù)告”單，明確問(wèn)題。

師：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道“節(jié)目預(yù)告”采用的是24時(shí)記時(shí)法。誰(shuí)再來(lái)播送一遍？

師：同學(xué)們，就在這些節(jié)目播放的記錄中，還蘊(yùn)藏著與時(shí)間有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢?。ǔ鍪締?wèn)題“《動(dòng)畫(huà)劇場(chǎng)》播放了多長(zhǎng)時(shí)間？”）你們知道嗎？有辦法知道嗎？

2. 探索方法，交流反饋。

師：《動(dòng)畫(huà)劇場(chǎng)》是怎么播放的？（從14：00開(kāi)始播放到16：00結(jié)束）播放了多長(zhǎng)時(shí)間也就是哪段時(shí)間？（14：00到16：00這一段時(shí)間）實(shí)際多長(zhǎng)時(shí)間，怎么得到的？

鐘面上數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ?時(shí)間尺上看

師：看，無(wú)論是到鐘面上數(shù)，還是從時(shí)間尺上看，播放的時(shí)間就是時(shí)針在鐘面上轉(zhuǎn)動(dòng)的2大格所表示的時(shí)間，也就是從14時(shí)到16時(shí)的經(jīng)過(guò)時(shí)間。（板書(shū)：經(jīng)過(guò)時(shí)間）

3. 列式計(jì)算，初步表達(dá)。

師：結(jié)合剛才的所思所想，播放多長(zhǎng)時(shí)間能不能通過(guò)列式計(jì)算解決？（16-14=2小時(shí)）

追問(wèn)：16表示什么？14呢？最后結(jié)果2表示什么？

小結(jié)：結(jié)束時(shí)間-開(kāi)始時(shí)間=經(jīng)過(guò)時(shí)間。

二、用“?！保?小時(shí)內(nèi)的經(jīng)過(guò)時(shí)間（分針轉(zhuǎn)動(dòng)）

1. 問(wèn)題：《智慧樹(shù)》播放多長(zhǎng)時(shí)間呢？試著畫(huà)圖求出播放時(shí)間。

2. 師生一起畫(huà)線段圖得到《智慧樹(shù)》播放的時(shí)間。

3. 鐘面上感知，實(shí)質(zhì)是分針在鐘面上轉(zhuǎn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的時(shí)間。

4. 列式計(jì)算表示：40-10=30分鐘。

5. 總結(jié)建模：同學(xué)們，剛才我們一起通過(guò)討論解決了兩個(gè)節(jié)目播放時(shí)間的問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)節(jié)目播放時(shí)間多長(zhǎng)就是節(jié)目從開(kāi)始到結(jié)束那段經(jīng)過(guò)時(shí)間，也就是相當(dāng)于時(shí)針或分針在鐘面上轉(zhuǎn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的時(shí)間。求經(jīng)過(guò)時(shí)間可以直接用“結(jié)束時(shí)間-開(kāi)始時(shí)間”列式計(jì)算。

三、應(yīng)用鞏固“?！?/p>

1. 口答：借書(shū)時(shí)間、營(yíng)業(yè)時(shí)間等。（展示實(shí)際生活中出現(xiàn)的各種時(shí)間公示欄）

2. 關(guān)系結(jié)構(gòu)化訓(xùn)練。

出示：老師今天早上7：00上班，工作到上午11：00，工作了多長(zhǎng)時(shí)間？（11-7=4小時(shí)）

任務(wù)：將上面的問(wèn)題改編成求其中一個(gè)條件的實(shí)際問(wèn)題。

（1）求結(jié)束時(shí)間：老師今天早上7：00上班，工作了4小時(shí)，工作到什么時(shí)間結(jié)束？用24時(shí)記時(shí)法表示是（? ）。

（2）求開(kāi)始時(shí)間：老師今天上午工作了4小時(shí)，工作到11：00。你知道老師是什么時(shí)間開(kāi)始工作嗎？

教學(xué)借助現(xiàn)實(shí)情境和幾何直觀搭起了開(kāi)始時(shí)間與結(jié)束時(shí)間的橋梁，再加上語(yǔ)言的描述，讓學(xué)生理解經(jīng)過(guò)時(shí)間概念的本質(zhì)，即經(jīng)過(guò)時(shí)間實(shí)質(zhì)是鐘面時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)動(dòng)所用的時(shí)間，為抽象概括“結(jié)束時(shí)間-開(kāi)始時(shí)間=經(jīng)過(guò)時(shí)間”這一主干關(guān)系模型厘清了思路。在應(yīng)用鞏固模型環(huán)節(jié)，也不是就題論題，而是啟迪學(xué)生在掌握主干模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)編題去領(lǐng)悟整個(gè)模型的結(jié)構(gòu)化，感悟模型的聯(lián)系，提升思維含量，體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的魅力，實(shí)現(xiàn)做一題帶一片。

3. 在解決問(wèn)題中建模——舉一反三。

模型思想蘊(yùn)含一般化的思想。滲透模型思想的教學(xué)是通過(guò)“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證—總結(jié)應(yīng)用”的模式展開(kāi)的，也就是說(shuō)，教師引導(dǎo)學(xué)生在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通過(guò)比較、觀察分析，抽象出更為一般的模式表達(dá)，將一個(gè)問(wèn)題的解決，拓展為一類(lèi)問(wèn)題的解決，舉一反三，使學(xué)生體會(huì)到“原來(lái)這些題目可以這樣變，萬(wàn)變不離其宗”。

最為典型的就是吳正憲老師執(zhí)教的“解決問(wèn)題——連加”，吳老師將教材中的顯性知識(shí)和隱性知識(shí)有機(jī)結(jié)合，運(yùn)用“圖示法”，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立模型的過(guò)程，張揚(yáng)了學(xué)生的個(gè)性和創(chuàng)造力，培養(yǎng)了學(xué)生的符號(hào)化意識(shí)和解決問(wèn)題的創(chuàng)新能力。

【教學(xué)片段三】

一、復(fù)習(xí)鋪墊

1. 出示小猴采桃問(wèn)題：猴弟弟采了4個(gè)桃，猴哥哥采了7個(gè)桃，一共采了多少個(gè)桃？

2. 追問(wèn)：為什么用加法算？

3. 表征：（1）手勢(shì)表示——同學(xué)們舉起雙手做“把兩個(gè)數(shù)合在一起”的合攏動(dòng)作;（2）符號(hào)表示——板書(shū)“□+□=和”。

二、新知建模

1. 變一變出例題：猴哥哥采了7個(gè)桃，會(huì)怎么對(duì)弟弟說(shuō)？順勢(shì)把“猴哥哥采了7個(gè)桃”換成“猴哥哥比弟弟多采了3個(gè)”。

2. 讀題、審題、思考：要解決這個(gè)問(wèn)題，想想先做什么，再做什么。你有什么要提醒大家的？

3. 請(qǐng)學(xué)生用畫(huà)圖的方式表達(dá)。

吳老師讓每個(gè)進(jìn)行板演的學(xué)生表達(dá)自己的想法，然后引導(dǎo)總結(jié)，列式計(jì)算。

最后，師生一起用手勢(shì)總結(jié)——舉左手表示弟弟采的桃子數(shù)，右手表示哥哥采的桃子數(shù)。右手這邊沒(méi)有直接告訴你是多少，就要先算出來(lái)再相加。

4. 符號(hào)表示：□+□=和，其中一個(gè)加數(shù)沒(méi)有告訴我們，就要先求出來(lái)。這兒先算的是加法，以后還會(huì)遇到先算減法、乘法……

三、回顧總結(jié)：我們?cè)趺唇鉀Q問(wèn)題的？有什么新的收獲？

縱觀整個(gè)建模過(guò)程，吳老師通過(guò)創(chuàng)設(shè)“小猴采桃”故事情境，給足學(xué)生表達(dá)的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生充分展現(xiàn)各自的思維過(guò)程，幫助每一個(gè)學(xué)生最終獨(dú)立完成“連加”的建構(gòu)活動(dòng)，滲透了模型思想和符號(hào)意識(shí)。

（作者單位：江蘇省江陰市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)

江蘇省江陰市璜塘實(shí)驗(yàn)小學(xué)）