龍禮波

摘? ?要：微元法是解決物理問(wèn)題的基本方法，它貫穿于高中階段的物理知識(shí)體系，滲透于一些物理概念、公式中，應(yīng)用于物理難題或高考?jí)狠S題中?，F(xiàn)分別以“質(zhì)量元Δm”“電荷元Δq”“時(shí)間元Δt”“速度變化元Δv”四類(lèi)典型例題逐一分析，旨在拓寬解決物理問(wèn)題的方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)物理的水平，提高物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：微元法;質(zhì)量元;電荷元;時(shí)間元;速度變化元

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）6-0026-2

微元法是一種“化整為零”的解題方法，可以分析復(fù)雜的研究對(duì)象或物理過(guò)程，解答用常規(guī)方法無(wú)法解決的物理難題。使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需要將其分解為多個(gè)微小的“元對(duì)象”或是“元過(guò)程”，因?yàn)椤拔⒃彼裱囊?guī)律是相同的，就可以通過(guò)重點(diǎn)分析其中一個(gè)“微元”，將所有“微元”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而迅速解決問(wèn)題。

1? ? 質(zhì)量元Δm

例1 在一輛加速啟動(dòng)的汽車(chē)中，放置了一桶水，測(cè)量發(fā)現(xiàn)水面與車(chē)所行駛的水平路面夾角為θ，如圖1所示，求汽車(chē)啟動(dòng)的加速度？

解析 研究整桶水無(wú)法求解，用“微元法”可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化。

在水面上選取水的質(zhì)量元Δm，對(duì)Δm進(jìn)行受力分析。

由力的合成圖得：

由牛頓第二定律得：

所以a=gtanθ，方向與汽車(chē)啟動(dòng)方向一致。

2? ? 電荷元Δq

例2 如圖2所示，電量為Q的正電荷均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上，求在圓環(huán)軸上距圓心O點(diǎn)為x處的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解析 帶電圓環(huán)不能看成點(diǎn)電荷，因此不能直接用E=求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，可用微元法求解。

在環(huán)上取極小電量Δq，由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式可得：

電荷元在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：ΔE=k

將ΔE分解：ΔEx=ΔEcosα

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：

方向沿x軸的正方向。

討論：①當(dāng)x=0即圓心處E=0;②當(dāng)x→∞，E= ，這時(shí)帶電圓環(huán)可視為點(diǎn)電荷。

3? ? 時(shí)間元Δt

例3 如圖3所示水力采煤時(shí)，用水槍在高壓下噴出強(qiáng)力的水柱沖擊煤層。設(shè)水槍噴口橫截面積S=5 cm2，水速v=50 m/s，假設(shè)水柱垂直射在煤層的表面上，沖擊煤層后水的速度變?yōu)榱恪Ｇ螅核鶎?duì)煤層的平均沖力。（ρ=1.0×103 kg/m3）

解析 選取在極短時(shí)間Δt內(nèi)的一小段水柱為研究對(duì)象，質(zhì)量為Δm=ρ SvΔt。這段水柱是在煤層的反作用力下發(fā)生動(dòng)量的變化。

由動(dòng)量定理得：FΔt=Δmv-0

由牛頓第三定律可得，水對(duì)煤層的平均作用力為1.25×103 N。

拓展? 如圖4所示，一艘帆船在靜水中由于風(fēng)力的推動(dòng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，帆面的面積為S，風(fēng)速為v1，船速為v2（v2

解析 風(fēng)吹帆面是一個(gè)連續(xù)的過(guò)程，無(wú)法研究全過(guò)程，只能用微元法求解。

由于船做勻速運(yùn)動(dòng)，選帆面為參考系。選取吹到帆面的空氣微元為研究對(duì)象。經(jīng)時(shí)間Δt后，微元速度由（v1-v2）變?yōu)榱悖諝馕⒃馁|(zhì)量Δm=ρS（v1-v2）Δt，空氣微元在帆面的反作用力下發(fā)生動(dòng)量的變化。

由動(dòng)量定理得：FΔt=Δm（v1-v2）-0

由牛頓第三定律可得，帆面受到的平均作用力為ρS（v1-v2）2

4? ? 速度變化元Δv

例4 如圖5所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上有一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌的一端連接阻值為R的電阻（其他電阻不計(jì)）。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面?，F(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v0，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，試求金屬桿在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的最大距離？

解析? 桿在安培力作用下，做變減速運(yùn)動(dòng)直至停止。由于安培力是變力，對(duì)全過(guò)程無(wú)法用牛頓定律求解。設(shè)桿在某時(shí)刻速度為vi，取一極短時(shí)間Δt，速度變化了Δvi，發(fā)生了一小段位移Δxi，可認(rèn)為安培力Fi是恒力：

桿在安培力的作用下發(fā)生動(dòng)量的變化：

然后對(duì)微元求和，∑ viΔt=∑mΔvi

其中，∑viΔt=x（總位移），∑Δvi=v0

解得：x=

如圖6所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于光滑水平面，虛線為磁場(chǎng)的邊界，質(zhì)量為m、電阻為R、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形金屬框，在光滑絕緣的桌面上以速度v0垂直邊界線進(jìn)入磁場(chǎng)，求線框進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度？

解析 線框在安培力作用下，變減速通過(guò)邊界線，當(dāng)線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后以速度v勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)線框某時(shí)刻速度為vi，取時(shí)間元Δt，速度變化元Δvi，對(duì)微元：viΔt=mΔvi

對(duì)微元求和：∑viΔt=∑mΔvi

其中∑viΔt=L，∑Δvi=v0-v

解得：v=v0-

學(xué)生掌握了微元法不僅有助于對(duì)物理概念、規(guī)律的理解，也拓寬了解決物理問(wèn)題的新途徑，進(jìn)而提高學(xué)生的物理綜合素質(zhì)。

（欄目編輯? ? 鄧? ?磊）