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        淺談基于定積分極限定義的“微元法”

        2017-05-27 20:14:13于娟吳淑君

        于娟+吳淑君

        摘 要:定積分定義是一元函數(shù)積分學(xué)中一個(gè)非常重要的概念,其與一元函數(shù)的極限、不定積分等都有著密切的聯(lián)系。“微元法”是一類應(yīng)用定積分解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題比較有效的數(shù)學(xué)方法。本文從定積分極限定義出發(fā),分析并給出尋找待求量微元的一般方法,以加深初學(xué)者對(duì)微元法的理解。

        關(guān)鍵詞:定積分定義 微元法 基本思想

        中圖分類號(hào):G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1672-1578(2017)05-0023-01

        1 引言

        從古希臘阿基米德的“窮竭法”、魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的

        “割圓術(shù)”,到17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒的“行星運(yùn)動(dòng)三大定律”,再到牛頓—萊布尼茲微積分理論的初步確立,其基本思想方法均可歸結(jié)為“分割,近似代替,求和,取極限”。在應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),若按定積分定義求解,則需要進(jìn)行“分割,近似代替,求和,取極限”這四步,顯然這種做法太過(guò)繁瑣。因此,在處理實(shí)際的幾何、物理、化學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)等問(wèn)題時(shí),往往把這個(gè)過(guò)程簡(jiǎn)化成一種比較簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)方法——微元法。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō),在用微元法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),往往僅僅是機(jī)械的模仿,而并未領(lǐng)會(huì)到微元法的核心思想所在。因此本文從定積分的極限定義式(特殊和式的極限)出發(fā),分析如何給出待求量的微元。

        2 基于定積分定義的微元法

        由上述分析知,微元法是根據(jù)定積分的極限定義,把其過(guò)程簡(jiǎn)化抽出其本質(zhì),進(jìn)而把所求量表示成定積分的一種簡(jiǎn)便方法。其思想是“化整為零”,先分析“微元”,再通過(guò)“微元”分析整體,也即“積零為整”。通俗地說(shuō)就是把研究對(duì)象化分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分,取其具有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理,再?gòu)木植康秸w加以綜合考慮的一種思維方法,在這個(gè)方法里充分體現(xiàn)了積分的思想。

        微元法其實(shí)質(zhì)仍然是一個(gè)特殊和式極限,只不過(guò)它簡(jiǎn)化了分割、近似代替、求和、取極限這種一般描述,而重點(diǎn)突出了用近似方法求微元,把求和與取極限的過(guò)程直接變?yōu)榍蠖ǚe分,所以用微元法解決實(shí)際問(wèn)題更簡(jiǎn)便,應(yīng)用范圍也更廣。而在具體用微元法解題時(shí),首先要根據(jù)已知條件確定與待求量F有關(guān)的變量x的取值區(qū)間,然后在此區(qū)間上任取一個(gè)典型小區(qū)間[x,x+dx],最關(guān)鍵是找到典型區(qū)間[x,x+dx]上部分量△F的近似值, 并設(shè)法表示為x的連續(xù)函數(shù)f(x)與dx的乘積。一般情況下,所求量的變化是非均勻連續(xù)變化的,但是在局部,在變化的一瞬間,可近似地把它看成是均勻連續(xù)變化的。因此,在實(shí)際應(yīng)用中, 通過(guò)在子區(qū)間[x,x+dx]上把非均勻變化的量近似看成是均勻的, 這樣以均勻代替不均勻,以不變代變,將所求得的值作為△F的近似值,也即作為F的微元。由此可知,應(yīng)用微元法的關(guān)鍵是寫(xiě)出正確簡(jiǎn)便的微元表達(dá)式dF=f(x)dx。而在應(yīng)用微元法解決問(wèn)題時(shí),人們往往忽視了近似代替量所需滿足的條件, 即誤差△F-f(x)dx應(yīng)為△x的高階無(wú)窮小,這是由函數(shù)微分的定義所決定?,F(xiàn)在關(guān)鍵的問(wèn)題是如何檢驗(yàn)△F-f(x)dx是△x的高階無(wú)窮小呢?我們可以采用下面的定理來(lái)驗(yàn)證。

        (1)F對(duì)區(qū)間[a,b]有可加性;(2)對(duì)區(qū)間[a,b]上的任意子區(qū)間

        [x,x+dx]有:mdx≤F[x,dx]≤Mdx, 其中m,M分別是f(x)在區(qū)間[x,x+dx]上的最大值和最小值。

        這樣,便可保證所找待求量F的微元是正確的,從而將待求量表示成一個(gè)定積分。

        3 結(jié)語(yǔ)

        微元法是用定積分解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一種有效的數(shù)學(xué)方法,但在使用微元法時(shí),要以整體為依托,不能隨意取元。所取微元應(yīng)具有所研究的整體對(duì)象的基本特征。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 費(fèi)祥歷,亓健.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京高等教育出版社,2015.8.

        [2] 薛長(zhǎng)峰.微元素法原理再探討[J].鹽城工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,20(4):15-16.

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