于娟+吳淑君

摘 要：定積分定義是一元函數(shù)積分學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，其與一元函數(shù)的極限、不定積分等都有著密切的聯(lián)系。“微元法”是一類應(yīng)用定積分解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題比較有效的數(shù)學(xué)方法。本文從定積分極限定義出發(fā)，分析并給出尋找待求量微元的一般方法，以加深初學(xué)者對(duì)微元法的理解。

關(guān)鍵詞：定積分定義 微元法 基本思想

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）05-0023-01

1 引言

從古希臘阿基米德的“窮竭法”、魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的

“割圓術(shù)”，到17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒的“行星運(yùn)動(dòng)三大定律”，再到牛頓—萊布尼茲微積分理論的初步確立，其基本思想方法均可歸結(jié)為“分割，近似代替，求和，取極限”。在應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，若按定積分定義求解，則需要進(jìn)行“分割，近似代替，求和，取極限”這四步，顯然這種做法太過(guò)繁瑣。因此，在處理實(shí)際的幾何、物理、化學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)等問(wèn)題時(shí)，往往把這個(gè)過(guò)程簡(jiǎn)化成一種比較簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)方法——微元法。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，在用微元法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往僅僅是機(jī)械的模仿，而并未領(lǐng)會(huì)到微元法的核心思想所在。因此本文從定積分的極限定義式（特殊和式的極限）出發(fā)，分析如何給出待求量的微元。

2 基于定積分定義的微元法

由上述分析知，微元法是根據(jù)定積分的極限定義，把其過(guò)程簡(jiǎn)化抽出其本質(zhì)，進(jìn)而把所求量表示成定積分的一種簡(jiǎn)便方法。其思想是“化整為零”，先分析“微元”，再通過(guò)“微元”分析整體，也即“積零為整”。通俗地說(shuō)就是把研究對(duì)象化分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，取其具有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植康秸w加以綜合考慮的一種思維方法，在這個(gè)方法里充分體現(xiàn)了積分的思想。

微元法其實(shí)質(zhì)仍然是一個(gè)特殊和式極限，只不過(guò)它簡(jiǎn)化了分割、近似代替、求和、取極限這種一般描述，而重點(diǎn)突出了用近似方法求微元，把求和與取極限的過(guò)程直接變?yōu)榍蠖ǚe分，所以用微元法解決實(shí)際問(wèn)題更簡(jiǎn)便，應(yīng)用范圍也更廣。而在具體用微元法解題時(shí)，首先要根據(jù)已知條件確定與待求量F有關(guān)的變量x的取值區(qū)間，然后在此區(qū)間上任取一個(gè)典型小區(qū)間[x，x+dx]，最關(guān)鍵是找到典型區(qū)間[x，x+dx]上部分量△F的近似值， 并設(shè)法表示為x的連續(xù)函數(shù)f（x）與dx的乘積。一般情況下，所求量的變化是非均勻連續(xù)變化的，但是在局部，在變化的一瞬間，可近似地把它看成是均勻連續(xù)變化的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中， 通過(guò)在子區(qū)間[x，x+dx]上把非均勻變化的量近似看成是均勻的， 這樣以均勻代替不均勻，以不變代變，將所求得的值作為△F的近似值，也即作為F的微元。由此可知，應(yīng)用微元法的關(guān)鍵是寫(xiě)出正確簡(jiǎn)便的微元表達(dá)式dF=f（x）dx。而在應(yīng)用微元法解決問(wèn)題時(shí)，人們往往忽視了近似代替量所需滿足的條件， 即誤差△F-f（x）dx應(yīng)為△x的高階無(wú)窮小，這是由函數(shù)微分的定義所決定?，F(xiàn)在關(guān)鍵的問(wèn)題是如何檢驗(yàn)△F-f（x）dx是△x的高階無(wú)窮小呢？我們可以采用下面的定理來(lái)驗(yàn)證。

（1）F對(duì)區(qū)間[a，b]有可加性；（2）對(duì)區(qū)間[a，b]上的任意子區(qū)間

[x，x+dx]有：mdx≤F[x，dx]≤Mdx， 其中m，M分別是f（x）在區(qū)間[x，x+dx]上的最大值和最小值。

這樣，便可保證所找待求量F的微元是正確的，從而將待求量表示成一個(gè)定積分。

3 結(jié)語(yǔ)

微元法是用定積分解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一種有效的數(shù)學(xué)方法，但在使用微元法時(shí)，要以整體為依托，不能隨意取元。所取微元應(yīng)具有所研究的整體對(duì)象的基本特征。

參考文獻(xiàn)：

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