楊杰

[摘? ? ? ? ? ?要]? 傅里葉變換作為重要的數(shù)學(xué)工具在數(shù)學(xué)學(xué)科本身和工程的應(yīng)用中都起到非常重要的作用，這部分內(nèi)容也是復(fù)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)與積分變換課程中的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。主要討論如何在傅里葉變換的教學(xué)中推廣到分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，并探討它們之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生對(duì)傅里葉變換的理解更加深刻。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 傅里葉變換;分?jǐn)?shù)階傅里葉變換;Hermite-Gauss函數(shù)

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）11-0090-02

一、引言

傅里葉變換是工程領(lǐng)域，特別是信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法，例如在信號(hào)與系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理等相關(guān)課程中都占了比較大的篇幅。但是為什么要進(jìn)行傅里葉變換，其變換的物理含義是什么，一直是學(xué)生對(duì)其理解的難點(diǎn)。本文主要根據(jù)自己多年從事復(fù)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)實(shí)踐，為了讓學(xué)生所學(xué)知識(shí)更好地為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)服務(wù)，適時(shí)地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)這兩門課程中關(guān)于傅里葉變換教學(xué)中所存在的問(wèn)題進(jìn)行分析，提出了一點(diǎn)自己的意見(jiàn)和建議。

傅里葉變換是傅里葉在十八世紀(jì)初為了得到熱傳導(dǎo)方程的簡(jiǎn)便解法而提出來(lái)的，后來(lái)在其他自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域迅速得到了廣泛的應(yīng)用，特別是成為信號(hào)處理方面不可或缺的一種數(shù)學(xué)工具。傅里葉變換作為復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)內(nèi)容的核心之一，一方面表現(xiàn)在教學(xué)中，傅里葉變換是其他積分變換法的基礎(chǔ)。傅里葉變換擁有良好的基本性質(zhì)，這是決定其重要性和廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵因素之一，因此對(duì)傅里葉變換基本性質(zhì)的講解要作為教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，這也是作為工科學(xué)生應(yīng)用的基礎(chǔ)。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)掌握有一定的難度，并且往往理解不夠深刻，另一方面，傅里葉變換對(duì)處理某些問(wèn)題具有局限性。本文主要從另一個(gè)角度來(lái)介紹傅里葉變換，讓學(xué)生理解傅里葉變換更加深刻，進(jìn)一步通過(guò)這種方法把傅里葉變換進(jìn)行推廣，從而得到分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，讓學(xué)生了解到分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的重要性和科學(xué)發(fā)展的歷史性。

二、傅里葉變換到分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的拓展

為了讓學(xué)生對(duì)傅里葉變換有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，在講解傅里葉變換前簡(jiǎn)單介紹傅里葉變換的由來(lái)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到理論發(fā)展的歷史機(jī)遇和現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，然后重點(diǎn)講解傅里葉變換的概念、主要性質(zhì)、一些常用函數(shù)的傅里葉變換和傅里葉逆變換以及傅里葉變換在頻譜分析中的應(yīng)用。大家熟悉的傅里葉變換定義形式為：

通過(guò)這兩個(gè)定義表達(dá)式，讓學(xué)生知道可以把一個(gè)信號(hào)本身的時(shí)域特性經(jīng)過(guò)傅里葉變換后就轉(zhuǎn)化成信號(hào)的頻域特性，然后進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析和信號(hào)傳輸，最后再利用傅里葉逆變換還原為信號(hào)本身，從而達(dá)到信號(hào)分析和傳輸?shù)哪康摹?/p>

為了讓學(xué)生對(duì)傅里葉變換有更深刻的認(rèn)識(shí)，用一次課的時(shí)間從另一個(gè)角度來(lái)討論傅里葉變換，從而把經(jīng)典的傅里葉變換推廣到分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。在1980年，Namias將傅里葉變換的特征值與特征函數(shù)作為出發(fā)點(diǎn)，引入了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義。具體來(lái)講，普通的傅里葉變換是定義在信號(hào)空間上的連續(xù)線性算子F，對(duì)其特征方程是

這樣，通過(guò)特征值和特征函數(shù)就完全定義了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。由上式可知，當(dāng)p=1時(shí)，可退化為經(jīng)典的傅里葉變換，當(dāng)p=-1時(shí)，可退化為經(jīng)典的傅里葉逆變換。通過(guò)這種形式的講解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多種角度看待問(wèn)題，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，開(kāi)闊他們的視野。然后通過(guò)對(duì)比經(jīng)典傅里葉變換和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的性質(zhì)，讓學(xué)生更加清楚兩者之間的聯(lián)系。

三、經(jīng)典傅里葉變換與分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的性質(zhì)比較

傅里葉變換和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換有很多性質(zhì)都是相似的，上表中我們只列出了這兩種變換主要而且常用的三個(gè)變換性質(zhì)，而這三個(gè)性質(zhì)也是在信息處理中常用的。由上表可知，性質(zhì)1是指變換的平移特性，性質(zhì)2是變換的微分特性，性質(zhì)3是變換的積分特性。從形式上看，經(jīng)典的傅里葉變換的性質(zhì)比分?jǐn)?shù)階傅里葉變換簡(jiǎn)單，但分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的參數(shù)a可以任意取值，當(dāng)它取特殊值時(shí)，這樣可以讓表達(dá)式得到簡(jiǎn)化。在下一節(jié)，我們用具體的例子說(shuō)明利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的微分性質(zhì)，一方面選擇特定a可以降解，另一方面，還得處理變系數(shù)的微分方程。需要說(shuō)明的是對(duì)經(jīng)典的傅里葉變換，冪函數(shù)與能量有限信號(hào)的乘積不一定是可積的，也就是經(jīng)典傅里葉變換積分發(fā)散。但對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換來(lái)說(shuō)，冪函數(shù)與能量有限信號(hào)的乘積積分在取特定的a時(shí)是收斂的，這樣，處理的信號(hào)就比經(jīng)典傅里葉變換更加廣泛。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到科學(xué)的發(fā)展是循序漸進(jìn)、不斷完善的一個(gè)過(guò)程。

四、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在工科實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

傅里葉變換的應(yīng)用是廣泛的，其中一個(gè)應(yīng)用是對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，另一個(gè)應(yīng)用是解決常系數(shù)微分方程的求解。為了讓學(xué)生更加深刻地理解分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，作為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的應(yīng)用討論變系數(shù)的微分方程的求解，以物理和工程中出現(xiàn)的量子諧振子的時(shí)間獨(dú)立的薛定諤方程的求解，來(lái)給學(xué)生展示這種積分變換的意義。

五、總結(jié)

本文主要從物理中的微分方程簡(jiǎn)單介紹了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的作用，如果課時(shí)允許，還可以從信號(hào)處理角度給出它的應(yīng)用。這樣可以把原有的理論知識(shí)與工程實(shí)踐密切結(jié)合并達(dá)到觸類旁通，提高專業(yè)素養(yǎng)的目的。通過(guò)上述關(guān)于傅里葉變換和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的討論，可以進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到隨著時(shí)代的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展，對(duì)人才的需求也在不斷發(fā)生變化，作為教師，在為學(xué)生提供教學(xué)服務(wù)時(shí)，應(yīng)該了解不同專業(yè)學(xué)生的需求，并且適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生介紹一些現(xiàn)代分析問(wèn)題的工具，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的積極性。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 馬燕萍