李志青 曾鵬 藍光進

【摘要】《微積分》是大學本科中一門重要的學科基礎課程，其中的微分學與積分學內容是微積分的兩個重要組成部分，它的基本概念是導數和微分.導數知識在許多實際問題中都有非常廣泛的應用，許多數學模型均可以借助導數的方法來解決.導數概念比較抽象，使得學生學習導數時存在不少問題.這類問題需要教師在教學時深入探究.本文首先舉例說明導數的概念以及相關的數學模型應用，分析學生學習導數遇到的問題，并對導數教學方法和教學內容的改革進行進一步的探討與研究，以便學生理解、掌握導數內容.

【關鍵詞】微積分;導數;教學方法

【基金項目】廣州華商學院校內導師制項目：No.2019HSDS23

一、引 言

在現(xiàn)實生活和自然科學中，許多問題模型都與導數有關.本文首先給出導數概念，并通過幾個常見的數學模型舉例說明導數的應用，再針對微積分課程中遇到的教學問題，探討高等數學中導數的教學方法.如何使抽象的導數理論知識變得直觀易懂，從而讓學生學好導數，是我們要重點考慮的問題.

導數的概念：設函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）內有定義，x0∈（a，b），若函數y=f（x）在x0處的差商ΔyΔx的極限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx存在，則稱函數y=f（x）在x0 處可導，并稱此極限值為函數y=f（x）在x0 處的導數，記為f′（x0），y′x=x0，dydxx=x0或df（x）dxx=x0.

二、導數應用及常見模型舉例

導數與物理、幾何、代數的關系密切.一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率.函數變化率反映了函數隨著自變量變化而變化的快慢程度，導數的本質就是通過所學極限的概念對函數進行局部的線性逼近.下面我們列舉一些函數變化率的例子，以便于讀者理解函數變化率，同時使讀者了解它在科學技術中的廣泛應用.

1.變速直線運動的瞬時速度

問題：已知物體移動的距離隨時間t的變化規(guī)律為s（t），如何由s（t）求出物體任意時刻的速度？

模型假設：變速直線運動物體在t0時刻的瞬時速度v（t0）反映了路程對于時間變化的快慢程度，是質點M在這段時間的平均速度.當Δt很小時，上式可近似地表示質點在t0時刻的速度，Δt越小，近似程度越高，當Δt→0時，如果極限limΔt→0ΔsΔt存在，則這個極限值就表示了質點t0時刻的瞬時速度.

2.切線方程

問題：由解析幾何知識知道，求過曲線y=f（x）上一點（x0，f（x0））的切線方程，難點是求過此點切線的斜率.

模型假設：設曲線的方程為y=f（x），求曲線上一點P0（x0，y0）處切線的斜率k.

模型的建立及求解：由切線的定義知，曲線的切線斜率與割線的斜率是密切相關的，k=limΔx→0k割=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx，點P0處的斜率k可看作曲線y=f（x）在x0處的導數.

3.邊際成本問題

問題：設某產品的總成本C是產量q的函數：C=C（q）（q>0），求當產量為q0時，總成本C隨產量q變化的快慢程度.

模型求解：若limΔq→0ΔCΔq=limΔq→0C（q0+Δq）-C（q0）Δq存在，則此極限值就表示產量為q0時，總成本C隨產量q變化的快慢程度（也稱為邊際成本）.

4.電流強度的問題

問題：設在[0，t]這段時間內通過導線橫截面的電量為Q=Q（t），求t0時刻通過導線橫截面的電流強度.

模型的建立及求解：如果是非恒定電流，從時刻t1 到時刻t2 這段時間內通過導線橫截面的電量為Q，那么它在t0時刻的電流強度為I（t0）=limΔt→0ΔQΔt=limΔt→0Q（t0+Δt）-Q（t0）Δt.

三、導數教學問題分析

針對前面提到的導數相關模型應用實例，分析教學中遇到的問題，我們能更好地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而得到更好的教學效果.

1.學習動力不足

目前，學生學習導數的狀況不容樂觀.大多數學生的學習往往是沒有目標的，缺乏學習的興趣和動力.專業(yè)發(fā)展的需要決定了課程設置，在還沒有學習專業(yè)知識的情況下，學生自然不知為何學習導數，如何學好導數.學生沒有明確的學習目標，在學習過程就會出現(xiàn)事倍功半的情況.

2.因知識點抽象而無法理解記憶

導數的概念具有很強的抽象性，從而導致學生對導數的理解存在一定難度.學生無法清晰地理解導數概念，也不理解瞬時變化率與平均變化率的極限之間的關系，不能理解導數的幾何意義，不清楚導數定義的本質，不能靈活運用導數公式以及導數的四則混合運算公式，不能將一個函數的原函數與導函數互相轉換.因此，導數的教學會出現(xiàn)很多問題，比如學生課外付出了很多時間學習與練習導數知識，但始終聽不懂、不理解，從而厭煩學習導數知識.如何改變這個現(xiàn)象呢？了解知識的發(fā)展狀況可以幫助學生體會抽象知識點的實際應用，從而加深理解.

3.教學方式單一

學生一般都是學習概念后套用公式進行計算，沒有了解知識內容的連貫性以及應用性，導致學習效果不佳.

4.學習導數的低效盲目性

導數的定義與它的概念的描述相對冗長，并且高度抽象，具有較強的計算技巧，導致學生的學習低效，因此，在熟練掌握導數知識點之后，學生需要體會導數的幾何意義，在此基礎上，針對導數的應用學習多種技巧，將知識應用于解決問題.

5.對導數的實際應用無法理解