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        高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的實踐思考

        2021-08-27 10:00:25鄧偉
        新課程·上旬 2021年23期
        關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合思想高中數(shù)學(xué)解題

        鄧偉

        摘 要:數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中最為常見的數(shù)學(xué)解題思想之一,能夠做到在“數(shù)”與“形”的綜合與轉(zhuǎn)化之中解決許多看似困難的問題,因此成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重點和難點。通過數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的實際應(yīng)用案例來明確其應(yīng)用的方式和相應(yīng)的解題方法,并提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法,鼓勵培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和意識。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);解題;數(shù)形結(jié)合思想

        高中數(shù)學(xué)不僅是一門需要技巧和思考的學(xué)科,更需要高中生具有數(shù)形結(jié)合解決實際問題的意識。如教材當(dāng)中的函數(shù)、立體幾何、導(dǎo)數(shù)等,這些都是高中生不太容易掌握但是必須掌握和運用的內(nèi)容,這就需要高中生有數(shù)形結(jié)合的意識,才能夠很好地解決這些復(fù)雜難懂的問題。本文將以案例分析的方式重點解讀如何準(zhǔn)確且熟練地在解題過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。

        一、數(shù)形結(jié)合思想簡述

        數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個基礎(chǔ)學(xué)科?!皵?shù)形結(jié)合”這個觀點是華羅庚先生在其數(shù)學(xué)著作《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》一書中提出的,這算是近代數(shù)學(xué)思維體系中第一次把“數(shù)形結(jié)合”確立為思想的范疇加以分析和應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用幾乎貫穿整個高中數(shù)學(xué)教材,在方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、立體幾何、圓錐曲線等內(nèi)容中都可以發(fā)現(xiàn)運用數(shù)形結(jié)合思想的蹤跡。由此可見,數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中分布十分廣泛,所以研究數(shù)形結(jié)合思想對求解數(shù)學(xué)問題十分重要。并且運用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題,不僅能夠鍛煉高中生的思維,還能夠鞏固他們對數(shù)學(xué)知識的理解。

        二、數(shù)形結(jié)合思想的具體運用

        (一)直接與圖象相結(jié)合

        高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,一些數(shù)學(xué)問題數(shù)量關(guān)系比較抽象,這就會為求解實際問題增加一定的難度,這時就需要對問題條件進行充分分析和理解。比如,可以看看其中是否存在明顯的幾何意義,若能夠通過數(shù)形結(jié)合的方式進行求解,便可以直接通過畫圖的方式,利用已知條件,對數(shù)量關(guān)系進行了解,按照題目給出的數(shù)量關(guān)系與限制條件進行求解。

        例1.已知集合A=(x|x2+5x+5<0),B=(x|x2-2x+2<0),求A∪B.

        集合作為高中數(shù)學(xué)的基本問題,也可以用數(shù)形結(jié)合的方式簡單求解得出。例1是一個有關(guān)集合的基本樣題,像這種問題的描述往往比較枯燥,但是數(shù)形結(jié)合能夠有效地解決這類問題。首先,這類集合問題可以根據(jù)問題描述獲取可以用畫圖方式表示的信息。具體到本題,就可以根據(jù)題干中提供的兩個不等式,求解二次方程獲得解集,并將解集表示在一條一維坐標(biāo)軸上,畫圖表示,再通過集合中對交集的描述,就能夠很容易地解決問題。

        (二)通過轉(zhuǎn)化實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

        在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間,諸多數(shù)學(xué)問題無法直接看出其中蘊含的幾何意義,這就需要依靠變形的方式,將題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形性質(zhì)同題,從而將抽象的問題具體化,進一步完成對晦澀難懂的數(shù)學(xué)問題的求解。

        1.直線斜率模式

        對該種類型的數(shù)學(xué)問題進行求解時,若能夠?qū)⑺鶈枂栴}轉(zhuǎn)變成為(a+d)/(b+c)這種形式,就可以將其轉(zhuǎn)變成為直線斜率公式,按照斜率的幾何解釋,對斜率變化規(guī)律進行分析和研究,從而快速求解問題。

        2.直線截距模式

        對數(shù)學(xué)問題進行求解時,若問題涉及相關(guān)關(guān)系式,便可以將其直接轉(zhuǎn)化成c=ax+by這種形式,再根據(jù)直線截距幾何的意義對截距變化規(guī)律進行分析,從而完成問題的求解。

        (三)通過類比聯(lián)想實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

        所謂聯(lián)想,即將題目信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形模型,求解數(shù)學(xué)問題時,這種類比聯(lián)想起到了非常重要的作用,簡化了解題步驟的復(fù)雜,也便于高中生思考問題。對數(shù)學(xué)問題進行求解的過程中,可以通過題目中的已知條件和高中生已學(xué)知識,利用類比聯(lián)想的方式,直按將其與類似的數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系,選擇與原問題有關(guān)的幾何圖形,通過對這些圖形進行研究,降低數(shù)學(xué)問題的抽象性,簡化數(shù)學(xué)問題,從而達到問題的求解。

        例2.已如0

        上述問題就屬于需要聯(lián)想的問題,閱讀題目可以看出,其中含有指數(shù)、對數(shù)、絕對值,而且對數(shù)函數(shù)的底數(shù)有自身定義域。這樣一個綜合性問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中用來考查學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的案例。根據(jù)相關(guān)函數(shù)的圖象,可以畫出對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象,根據(jù)已學(xué)知識,我們可以知道,根的數(shù)目可以轉(zhuǎn)化成兩個圖象的交點的數(shù)目。

        三、結(jié)語

        在日常教學(xué)過程中,如果教師多加總結(jié),就能夠豐富數(shù)學(xué)見聞,掌握更多數(shù)學(xué)知識,領(lǐng)略數(shù)學(xué)科學(xué)精深的魅力??梢酝ㄟ^自己對數(shù)學(xué)問題中數(shù)形結(jié)合思想的深刻領(lǐng)會,總結(jié)出一套可以指導(dǎo)學(xué)生發(fā)展其數(shù)形結(jié)合能力的教學(xué)方法,這樣就能夠更好地教育和指導(dǎo)學(xué)生。

        參考文獻:

        李筠.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中教學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo),2013(25).

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