牛德軍 余慶純

【摘 要】根與系數(shù)的關(guān)系是一元二次方程的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。數(shù)學(xué)文化視角下“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”課例教學(xué)，通過韋達(dá)、歐拉、拉克洛瓦對一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的證明，華里斯運用韋達(dá)定理推導(dǎo)一元二次方程的求根公式等內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)文化，借助探究“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”活動，讓學(xué)生重構(gòu)式地親歷“歸納—猜想—論證”的“做數(shù)學(xué)”的過程，滲透由特殊到一般、設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想。實踐表明，“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”課例教學(xué)浸潤知識源流、審美娛樂、多元文化三個維度的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，深刻地揭示了數(shù)學(xué)史的六類教育價值。

【關(guān)鍵詞】一元二次方程;根與系數(shù)的關(guān)系;數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)文化

【作者簡介】牛德軍，一級教師;余慶純，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）

一、引言

數(shù)學(xué)是現(xiàn)代文化的重要組成部分，它的內(nèi)容、思想、方法和語言已經(jīng)廣泛滲入人們的日常工作和生活中，影響著人們的思維方式，推動社會文化的進(jìn)步[1]。狹義的數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展;廣義的數(shù)學(xué)文化除上述內(nèi)涵外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等[2]。基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化可分成知識源流、學(xué)科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂與多元文化五個內(nèi)涵維度（如圖1）[3-4]?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計，要有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)數(shù)學(xué)思考[5]?？梢?，數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課例教學(xué)是很有必要的。

現(xiàn)行人教版、北師大版和滬教版三個版本的九年級數(shù)學(xué)教科書中，均涉及“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”（見表1）。滬教版教科書從解一元二次方程入手，歸納出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，再用求根公式加以證明[6];人教版教科書從求根公式出發(fā)，思考根與系數(shù)的聯(lián)系，然后采用因式分解法和求根公式法證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系[7];北師大版教科書從求根公式出發(fā)，思考一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，通過解方程總結(jié)規(guī)律，再用求根公式加以證明[8]。在引入根與系數(shù)的關(guān)系時，人教版、滬教版都運用了求根公式，北師大版是用解方程來引入。在證明方法上，三個版本的教科書都采用了求根公式法，其中人教版還介紹了運用因式分解證明的方法。

以往的教學(xué)設(shè)計往往只注重“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的歸納運用，對定理的證明關(guān)注較少，且證明定理多采用求根公式法，很少體現(xiàn)設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想。運用求根公式法證明該定理雖然容易理解，但存在以下不足：（1）不符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的歷史序;（2）不利于設(shè)而不求數(shù)學(xué)思想的滲透;（3）不便于學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如通過一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來研究一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

基于數(shù)學(xué)文化視角的“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”課例教學(xué)研究，筆者擬訂以下教學(xué)目標(biāo)。

（1）重構(gòu)式地親歷“歸納—猜想—論證”的“做數(shù)學(xué)”的過程，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，滲透由特殊到一般、設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理多種證明方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（2）通過學(xué)習(xí)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的相關(guān)歷史，感悟數(shù)學(xué)家追求真理的理性精神，體驗數(shù)學(xué)美，品味多元數(shù)學(xué)文化。

二、史料運用

數(shù)學(xué)文化視角下“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”課例教學(xué)，離不開數(shù)學(xué)史料的巧妙運用。筆者梳理了“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的相關(guān)史料，具體如下。

由此可見，韋達(dá)所指的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是不考慮重根情況的。但他是歷史上第一個以定理的形式討論根與系數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)家。他所用的方法蘊含了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，并運用了代入相減的數(shù)學(xué)方法。

（二）因式分解法

18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler）在《代數(shù)基礎(chǔ)》中證明了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系[10]。方法如下。

歐拉也是采用設(shè)而不求的思想來證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，與韋達(dá)不同，歐拉采用了因式分解的方法，而且歐拉的證明沒有排斥重根的情況。

（三）拉克洛瓦“新證法”

18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉克洛瓦（S.F.Lacroix）在其《代數(shù)基礎(chǔ)》中給出了一種新的證明方法[11]。

拉克洛瓦的證明采用了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，不同的是，拉克洛瓦沒有假設(shè)方程的兩根，而是只假設(shè)了方程的一個根。

由此可見，歷史上很多數(shù)學(xué)家都不是利用求根公式來證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的。恰恰相反，19世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯（W.Wallace）運用該定理推導(dǎo)出了一元二次方程的求根公式[12]。

通過溯源數(shù)學(xué)史，我們發(fā)現(xiàn)：（1）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的意義，在于未知方程的兩根，而求得這兩根的和與積。運用設(shè)而不求的思想證明該定理，更加符合數(shù)學(xué)知識的歷史序，也有助于進(jìn)一步研究一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系。（2）數(shù)學(xué)史促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展不僅有實際應(yīng)用，還能滿足人類的智力好奇、審美娛樂等。英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素（W.Russell）說過：“數(shù)學(xué)，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美?！睌?shù)學(xué)美包括簡潔美、對稱美、奇異美和統(tǒng)一美等[13]。通過探究定理的不同證明方法，體驗設(shè)而不求數(shù)學(xué)思想的簡潔美。（3）數(shù)學(xué)史上，任何概念、公式、定理或問題都不是某一個數(shù)學(xué)家，也不是某一個國家或地區(qū)的專利，不同時代、不同文明、不同地域的數(shù)學(xué)家都可能做出各自的貢獻(xiàn)。一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展也同樣體現(xiàn)了多元文化。韋達(dá)、歐拉、拉克洛瓦運用不同的方法來研究該定理，正是多元文化的具體體現(xiàn)。

鑒于此，“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”課例教學(xué)重構(gòu)式地融入該定理的演進(jìn)史。首先，引導(dǎo)學(xué)生通過歸納得到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而證明這一結(jié)論，體驗由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想;然后運用求根公式證明韋達(dá)定理后，沿著數(shù)學(xué)家的足跡，運用因式分解法、代入相減法與拉克洛瓦“新證法”進(jìn)一步探究該定理的證明，滲透設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)家的理性精神，培育動態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境

教師結(jié)合“進(jìn)入教室的前4名學(xué)生是男生，借助不完全歸納，得出班級內(nèi)所有學(xué)生都是男生”這一錯誤結(jié)論的生活實例，揭示通過解有限個方程來總結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模魏味ɡ矶夹枰?jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。

首先，師生共同探索、歸納出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（見表2）。

師：你能總結(jié)出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系嗎？

師：這個結(jié)論能作為一個定理嗎？

生1：能。

生2：不能。

師：大家意見不一致。請大家思考這個例子：某班有39名學(xué)生，其中女生21名，男生18名，若上課前進(jìn)入班級的前4名都是男生，因此判斷這個班級的學(xué)生都是男生。大家同意嗎？

生：不同意。只根據(jù)前4名學(xué)生的性別，就對全班學(xué)生的性別下結(jié)論，以偏概全了。

師：通過這4個一元二次方程得出的結(jié)論能作為一個定理嗎？

生：不能。這同樣犯了以偏概全的錯誤，是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

師：如果這個結(jié)論要作為一個定理，還需要做什么呢？

生：證明，需要比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[證明。只有證明了它是一個真命題，才可以作為一個定理。

（二）追本溯源

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下依次經(jīng)歷了用求根公式法、因式分解法、代入相減法和拉克洛瓦“新證法”證明該定理，感受了知識源流、審美娛樂以及多元文化，體驗數(shù)學(xué)文化的魅力。大部分學(xué)生首先采用求根公式法證明了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以下是學(xué)生證明一元二次方程根與系數(shù)的教學(xué)片段。

師：大家運用求根公式，證明了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。這個定理叫一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理，它是韋達(dá)首先提出的。不過，韋達(dá)的設(shè)想是不解方程而得到兩根之和與兩根之積。那么他會用求根公式法來推導(dǎo)這個定理嗎？

生：不會。用求根公式法相當(dāng)于解方程了。

師：你可以試試嗎？

師：設(shè)方程的根，但并未求根。這種數(shù)學(xué)思想是什么呢？

生：設(shè)而不求。

師：很好。設(shè)而不求是一種重要的數(shù)學(xué)思想。歐拉也曾證明過一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（展示歐拉的因式分解法）。想一想，歐拉的方法與這位同學(xué)的方法有何異同？

生：歐拉默認(rèn)二次項系數(shù)為1，但兩種方法本質(zhì)是相同的。

師：韋達(dá)是這樣推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的（展示韋達(dá)的代入相減法）。你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：其實就是韋達(dá)的代入相減法。

師：很好。你們又一次與數(shù)學(xué)家心有靈犀了。另一位數(shù)學(xué)家拉克洛瓦也給出了一種證明方法（展示拉克洛瓦“新證法”）。

生：拉克洛瓦也是運用了設(shè)而不求的思想，只設(shè)一根，方法非常巧妙。

（三）逆向思考

通過一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理推導(dǎo)求根公式，學(xué)生更加深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的來龍去脈;教師介紹華里斯的證明方法，讓學(xué)生體驗歷史相似性，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情。

師：用設(shè)而不求的思想推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。這符合該定理產(chǎn)生的歷史，實際上還可以通過這個定理來推導(dǎo)求根公式，大家試試看。

師：很好。這實際上是19世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯所用的方法（展示華里斯的方法）。

（四）拓展提升

通過探究一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，學(xué)生加深了對設(shè)而不求數(shù)學(xué)思想的理解，體驗數(shù)學(xué)的簡潔美。此外，教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理是韋達(dá)定理的一部分。

（五）課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到由特例得出的結(jié)論無法作為定理這一事實，強(qiáng)化由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想;回顧歷史上一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的證明方法，強(qiáng)化設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想;回顧數(shù)學(xué)家的故事，學(xué)生再次感受數(shù)學(xué)家追求真理的理性精神;回顧比較學(xué)生證明方法與歷史上數(shù)學(xué)家證明方法的異同，揭示歷史相似性原理，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。因此，課堂小結(jié)以及布置課后作業(yè)，促進(jìn)了學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性生成，強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)文化的領(lǐng)悟感知。

四、學(xué)生反饋

課后，教師對全班學(xué)生展開問卷調(diào)查，共收到38份有效問卷。問卷統(tǒng)計結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)文化視角下“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”課例教學(xué)加深了學(xué)生對知識的理解。課前測試結(jié)果顯示，約有49%的學(xué)生了解“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”，課后的測試結(jié)果顯示，100%的學(xué)生掌握了該內(nèi)容。在課前測試中，約有40%的學(xué)生可以證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理，課后100%的學(xué)生可以證明此定理。在課前約有24%的學(xué)生可以運用該定理，在課后這一比例上升至約74%。這說明數(shù)學(xué)文化運用于數(shù)學(xué)課堂，加深了學(xué)生對知識的理解。

數(shù)學(xué)文化運用于課堂實踐，促進(jìn)了證明方法的掌握。課例實施之后，學(xué)生不僅了解更多的證明方法，而且對不同的證明方法表現(xiàn)出不同的喜好程度（如圖2）。這說明，學(xué)生不僅掌握了多種證明方法，還對各種方法進(jìn)行了深入的比較，領(lǐng)會了不同證明方法背后的數(shù)學(xué)思想。

此外，通過“數(shù)學(xué)寫作”的形式，收集學(xué)生學(xué)習(xí)反饋，促進(jìn)知識理解，增強(qiáng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力。例如在兩位學(xué)生的習(xí)作中都闡述了韋達(dá)定理的歷史淵源，這表明學(xué)生對該定理的知識源流有更深刻的理解。學(xué)生A探究了高次方程根與系數(shù)的關(guān)系;學(xué)生B談到了歷史上數(shù)學(xué)家對韋達(dá)定理認(rèn)識的局限性，表明其邏輯推理素養(yǎng)得到了提升。同時，兩篇習(xí)作均談到了數(shù)學(xué)家的故事，他們紛紛被數(shù)學(xué)家追求真理的精神感動，也驚訝于自己的想法與歷史上數(shù)學(xué)家相似，實證“歷史相似性”的存在，這正是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)“德育之效”的生動體現(xiàn)。

五、教學(xué)反思

本課沿著一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的歷史發(fā)生順序，讓學(xué)生了解定理發(fā)生和發(fā)展的脈絡(luò)，從而對該定理的起源與發(fā)展有了更深刻的了解。數(shù)學(xué)文化“知識源流”維度讓學(xué)習(xí)自然而然，水到渠成。通過設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美;多種數(shù)學(xué)方法的使用，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的奇異美;不同數(shù)學(xué)家使用不同的方法，得到了同樣的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。數(shù)學(xué)文化“審美娛樂”維度有助于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)趣味，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念。數(shù)學(xué)文化的“多元文化”維度，帶領(lǐng)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)背后的思考。

本課例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的六類教育價值。沿著一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的歷史發(fā)展脈絡(luò)，學(xué)生自主探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，符合認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，使新知識易于理解，體現(xiàn)“知識之諧”;在定理探究過程中，滲透設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家靈活、多樣、精彩的方法，揭示“方法之美”;學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，體現(xiàn)了“探究之樂”;通過定理探究，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運算能力，展現(xiàn)了“能力之助”;數(shù)學(xué)文化的引入，“知識源流”“審美娛樂”和“多元文化”維度的滲透，共同彰顯了“文化之魅”;理性精神的培育、學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、學(xué)習(xí)信念的樹立、學(xué)習(xí)品質(zhì)的錘煉，落實了“德育之效”。

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（責(zé)任編輯：陸順演）