摘 要：解決反比例函數(shù)與面積問題時，一般可以結合k值與面積的基本模型解題，但是在反比例函數(shù)幾何綜合題中往往需要進行面積轉(zhuǎn)化，而等積變形法則是圖形面積轉(zhuǎn)化的重要工具之一。文章將舉例介紹依托面積模型，利用等積變形巧解反比例函數(shù)幾何綜合題。

關鍵詞：反比例函數(shù);面積模型;等積變形

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）21-0087-02

一、基本模型

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高他們學習數(shù)學的興趣和應用意識。

模型：北師大版教材九上第155頁“想一想”中蘊含著反比例函數(shù)的矩形面積模型。由數(shù)學新課程標準可知，學生要理解函數(shù)，并且掌握函數(shù)相應表述的方法。

二、基本方法

等積變形是指一個三邊長度固定的三角形，三角形的形狀在變，面積不變。它在初中階段是一個難點。在教學中要突破這一難點，教師就要借助各種相關的知識點。根據(jù)三角形的相關知識，學生能更便捷地分析解決此類問題。在解決此類問題的過程中，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)類型題，有助于他們快速形成相應的解題思路，形成系統(tǒng)性的解題思路。

等積變形法：用平行線間的距離相等，可以轉(zhuǎn)移等積的三角形。等積變形法是解決反比例函數(shù)的一個關鍵，教師要幫助學生形成相應的解題思路。在反比例函數(shù)中，無論圖形如何變化，但最基本的要點是不變的。只要學生形成這一概念，就能形成良好的數(shù)學思維。

如圖3，AB∥CD，則S?ABC=S?DBC。

三、等積變形在反比例函數(shù)面積中的應用

（一）已知平行線直接進行面積轉(zhuǎn)化

教學建議：學生已經(jīng)學習了平行線及平行四邊形的相關知識。學生在掌握原有平行線及平行四邊形相關知識的基礎上，利用等積變形法，形成解題思路。教師可以讓學生在學習中獲得成就感，促使學生提高學習積極性，有利于學生去探索數(shù)學王國中的奧秘，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想。

（二）構造平行線進行面積轉(zhuǎn)化

教學建議：在反比例函數(shù)教學過程中，有一部分圖形并不會直觀地呈現(xiàn)在學生眼前，這就需要學生仔細觀察圖形，并且根據(jù)圖形的特征有效添加輔助線，而添加輔助線，則是教學中的一個難點，突破這一難點，對提升學生的綜合認知能力有極大的促進作用。運用逆向思維添加輔助線是有效解決反比例函數(shù)中系列問題的又一大數(shù)學方法，活用這一方法，可以讓學生思維更具發(fā)散性。

四、教學建議

（一）立足文本，開拓思維

子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)。舉一隅不以三隅反，則不復也。”孔子強調(diào)對學生的啟發(fā)教育，由此及彼，由表及里。教師在數(shù)學教學過程中要重視學生憤悱狀態(tài)，只有當學生處于這樣的情形時，教師的點撥啟發(fā)才能起到撥云見日之效。學生思維的發(fā)散性，正是從教師舉一而學生能反三的過程中體現(xiàn)出來的。教學固然以教材為綱，但不應局限于題目或書本。教師應該培養(yǎng)學生把書本中的題的本質(zhì)抽象出來的能力，為學生設一個臺階，讓學生“跳起來摘到桃子”。

數(shù)學教學不單是得出結果，更重要的是培養(yǎng)學生分析解題的思維。學生通過獨立思考，或者思考之后與同學互相探討，從而獲得數(shù)學思維上的啟發(fā)。抑或是學生即使思考之后也誤入了思維的死胡同，這時，教師適時的啟發(fā)能讓學生有一種豁然開朗的感覺，這會讓學生對數(shù)學產(chǎn)生興趣，學生的思維也必然在此過程中得以拓展。

（二）提升數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學能力除了可以在數(shù)學課堂中培養(yǎng)，還可以在生活中培養(yǎng)。每個人都離不開數(shù)學這一基礎學科。只有當數(shù)學成為生活中的一部分，學生才能形成數(shù)學思維，數(shù)學能力才能得到提升。數(shù)學可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，學生應領會數(shù)學的嚴謹性和準確性。

初中數(shù)學教師要立足學生已有的知識水平讓學生根據(jù)圖形進行想象，并且在做數(shù)據(jù)分析的基礎上進行基本的數(shù)學建模，這為即將進入高中學習的學生打下堅實的基礎，從而有效提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

結語

數(shù)學教材中的模型是我們深入探究數(shù)學理論的一扇窗戶，也是我們帶領學生打開數(shù)學思維的大門。教材中的模型因囿于書本，不可能面面俱到，那么在數(shù)學教學中，教師就要開啟學生的數(shù)學思維，讓學生領略到模型的萬千變化。因為數(shù)學模型經(jīng)過演繹和推斷，最終是要回歸現(xiàn)實生活的。而模型是一個閉環(huán)的過程，它從實踐中來，當其形成系統(tǒng)的理論，必然會通過實踐的檢驗。當檢驗的結果是正確的或者基本正確的話，就可以用來指導實際;反之，則需要重新構建。

在反比例函數(shù)幾何綜合題中靈活運用數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化思想等構造平行線，運用平行線的性質(zhì)將圖形的面積進行轉(zhuǎn)換，結合圖性質(zhì)，再運用反比例函數(shù)中與 k 有關的面積模型，就可以將復雜問題簡單化，解決綜合題就有章可循了。這就要求教師在教學過程中引導學生多多總結一些常見的模型和常用思想方法，這樣，學生的數(shù)學思維能力就會得到大大的提升。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]羅 峻，段利芳.一組平行線架在雙曲線上的中考題剖析[J].數(shù)理化學習（初中版），2018（8）：31-34.

作者簡介：吳小珍（1983— ），女，中學一級教師，本科，研究方向：數(shù)學教育教學。