朱利文

(福建省廈門市思明區(qū)松柏中學(xué) 361012)

一、寫此文的靈感

回顧筆者在拋物線教學(xué)中，鑒于拋物線在考試中出現(xiàn)的位置和考查形態(tài)，在常規(guī)教學(xué)里，解題熟練度與計算效率的訓(xùn)練時間的比重偏大.但若過于頻繁受限于此，容易造成知識模塊的疲憊，不利于該模塊的教學(xué)活動深入.筆者也在努力地探索與嘗試，誠然對思維訓(xùn)練方面，刷百題不如“吃透”一題.有一次在課間看見一個學(xué)生在寫物理作業(yè)，學(xué)生畫著拋物線.我一問之下，得知學(xué)生在寫平行板電容器里帶電粒子偏轉(zhuǎn)的作業(yè)，而其中的類平拋運動軌跡不正是拋物線么？同時想起有這么一道題，難度不大，卻不禁發(fā)人深思.于是寫下這次的探索過程.

二、問題呈現(xiàn)

例題已知點E是拋物線C:y2=2px(p>0)的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線C的焦點，點P在拋線C上.在△EFP中，若sin∠EFP=μsin∠FEP，則μ的最大值為____.

解析△PEF中，通過正弦比容易聯(lián)想到邊之比，結(jié)合拋物線的定義，又是最值問題.所以基礎(chǔ)解法很自然地想到列出關(guān)于μ的函數(shù)關(guān)系式求最值.又由于拋物線和坐標軸的對稱性，在本文的處理中，都把點P記在第一象限.

圖1

三、探索

1.規(guī)規(guī)矩矩學(xué)科內(nèi)

探索切線的方法：

2.逐漸跨學(xué)科

方法三我們先看一個引理

圖3

引理1如圖，過拋物線C：y2=2px上一點P(x0,y0)作切線交準線于點A，過A作直線交拋物線C于點B、C，過點B、C、P作準線的垂線BM、CN、PH，垂足為M、N、H.則有FA為∠AFB的外角平分線，且AF⊥FP.③

∴2δ+∠BFC=180°,現(xiàn)固定點A逆時針旋轉(zhuǎn)直線ABC，點B與C靠近，∠BFC減小.

當臨界狀態(tài)點B與C重合于P時，∠BFC=0°.此時δ=90°，即AF⊥FP.

另外，記直線n為切線AP的法線，∵△PFA≌△PHA(AAS)，∴上圖中φ=θ=γ，進而i=r.

聯(lián)想到“一面二角三線”以AP為鏡面，F(xiàn)P為入射光線，n為法線.則由光的反射定律，知PD為即為反射光線.

拓展至三維空間，對于旋轉(zhuǎn)拋物面鏡，通過焦點，經(jīng)過鏡面反射后的光線都平行于對稱軸.③

回到原題，對于此題，即該圖的點A與E重合，則∠PHE=∠HEF=∠EFP=90°，又PF=PH

∴PHEF為正方形，以下同方法一.

方法四讓我們再看一個引理

圖4

引入運動學(xué)知識，是為了利用一個非常有效的現(xiàn)象結(jié)論：那就是質(zhì)點做曲線運動時，軌跡的切線方向為該點處的瞬時速度方向，也為改點處的實際運動方向.

回到本題.由運動結(jié)論知OA(即OA為△EFP的中位線)又為正方形，以下同方法一.

四、總結(jié)與反思

研究后，想起自己一開始面對此題的錯誤認知，明白不應(yīng)該去輕易地小看一道經(jīng)典問題.誠然在最開始看待這個問題的時候，筆者只是想著如何解決問題，能不能有什么拓展結(jié)論方便之后的使用.當發(fā)現(xiàn)此題的結(jié)構(gòu)太過特殊以至于難以得到推廣結(jié)論時，就開始有些輕視了.但出于不甘心，也出于相信經(jīng)典題之所以能成為經(jīng)典，一定有它的不同之處.于是靜下心琢磨，發(fā)現(xiàn)此題的一些內(nèi)涵，便寫了此文.

通過化歸與遷移，明白這道小題本身或許不方便做拓展推廣，但在解決它的過程中，卻可以融合多個知識的應(yīng)用.放在復(fù)習(xí)中，這樣關(guān)聯(lián)多個模塊，能做到中心開花的效果.通過該題的總結(jié)，可以促進發(fā)散性思維養(yǎng)成與關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí)，同時還有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并強化提升學(xué)生的記憶效率.

在①處體現(xiàn)的是均值不等式的味道.在②處體現(xiàn)拋物線的一般切線方程的形態(tài).在③處為拋物線的光學(xué)性質(zhì).④處體現(xiàn)的是勻變速曲線運動的正交分解法，是高中物理解題的基本功之一.

在總結(jié)反思后，讓自己對這類問題有了更深的認識.整理整理，再規(guī)劃好如何引導(dǎo)學(xué)生.循序漸進地啟發(fā)學(xué)生要如何操作，才能思考到這些環(huán)節(jié).寫下此文，也是一次記錄，告訴自己得再接再厲.題型強練的傳統(tǒng)模式得逐漸轉(zhuǎn)化成思維引導(dǎo)以學(xué)生為主體的多元化教學(xué)模式，才能從根本提升教學(xué)品質(zhì).這不是三分鐘熱度就能搞定的事，需要長期一步一個腳印去踏實行動才能實現(xiàn).共勉之……