魏春瑋

最短路徑問題是初中數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí)，很多同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)和應(yīng)用時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到困難。求定點(diǎn)與定直線的最短路徑，主要是利用兩點(diǎn)之間線段最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)來解決，特別是要用軸對(duì)稱進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這里充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考察。我們知道，“一個(gè)圖形沿一條直線折疊，它能夠與另一個(gè)圖形重疊，就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn);對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，即對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)距離都相等。”這是解決這類最短路徑問題的關(guān)鍵。下面分別對(duì)幾種定點(diǎn)與定直線的最短路徑問題進(jìn)行舉例說明。

一、兩定點(diǎn)與一條定直線中的最短路徑

例1.如圖1，已知直徑a和直線a外兩A、B，A、B在直線a兩側(cè)，在直線a上求作一點(diǎn)P，使PA +PB最短。

分析：兩定點(diǎn)A、B在直線a兩側(cè)，過兩定點(diǎn)A、B的直線一定與直線a相交，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，知交點(diǎn)到兩定點(diǎn)A、B的距離的和最短。

作法：連接A，B交直線L于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是要求作的點(diǎn)。

例2.要在河邊修一個(gè)水泵站，分別向在河同一側(cè)的張村和李莊送水，水泵站修在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？并說明理由。

已知：在直線a及其同側(cè)的兩點(diǎn)A、B，求作點(diǎn)C，使點(diǎn)C在直線a上，并且AC +BC最短。

分析：A、B兩點(diǎn)在直線a同側(cè)，能不能把它轉(zhuǎn)換成例1的問題來解決呢？我們知道對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)距離都相等，作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A'，即將點(diǎn)A轉(zhuǎn)移到直線a的另一側(cè)A'點(diǎn)，并不影響它到直線A上的任意一點(diǎn)距離。因此，作點(diǎn)A關(guān)于直線a的地稱點(diǎn)A'，就把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)換成在直線a兩側(cè)的兩點(diǎn)A'、B，變成例1問題就解決了。

作法：①作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A'，

②連接A'B交直線a于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為求作的點(diǎn)。

理由：在直線a上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC、AC'、A'C'、BC'

直線a是線段AA'的對(duì)稱軸，點(diǎn)C和C'在直線a上

AC=A'C，AC'=A'C'（線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）。

在 BA'C'中，A'B

所以AC +BC

即AC +BC最短。

二、兩定點(diǎn)與兩條定直線的最短路徑

例3.如圖3，已知點(diǎn)A、B和相交直線m、n，分別在直線m、n上各取一點(diǎn)C和D，使AC +CD +DA最短。

作法：連接AB交直線m于點(diǎn)C，交直線n于點(diǎn)D，則點(diǎn)C和D就是要求作的點(diǎn)。

例4.如圖4，A為馬廄、B為帳篷，牧馬人有某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，試確定這一天的最短路線。

已知：如圖5，點(diǎn)A、B在兩直線EF和MN相交所成的四個(gè)角中的一個(gè)角的內(nèi)部，

求作：在直線MN和EF上長(zhǎng)各找一點(diǎn)C和D，使得AC +CD+DB最短。

分析：A、B兩點(diǎn)在直線a同側(cè)，能不能把它轉(zhuǎn)換成例1的問題來解決呢？作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)B'，就變成例3的問題了。

作法：①作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，

②作點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)B'，

③連接A'B'分別交直線MN和EF于點(diǎn)C和D，

④連接AC、BD，則C、D為所求作的點(diǎn)。

三、一定點(diǎn)與兩定直線的最短路徑

例5.如圖6， P是銳角 AOB內(nèi)的一點(diǎn)，在 AOB的兩邊分別找點(diǎn)M、N使得PM +MN +PN最短。

分析：若把P看成是兩個(gè)重合的點(diǎn)，就是例4的特殊情況，用例4的方法就解決了。

作法：①作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn) ，

②作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn) ，

③連接 ?交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，則點(diǎn)M、N為所求。

證明：連接PM、PN，在邊OA上任取一點(diǎn)E，在邊OB上任取一點(diǎn)F，連接PE、PF、EF、E 、F

與P關(guān)于OA成軸對(duì)稱， ?與P關(guān)于OB成軸對(duì)稱，

OA是 P的垂直平分線，OB是 P的垂直平分線。

M =MP，E =EP，N =NP，F(xiàn) =FP，

PM +MN +NP = M +MN + N = ?，

PE +EF +FP =E +EF +F > ?，

PM +MN +NP

即PM +MN +NP最短。

由上可見，最短路徑的確定，主要是把幾個(gè)路徑不在同一直線上的問題，通過軸對(duì)稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)變成在同一條直線上問題來解決，把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成較簡(jiǎn)單的問題來解決，使同學(xué)們的化歸思維能力得到一定鍛煉。

解決上述問題學(xué)生經(jīng)歷了從“覺悟”與“實(shí)踐”的過程。通過合理設(shè)計(jì)揭示了形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)揮數(shù)學(xué)建模思想在解決實(shí)際問題中重要作用，同時(shí)學(xué)會(huì)勤于思索、善于挖掘、勇于探索的學(xué)習(xí)方法，發(fā)展了創(chuàng)新能力。