【摘 要】在后疫情時代，基于專業(yè)學習共同體的線上研討成了重要的教研方式。研究者以三角形中位線定理為例，整理了HPM課例線上研討和線下實施的過程，呈現了研究方法、實施流程、研究結果、教研規(guī)律等，為初中教師線上教研和課堂教學提供參考。

【關鍵詞】線上研討;三角形中位線定理;專業(yè)學習共同體;課例研究

【作者簡介】司睿，華東師范大學教師教育學院在讀碩士研究生，主要從事數學史與數學教育研究。

隨著HPM專業(yè)學習共同體的擴大和課例研究的深入開展，越來越多的HPM課例應運而生，但由于歷史研究、教學設計、學術研討、學生基礎等多方面的原因，這些課例都有待進一步完善的空間。以三角形中位線定理為例，已有課例[1]11-15的不完善之處主要有以下兩個方面：一是學生在課堂上探究三角形中位線定理的證明時，未能再現歷史上所有的方法;二是學生在做出證明時，教師未能通過古今對照及時進行評價，從而失去了落實學科德育的機會。

在后疫情時代，HPM工作室課例研究的“研討與設計”環(huán)節(jié)，從線下轉到了線上，線上交流平臺的多樣化與時間的靈活性使得課例的研討與交流更加便捷。通過網絡教研平臺，高校研究人員匯報相關主題的歷史，總結已有的教學設計。執(zhí)教者匯報其初步的教學設計，然后HPM工作室成員展開深入研討。執(zhí)教者根據研討結果，對教學設計進行改進后，選擇一個或多個班級進行試講，再根據試講的效果，對教學設計做出進一步的完善，最后付諸實踐。本文以三角形中位線定理為例，呈現基于線上研討的課例研究過程。

一、歷史材料及其應用

公元前1700年左右，古巴比倫泥版書記載了許多三角形土地分割問題，其中包括三角形中位線的問題。

歐幾里得在《幾何原本》中利用面積法證明了更一般的定理（命題VI.2）：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點連線段平行于三角形的底邊?！盵2]如圖1，在中位線的特殊情形中，因為△BDE和△CED面積相等，故DEBC;又因為△BCE的面積是△BDE的兩倍，故BC = 2DE。

中國漢代數學典籍《九章算術》“方田”章中記載了求三角形土地面積的問題：“今有圭田廣十二步，正從二十一步。問：為田幾何？”術曰：“半廣以乘正從?！盵3]三國時期數學家劉徽利用出入相補法，將三角形轉化為矩形，由此推導出三角形的面積公式，如圖2和圖3所示。[4]同樣的方法可用于三角形中位線性質定理的證明。

18—20世紀的西方幾何教科書采用多種方法證明三角形中位線定理。法國數學家勒讓德（A.M.Legendre）在《幾何基礎》中采用了反證法;蘇格蘭數學家萊斯利（J.Leslie）在《幾何和平面三角學基礎》中沿用了歐氏面積法;美國數學家菲利普（Phillips）在《幾何基礎》中利用平行線等分線段定理，采用同一法來證明;美國數學家維納布爾（Venable）在《幾何基礎》中采用了平行四邊形法進行證明。在19 世紀末20 世紀初的幾何教科書中，大多數采用圖4所示的平行四邊形法來證明三角形中位線定理。我國現行初中教科書大多數采用此法。

法國數學家瓦里尼翁（P.Varignon）利用三角形中位線定理，發(fā)現順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，且面積是原四邊形的一半，后人將中點四邊形稱為瓦里尼翁四邊形。

從古巴比倫泥版書上記載的三角形土地分割問題，到不同國家和地域的數學家的不同證明方法，其凝結了豐富的數學思想，呈現了多元的數學文化。本節(jié)課設計探究活動，再現三角形中位線定理的發(fā)現過程與不同的證明方法，通過古今對照，實現數學史的多元教育價值。

二、基于線上研討的課例研究

執(zhí)教者研讀三角形中位線定理的歷史素材以及已有的課例，并和高校研究者借助在線網絡平臺進行簡短的溝通后，提出了自己的困惑以及創(chuàng)新的難點，接著根據自己的思考和經驗完成教學設計（Ⅰ），之后HPM專業(yè)學習共同體利用騰訊會議平臺，就教學設計進行深入研討。

1.線上研討

在第一次線上研討會上，高校研究者首先就三角形中位線定理這一主題，做了史料、課程標準和教材的分析，以及已有教學設計的綜述。執(zhí)教者匯報了教學設計（Ⅰ）的設計過程，并提出自己的困惑。

執(zhí)教者將本節(jié)課定位為一節(jié)探究課，通過引導學生對三角形中位線定理的不同證明方法進行探究，形成古今對照。教學目標如下。

（1）理解三角形中位線概念，經歷三角形中位線概念的形成過程，體會從特殊到一般的數學思想。

（2）經歷三角形中位線定理的探索過程，體會觀察、歸納、推理、應用的數學研究過程，感受嚴謹、務實的科學態(tài)度。

（3）了解歷史上三角形中位線的證明方法，感悟其歷史文化內涵和古人的探究精神，體會幾何學的魅力。

本節(jié)課的教學重點是三角形中位線定理的證明，教學難點是證明方法的探究。

教學過程由活動引入、定理探究、新知應用、課堂小結和布置作業(yè)五個環(huán)節(jié)構成，具體見表1。

之后，大家對教學設計（Ⅰ）進行探討：關于活動引入環(huán)節(jié)，距離測量的情境已經被人們廣泛采用;已有的HPM課例的三角形土地分割情境，是根據古巴比倫泥版書上的土地分割問題改編的，教師從學生的分割方案出發(fā)，自然引出三角形中位線概念[1]11-15。為了有所創(chuàng)新，執(zhí)教者設計了“三角形的內接三角形”問題。高校研究者認為該問題并沒有建立在學生的生活經驗基礎上，不符合三角形中位線產生的歷史動因，顯得不夠自然。關于活動引入環(huán)節(jié)，高校研究者提出兩個建議：（1）通過設計三角形瓷磚的粘貼方案，引導學生發(fā)現三角形中位線概念和性質再設計證明;（2）通過推導三角形面積公式引入，學生可能會采用分割的方案，利用有關方案，即可自然引出三角形中位線概念。

關于定理探究環(huán)節(jié)，高校研究者提出兩個建議：（1）總結證明方法所蘊含的轉化思想——面面關系與線線關系的轉化;（2）從特殊到一般建立不同證明方法之間的聯系。關于新知應用環(huán)節(jié)，大家認為，本節(jié)課的重點在于三角形中位線定理的探究，中點四邊形對于學生來說較難，不宜喧賓奪主。關于課堂小結環(huán)節(jié)，高校研究者建議應從知識升華到數學思想的高度。

2.第一次試講

集體在線研討后，高校研究者和執(zhí)教者線上討論，選取適當的史料，制作按照時間順序呈現三角形中位線定理發(fā)展的微視頻，以便更好地進行古今對照。根據高校研究者整理的在線研討的反饋，執(zhí)教者對教學設計（Ⅰ）做了改進，形成教學設計（Ⅱ），見表2。

執(zhí)教者根據教學設計（Ⅱ）進行了第一次試講。學生在課堂上分別將三角形轉化為平行四邊形、矩形和梯形，與歷史上數學家的證明方法一致，達成了教師的預期目標，整個課堂氛圍良好，學生紛紛展示自己的證明。關于中點四邊形的面積問題（如圖7），一名學生連接四邊形對角線AC，利用三角形全等來證明。在最后的課堂小結環(huán)節(jié)，除了對知識內容進行歸納總結，一名學生還上升到了數學思想的高度。他指出，證明方法的背后是轉化，構造矩形的方法是構造平行四邊形方法的特例，構造兩組全等三角形，其實是構造一組三角形全等的特例，轉化為梯形的方法是研究三角形的面積在等高的情況下底邊之間的關系。

3.第二次試講

第一次試講基本達到了預期的教學效果。在仔細閱讀教科書和史料后，執(zhí)教者發(fā)現教科書上的例題和中點四邊形有關，于是根據學生的實際情況對新知應用環(huán)節(jié)的例2做了一些改動，形成教學設計（Ⅲ）：首先，設計一個圖形（如圖8），其中點C是△ABD內任意一點，點E、F、G 、H分別是BC、DC、AD、AB的中點，求證四邊形EFGH是平行四邊形;接著，完成證明后，去掉線段BD，得到凹四邊形ABCD（如圖9），從而引出中點四邊形;然后，將點C向下拉，得到一個凸四邊形（如圖10），讓學生繼續(xù)探究結論是否成立，體會數學中的 “變與不變”;最后，教師介紹法國數學家瓦里尼翁的發(fā)現，并讓學生證明中點四邊形的性質。

按照教學設計（Ⅲ），執(zhí)教者進行了第二次試講，但是課堂上并未出現歐幾里得的面積法。

4.第三次試講

第二次試講的效果并不理想，執(zhí)教者做了以下反思：其一，三角形面積公式的探究是以課前學習單的形式布置的，課上直接展示，既沒有打開學生的思路，也沒能調動學生探究的積極性，以致在探究過程中學生并沒有完全呈現歷史上的不同證明方法;其二，由于借班上課，教師不了解學情，因此對學生引導不夠。于是執(zhí)教者通過騰訊會議平臺與高校研究者一起進行了第二次線上研討，對教學設計（Ⅲ）進行修改，形成教學設計（Ⅳ），見表3。

設計剪紙活動的原因是，執(zhí)教者在前兩次試講時發(fā)現，有的學生在利用中位線分割三角形后證明中位線定理會花費較多時間，且違背了引入環(huán)節(jié)的初衷。剪紙活動既可以規(guī)避上述問題，也可以為后面的定理探究環(huán)節(jié)構建不同的證明方法做鋪墊。修改口答練習題的原因是，執(zhí)教者認為原題目對于學生來說過于簡單，不直接給出三角形更具開放性。

執(zhí)教者按照教學設計（Ⅳ）進行了第三次試講。在活動引入環(huán)節(jié)，執(zhí)教者引導小組成員分工合作，分別負責畫圖、剪紙和展示。學生依次呈現了平行四邊形法、劉徽的方法。在利用歐幾里得面積法時，學生只得到中位線與底邊的位置關系，未能證明出大小關系。

三、最終教學設計

從選題到初步設計，從第一次線上研討到每次試講后與高校研究者的交流，前后歷經將近一個月的時間。在經歷教學設計的三改三試后，執(zhí)教者第四次實施課堂教學，取得了較理想的效果。

1.活動引入

在活動引入環(huán)節(jié)，教師首先展示《九章算術》“方田”章中的圭田面積問題，讓學生利用所提供的三角形紙片，通過剪和拼來推導三角形面積公式。其中兩組學生分別展示了平行四邊形（如圖12）和矩形（如圖13）的拼法。第一組學生沿著三角形兩邊中點的連線剪開，將上方的小三角形倒置且與下方的梯形拼接在一起;第二組學生先沿著三角形底邊上的高剪開，然后再沿著其余兩邊的中點剪開。兩組學生在剪、拼的時候都用到了三角形兩邊的中點，由此順利引出三角形中位線的概念。

2.定理探究

教師首先讓學生猜想中位線的性質，然后引導學生將三角形轉化為平行四邊形、矩形和梯形進行證明。學生四人一組，展開了熱烈的討論，不僅再現了歷史上的證明方法，還呈現了古人沒有總結的證明方法。

第一組學生通過倍長中線構造三角形全等來證明（如圖14）;第二組學生通過作高將三角形轉化為矩形，與劉徽推導三角形面積公式的方法相同（如圖15）;第三組學生取中位線DE的中點，構造兩組全等三角形進行證明（如圖16）。

三組學生展示各自的方法之后，教師追問：“一定要在中位線上取特殊的點或者作高才可以證明嗎？”一名學生提出，可以在中位線上取任意點構造兩組全等三角形來證明（如圖17）。接著，教師對上述的方法進行總結，并借助幾何畫板，拖動中位線DE上的點F，當點F移動到中位線端點處時對應的是第一組的證明;當點F分別移動到垂足和中點處時，所得圖形分別對應于第二組和第三組的證明。還有一名學生過三角形兩邊中點分別作底邊的垂線，從而將三角形轉化為矩形，與劉徽推導三角形面積公式時所采用的另一種出入相補法一致（如圖18）。有兩名學生分別展示了將面積關系轉化為邊長關系來證明中位線與底邊的位置關系和數量關系（如圖19），這正是歐幾里得在《幾何原本》中采用的方法。

簡短總結后，教師播放一段介紹三角形中位線歷史的微視頻，呈現三角形中位線的歷史發(fā)展過程以及古人的不同證明方法。

3.新知應用

經歷了前面的探究活動，學生的思維得到了拓展，因此新知應用環(huán)節(jié)進行得比較順利;關于口答練習，學生構造出三角形，利用中位線定理來解答;例題講解環(huán)節(jié)，在證明中點四邊形與原四邊形面積大小關系時，學生想到了利用三角形全等與面積等量代換兩種方法，與前面證明定理時的轉化方法相呼應。

4.課堂小結

學生的總結涉及內容、方法和思想，有的學生指出本節(jié)課學習了很多證明方法，而且方法之間有內在聯系;有的學生提到作同一條輔助線可以有不同的解答;有的學生指出本節(jié)課的化歸思想很多，有線面轉化和圖形之間的轉化，通過割補法以及面積轉化法來解決問題。最后，教師以“一個定理”（三角形中位線定理）、“兩種思想”（化歸思想與特殊到一般思想）、“三種方法”（平行四邊形、矩形和梯形）、“四點啟示”（古今聯系、知識關聯、數學文化、現實應用）對本節(jié)課進行總結（如圖20）。

四、評價與啟示

第四次教學后，高校研究者與HPM工作室教師從數學內容、認知需求、學習機會、學生表現度以及評價與運用5個維度[5]，從HPM視角對這節(jié)課作出評價。（1）在數學內容上，本節(jié)課選用的史料都是有文獻依據的，體現了數學史料的科學性。引入的剪紙活動屬于說理階段，解決了為什么學習中位線、中位線概念的來源問題;定理探究環(huán)節(jié)，學生再現了歷史上的證明方法，形成了古今對照;新知應用環(huán)節(jié)，引入瓦里尼翁四邊形問題。這些都體現了數學史的有效性與可學性[6]。（2）在認知需求上，本節(jié)課對數學史的運用方式屬于重構式，通過活動探究發(fā)現中位線概念并猜想中位線性質，再探究三角形中位線定理的證明方法，最后對定理加以應用。（3）在學習機會上，本節(jié)課的探究活動為所有學生創(chuàng)造了展示自我的機會。微視頻建立了古今聯系，提升了學生學習數學的自信心。（4）在學生表現上，探究成果豐碩，教學目標達成度高，學生總結比較到位。（5）在評價與運用上，同伴的掌聲代替了執(zhí)教者的反饋。

本節(jié)課也存在一些不足之處。一是教師提供的三角形彩紙?zhí)咏妊切危瑢W生有誤導;二是中點四邊形面積問題占用了較多的課堂時間，淡化了本節(jié)課的主題;三是由于本節(jié)課的課堂容量較大，教師未能點明數學背后的理性精神與人文精神。從本次課例研究，我們得到以下啟示。

其一，運用重構式時要充分把握史料之間的聯系，將知識的歷史序與學生的心理序相結合，幫助學生更好地理解和掌握知識，鍛煉和提升能力。

其二，學生的能力不容低估，他們在探究活動中可能會有新的發(fā)現，因此，教師要給學生探究的機會。學生在課堂上的出色表現、課后作業(yè)的正確率以及訪談結果，都印證了這一點。

其三，古今聯系是HPM視角下的命題教學的基本策略，而HPM微視頻為古今聯系提供了一條有效路徑。古今聯系縮短了學生與數學之間的心理距離，激發(fā)他們的學習興趣，提升學習自信心。

其四，網絡平臺為課例研究提供了便利的條件。在未來，線上研討必將成為HPM專業(yè)共同體開展課例研究的重要方式。

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（責任編輯：陸順演）