方蘇云

數(shù)學(xué)大概念指向數(shù)學(xué)知識(shí)體系的內(nèi)核，能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，它可以是一個(gè)單元的核心內(nèi)容，也可以是跨單元、跨年級(jí)的能將數(shù)學(xué)關(guān)鍵思想和相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來的關(guān)鍵“錨點(diǎn)”。在“運(yùn)算定律”單元教學(xué)所有新課結(jié)束后，筆者設(shè)置了一節(jié)拓展課——以“乘法意義”即“幾個(gè)幾”這一大概念統(tǒng)攝“乘法分配律”的內(nèi)涵。

一、關(guān)聯(lián)先前學(xué)習(xí)，重“立”本質(zhì)意義

數(shù)學(xué)活動(dòng)可以看作經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的核心是如何改造經(jīng)驗(yàn)，教師要利用學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)幫助他們主動(dòng)建構(gòu)起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺及知識(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。在“乘法分配律再認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，筆者充分關(guān)聯(lián)先前學(xué)習(xí)中的直觀材料，組織學(xué)生在尋找乘法分配律的過程中重“立”其本質(zhì)意義——“乘法意義”的理解。

【片段1】

呈現(xiàn)一組材料：（1）一年級(jí)減法口算，3-2=1，30-20=10，3個(gè)十減2個(gè)十就是1個(gè)十，是10。（2）二年級(jí)乘法口訣，6×7=？可以先算5個(gè)6是30，再算2個(gè)6是12，合起來是42。（3）三年級(jí)乘法口算，12×3=？可以先算10×3=30，再算2×3=6，30+6=36。（4）三年級(jí)長方形周長計(jì)算，6×2+4×2=20，還可以（6+4）×2=20。（5）四年級(jí)行程問題，兩只小烏龜賽跑，同時(shí)同向并排起跑，甲烏龜每分鐘爬25米，乙烏龜每分鐘爬35米，5分鐘后兩只烏龜相距多少米？

問題1：在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中你能找到乘法分配律嗎？一眼就看到了哪個(gè)？學(xué)生口答，教師板書算式，并要求說出其所表示的意義。問題2：其他幾個(gè)材料中也能找到乘法分配律嗎？問題3：請(qǐng)按一定的標(biāo)準(zhǔn)將材料中五個(gè)乘法分配律算式分分類。

這一組學(xué)習(xí)材料，就是教材安排的乘法分配律的雛形，我們把它稱為先前學(xué)習(xí)材料。重新利用這組直觀又簡(jiǎn)單的材料來重現(xiàn)“找乘法分配律”的過程，不僅充分利用素材對(duì)學(xué)生的“親和力”，有助于喚醒學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，更實(shí)現(xiàn)了“舊知新探尋”的關(guān)聯(lián)效果。在分類過程中，學(xué)生出現(xiàn)兩種不同分法：第一種按“加、減”分成“幾個(gè)幾+幾個(gè)幾”一類，“幾個(gè)幾-幾個(gè)幾”為另一類;第二種按“分、合”分成“一個(gè)數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)”即“幾個(gè)幾=幾個(gè)幾±幾個(gè)幾”一類，另一類為“兩個(gè)數(shù)合成一個(gè)數(shù)”即“幾個(gè)幾±幾個(gè)幾=幾個(gè)幾”，本質(zhì)上就是乘法分配律“順”與“逆”的關(guān)系。在分類過程中，學(xué)生從“乘加、乘減”，以及“互逆”等角度立體化地理解乘法分配律的本質(zhì)——不管怎么變化，等號(hào)左右兩邊始終保持“幾個(gè)幾”相等。通過層層設(shè)問、追問、交流，促使學(xué)生思維向縱深拓展。

二、關(guān)注簡(jiǎn)算狀況，再“悟”模型結(jié)構(gòu)

我們?cè)趲椭鷮W(xué)生尋找新舊知識(shí)之間的本質(zhì)與共性，經(jīng)歷建立結(jié)構(gòu)聯(lián)系的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，更重要的是通過學(xué)習(xí)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，尤其在審辯中學(xué)會(huì)邏輯思考，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，成為善于認(rèn)識(shí)問題、解決問題的人。在關(guān)聯(lián)先前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，過渡到當(dāng)下學(xué)習(xí)，緊扣四年級(jí)乘法分配律簡(jiǎn)算錯(cuò)例，加強(qiáng)對(duì)算式中“幾個(gè)幾”的辨析，再“悟”乘法分配律模型結(jié)構(gòu)。

【片段2】

呈現(xiàn)學(xué)生簡(jiǎn)算錯(cuò)例：

（1）103×12=（103-3）×12……？搖？搖？搖（2）45×99+45=（45+45）×99……？搖？搖？搖（3）25×（8+4）=25×8×4……？搖？搖？搖（4）39×8+6×39-39×4=312+234-158……

問題1：乘法分配律用錯(cuò)在哪里？請(qǐng)找到錯(cuò)的那一步畫出來，并訂正。組織學(xué)生獨(dú)立完成，展示學(xué)生訂正情況。追問：你能用“幾個(gè)幾”來說明嗎？問題2：25×（8+4）表示12個(gè)25，寫成25×12，除了把12拆成“8+4”，想成25×4+25×8，還可以怎么拆12？問題3：從錯(cuò)例4中我們可以看到乘法分配律除了兩個(gè)積加、減，也可以三個(gè)積加、減，甚至多個(gè)積，對(duì)嗎？

上述學(xué)習(xí)材料來自學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)乘法分配律簡(jiǎn)算中的錯(cuò)題，對(duì)錯(cuò)題的思考辨析可以說比單純的“練”更有價(jià)值，在思辨中再次聚焦“意義層面”——對(duì)“幾個(gè)幾”保持相等的理解，避免出現(xiàn)低水平層次的技能訓(xùn)練。如在25×（8+4）的辨析中可以進(jìn)一步跟進(jìn)乘法分配律與乘法結(jié)合律的對(duì)比，25×8×4表示32個(gè)25，25×4×3表示12個(gè)25，哪個(gè)可以與原題保持“幾個(gè)幾”相等？在這種具有一定思考力的對(duì)比問題中強(qiáng)化學(xué)生理解的深度與寬度。又如辨析“39×8+6×39-39×4”自然拓展到“幾個(gè)數(shù)加減混合與一個(gè)數(shù)相乘”的結(jié)構(gòu)，加深“多個(gè)數(shù)分配”維度的理解。整個(gè)學(xué)習(xí)過程讓學(xué)生又一次經(jīng)歷了分析、比較、反思，又一次積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思考力，讓學(xué)生在辨析、交流中不斷地建立起從乘法意義層面對(duì)乘法分配律的理解，再“悟”其模型結(jié)構(gòu)。

三、再看知識(shí)遷移，又“意”內(nèi)涵特征

運(yùn)算律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)中同樣適用，如何把乘法分配律巧妙地從整數(shù)遷移到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用中呢？筆者繼續(xù)緊扣“幾個(gè)幾”，直接在本節(jié)課將乘法分配律植入小數(shù)、分?jǐn)?shù)計(jì)算，在運(yùn)用拓展中再次引導(dǎo)學(xué)生從“乘法意義”層面理解乘法分配律的內(nèi)涵。

【片段3】

呈現(xiàn)：能想辦法計(jì)算下面兩題嗎？

問題：我們只要抓住“幾個(gè)幾”就可以用乘法分配律來計(jì)算還沒學(xué)過的小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法，信不信？學(xué)生嘗試計(jì)算，在組內(nèi)分享計(jì)算方法，并作全班交流。追問：你是怎么想的？最后用動(dòng)態(tài)線段圖演示幫助學(xué)生加深理解分?jǐn)?shù)乘法。

在上述學(xué)習(xí)過程中，可以看見乘法分配律的后續(xù)遷移——小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法。也許正因?yàn)檫€沒有掌握小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法，在四年級(jí)學(xué)習(xí)中提早切入，

（作者單位：浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心 本專輯責(zé)任編輯：王彬）

信息

本文系2020年杭州市基教教研立項(xiàng)課題“大概念統(tǒng)攝下小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)關(guān)聯(lián)反芻與重組的研究”（編號(hào)：L2020211）的研究成果。