沈瑞華 徐曉良

[摘 要]“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”是銜接“表內(nèi)乘法”和“多位數(shù)乘法”的重要內(nèi)容。根據(jù)一線教師的困惑，對(duì)比分析四個(gè)版本教材和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，重組教學(xué)路徑進(jìn)行課堂教學(xué)實(shí)踐，并在實(shí)踐后繼續(xù)思考，整理出運(yùn)算教學(xué)的主要策略。

[關(guān)鍵詞]計(jì)算教學(xué);運(yùn)算教學(xué);筆算;多位數(shù)乘一位數(shù)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0020-03

“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“表內(nèi)乘法”和“兩位數(shù)乘一位數(shù)口算（不進(jìn)位）”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。本內(nèi)容是今后學(xué)習(xí)多位數(shù)乘兩位數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的除法的基礎(chǔ)，也是學(xué)生建立和發(fā)展位值概念的重要基礎(chǔ)。對(duì)于三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算教學(xué)，一些教師認(rèn)為就是教學(xué)理解算理、掌握算法。這樣的認(rèn)識(shí)背后有沒有隱憂？計(jì)算教學(xué)僅僅是讓學(xué)生掌握計(jì)算程序？在計(jì)算教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力？弄清楚這些問題，就能實(shí)現(xiàn)從計(jì)算教學(xué)走向運(yùn)算教學(xué)。

一、隱憂：學(xué)生筆算學(xué)習(xí)起點(diǎn)調(diào)查

在學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘一位數(shù)后，筆者對(duì)三（3）班和三（4）班共90位學(xué)生進(jìn)行了筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的前測(cè)，結(jié)果見表1。

對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算不進(jìn)位、進(jìn)1次位或進(jìn)2次位的隔位進(jìn)位的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，正確率都超過90%，說明學(xué)生已經(jīng)具備了將筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法遷移到筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的能力。但在與出錯(cuò)的學(xué)生訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生筆算錯(cuò)誤的原因集中在2個(gè)方面。

1. 疊加進(jìn)位易算錯(cuò)

大部分學(xué)生都能順利地將兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法遷移到三位數(shù)乘一位數(shù)，但在計(jì)算乘與加的疊加進(jìn)位時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤。比如，計(jì)算385×6，385的每一位與6相乘時(shí)都向前一位進(jìn)位，而且乘法進(jìn)位過程中又出現(xiàn)了兩位數(shù)加一位數(shù)的加法進(jìn)位： 48+3和18+5，這樣的乘與加的疊加進(jìn)位，使學(xué)生心算時(shí)感到非常困難。

2.中間有0會(huì)誤算

在計(jì)算末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)， 學(xué)生能把口算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的方法遷移過來，末尾的0不參與計(jì)算，前兩位與一位數(shù)乘好后再添上末尾的0，相當(dāng)于還是在計(jì)算兩位數(shù)乘一位數(shù)。但計(jì)算中間有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)“從個(gè)位起，依次相乘”的運(yùn)算程序，讓0也參與計(jì)算，誤把0×6+2的得數(shù)算成8。

計(jì)算三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法，學(xué)生會(huì)用哪些運(yùn)算策略呢？統(tǒng)計(jì)三（3）班、三（4）班兩個(gè)班的學(xué)生計(jì)算三位數(shù)乘一位數(shù)所用的方法，結(jié)果見表2。

這兩道題的數(shù)據(jù)特點(diǎn)很明顯，都可以通過改變運(yùn)算順序進(jìn)行巧算。但被測(cè)的90位學(xué)生中，只有1%至2.2%的學(xué)生用了簡便方法（300×4+25×4和400×4-2×4），97.8%以上的學(xué)生都是程序化地在用筆算方法進(jìn)行計(jì)算。這其實(shí)有一個(gè)弊端：學(xué)生只會(huì)像計(jì)算機(jī)一樣，按部就班地從三位數(shù)的個(gè)位起，依次與一位數(shù)相乘。積的書寫也是從個(gè)位起，一位挨著一位去寫，不用考慮位值。雖然這樣能計(jì)算出正確得數(shù)，但教師不清楚學(xué)生是否真的理解了算理，會(huì)不會(huì)給將來的教學(xué)埋下隱患。

懷著這種的擔(dān)心，筆者對(duì)四年級(jí)的數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了訪談，果然發(fā)現(xiàn)一些四年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)出現(xiàn)了問題：對(duì)位值概念理解模糊，第二層積的位置反復(fù)寫錯(cuò)。這些學(xué)生出現(xiàn)問題的源頭就在于學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)只記住了乘的順序，沒弄明白乘的順序的本質(zhì)。造成學(xué)生算法僵化、不理解乘的順序的本質(zhì)的原因與教材的編排也有一定的關(guān)系。

二、分析：“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”的教材編排對(duì)比

1.四個(gè)版本教材的對(duì)比

筆者對(duì)人教版、蘇教版、北師大版和浙教版教材的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的編排進(jìn)行比較，結(jié)果見表3。

對(duì)比四個(gè)版本教材后發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)異同點(diǎn)：一是將三位數(shù)乘一位數(shù)作為例題的教材版本有兩個(gè)，占50%;二是將中間或末尾有0的三位數(shù)的乘法作為例題的教材版本有三個(gè)，占75%;三是教學(xué)筆算乘法采用固定程序“從個(gè)位算起，依次相乘”的教材版本有三個(gè)，占75%。從四個(gè)版本教材的異同點(diǎn)來看，人教版、蘇教版、北師大版教材都更側(cè)重于三位數(shù)乘一位的教學(xué)，筆算方法唯一，即“從個(gè)位算起，依次相乘”，學(xué)生容易掌握，但挑戰(zhàn)不大。浙教版教材注重三位數(shù)乘一位數(shù)的教學(xué)，筆算方法多樣，即乘的順序有多種。這樣的編排更有利于學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況選擇合理的算法，靈活計(jì)算，但挑戰(zhàn)較大。

2.人教版教材“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”內(nèi)容編排分析

人教版教材“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)安排了6道例題（見表4）。

結(jié)合學(xué)生前測(cè)結(jié)果、四個(gè)版本教材的對(duì)比、人教版教材多位數(shù)乘一位數(shù)筆算的編排分析，可以得到三個(gè)結(jié)論：

結(jié)論一：教材默認(rèn)學(xué)生能使用遷移的方法自己學(xué)會(huì)計(jì)算三位數(shù)乘一位數(shù)，但從實(shí)際教學(xué)來看，學(xué)生還是需要正式學(xué)習(xí)的。

結(jié)論二：在學(xué)生會(huì)計(jì)算一般三位數(shù)乘一位數(shù)后，再安排學(xué)習(xí)中間有0和末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)是有必要的，對(duì)學(xué)生對(duì)位值原理的理解有幫助。

結(jié)論三：學(xué)生在筆算時(shí)熟練掌握了“從個(gè)位算起，依次相乘”的計(jì)算程序，并能熟練計(jì)算，不足以說明他們真的會(huì)算了，只有理解了任意順序筆算才是真正懂了筆算的本質(zhì)。

三、重組：筆算教學(xué)學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)

根據(jù)以上分析，“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)可以這樣重組（見表5）。

“筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)，首先借助小棒讓學(xué)生理解兩位數(shù)乘一位數(shù)可以看成幾個(gè)幾十和幾個(gè)幾來算，即用口算的方法學(xué)習(xí)筆算。可以從低位乘起，也可從高位乘起（如下圖），也就是兩位數(shù)的每一位都要與一位數(shù)相乘，和運(yùn)算的順序無關(guān)，并且做好從兩層積過渡到一層積的書寫。接著，借助小棒讓學(xué)生依次理解滿十進(jìn)一、疊加進(jìn)位的算理。

將中間或末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)的教學(xué)提前，解開固定的計(jì)算程序的束縛，引導(dǎo)學(xué)生單純從算理的角度去思考，學(xué)生就不難發(fā)現(xiàn)304×6表示6個(gè)304，可以看成6個(gè)300和6個(gè)4，用300×6+4×6來算（如右圖），這樣十位的0完全沒有參與計(jì)算的必要，而只用“三六十八、四六二十四”兩句口訣就搞定。在書寫時(shí)注意位值原理，明確“18”表示18個(gè)百，即1800，1和8分別記在千位和百位上。

有了以上兩步的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)一般的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，也能從“從個(gè)位算起，依次相乘”的固定程序中走出來了。如下圖所示，計(jì)算385×6時(shí)可以將原式轉(zhuǎn)化成三層積：300×6+80×6+5×6（高位算起或低位算起均認(rèn)可），或轉(zhuǎn)化為兩層積：85×6+300×6（踢百法）、380×6+5×6（踢個(gè)法）或305×6+80×6（踢十法）。經(jīng)過轉(zhuǎn)化，筆算三位數(shù)乘一位數(shù)中疊加進(jìn)位的難點(diǎn)被輕松化解。而且，寫成兩層積或三層積的形式時(shí)，學(xué)生不再是一位一位挨著寫過去，而會(huì)去關(guān)注位值，思考每層積表示的含義。通過多種轉(zhuǎn)化策略的交流，學(xué)生頓悟了算法的本質(zhì)：多位數(shù)乘一位數(shù)就是用一位數(shù)與多位數(shù)的每一位都相乘，而與運(yùn)算順序無關(guān)。

四、思考：實(shí)現(xiàn)從計(jì)算教學(xué)走向運(yùn)算教學(xué)的策略

計(jì)算能力是指利用一定的運(yùn)算程序計(jì)算出結(jié)果的技能，而運(yùn)算能力是運(yùn)算技能和邏輯思維能力等綜合而成的能力。隨著時(shí)代的發(fā)展，我們對(duì)于人才的培養(yǎng)逐漸從技能的培訓(xùn)轉(zhuǎn)到了能力的培養(yǎng)。那么運(yùn)算能力的培養(yǎng)如何落地？筆者從課堂教學(xué)實(shí)踐中整理出了兩條策略。

1.抓住本質(zhì)促使理法交融

學(xué)生的學(xué)習(xí)是由外在知識(shí)與內(nèi)在知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的交互作用實(shí)現(xiàn)的。每一個(gè)新知的學(xué)習(xí)，都是從已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中轉(zhuǎn)化而來的，計(jì)算教學(xué)亦是如此。比如將三位數(shù)乘一位數(shù)的新知轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)加整百數(shù)乘一位數(shù)（踢百法）、幾百幾十的數(shù)乘一位數(shù)+表內(nèi)乘法（踢個(gè)法）、中間有0的三位數(shù)乘一位數(shù)+表內(nèi)乘法（踢十法），或者轉(zhuǎn)化成幾百、幾十和幾分別乘一位數(shù)（三層積）展開計(jì)算，通過小棒、人民幣等幫助學(xué)生直觀理解每種算法的算理，也就是多位數(shù)的每一位都和一位數(shù)相乘是算法的本質(zhì)，而與運(yùn)算的先后順序無關(guān)。并且讓學(xué)生能在豎式上確定每層積的位置，也就是明確位值概念，將算理和算法合二為一，真正做到知“書”達(dá)“理”。在學(xué)習(xí)新知的過程中，學(xué)生還培養(yǎng)了用轉(zhuǎn)化的思想來研究未知、解決問題的能力。

“筆算三位數(shù)乘一位數(shù)”的新課結(jié)束后，筆者對(duì)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班進(jìn)行了后測(cè)（測(cè)試題如下）。

3個(gè)選項(xiàng)，分別是多算了5個(gè)20、5個(gè)2、2個(gè)67。學(xué)生需要充分理解算理、明確位值概念，才能找到正確選項(xiàng)。實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班對(duì)比，本題正確率分別是86.3%和25.2%。這說明實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生對(duì)筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解更深刻、更到位，這對(duì)他們后續(xù)學(xué)習(xí)的幫助是比較大的。

2.挑戰(zhàn)學(xué)習(xí)促使思維升級(jí)

運(yùn)算教學(xué)中使學(xué)生理解算理、掌握算法是基礎(chǔ)目標(biāo)，發(fā)展思維則是高階目標(biāo)。運(yùn)算教學(xué)中的練習(xí)題，要避免機(jī)械操練的題目，多設(shè)計(jì)一些挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)概括、學(xué)會(huì)推理。比如：兩位數(shù)乘一位數(shù)的練習(xí)可以改編成一道比較開放的挑戰(zhàn)題（如右圖）。

要找出其中一個(gè)解并不難，但要準(zhǔn)確地找出所有解，光靠計(jì)算技能是不夠的，還要具備策略意識(shí)去分析解決問題的路徑：首先考慮得數(shù)的個(gè)位是2，由表內(nèi)乘法得出的積末尾有2的只有2、12、32、42、72這五個(gè)，所以對(duì)應(yīng)的表內(nèi)乘法分別是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9這六對(duì)。再看得數(shù)是五百多，說明十位上的數(shù)乘一位數(shù)得四百多或五百多，那么一位數(shù)至少是5，則只能是6、7、8、9這四種情況，馬上排除1×2、3×4這兩對(duì)。這樣按一定的策略去思考，就能快速而準(zhǔn)確地得到8種不同填法。再如，三位數(shù)乘一位數(shù)可以設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性練習(xí)：用1、3、5、8組成三位數(shù)乘一位數(shù)的算式，使積最大。如果學(xué)生只是一次次地去試算，那思維是低級(jí)又低效的。教師要引導(dǎo)學(xué)生用智慧去分析：首先確定8和5的位置，有500×8和800×5兩種可能，它們的積相同;接著看后兩位，31×8大于31×5，所以確定把最大數(shù)8作為一位數(shù)，5、3、1分別作為三位數(shù)的百位、十位和個(gè)位。通過開放的挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在運(yùn)算中提升策略意識(shí)，提高邏輯推理能力。

總之，教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，從計(jì)算教學(xué)走向運(yùn)算教學(xué)，講究“理”“法”相融。以計(jì)算教學(xué)作為載體，少一些機(jī)械操練，多一些思維訓(xùn)練，在提升學(xué)生的運(yùn)算能力的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

（責(zé)編 吳美玲）