孫彩靈, 劉麗霞

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 石家莊 050024)

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，金融衍生品受到了越來越多衍生品交易者的青睞。因此,期權(quán)的定價(jià)問題也引起了學(xué)術(shù)界和業(yè)界的高度關(guān)注。19世紀(jì)70年代，Black和Scholes提出了期權(quán)定價(jià)的B-S模型[1]。B-S模型中假設(shè)利率是常數(shù)，資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。為了使B-S模型的適用范圍更廣泛，有必要對(duì)B-S模型進(jìn)行擴(kuò)展。一方面，由于實(shí)際生活中的利率是隨機(jī)波動(dòng)的，許多學(xué)者對(duì)隨機(jī)利率下期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了研究，例如，2008年，李淑錦等研究了隨機(jī)利率下復(fù)合期權(quán)和重置期權(quán)的定價(jià)[2]；2015年，韓松研究了隨機(jī)利率下亞式期權(quán)定價(jià)的新方法[3]；2021年，史言研究了隨機(jī)利率混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型下的期權(quán)定價(jià)[4].考慮到CIR和Vasicek兩種利率模型中， Vasicek利率模型的均值回歸性更加符合實(shí)際，因此,本文假設(shè)利率服從擴(kuò)展的Vasicek模型。另一方面，考慮到突發(fā)事件可能會(huì)發(fā)生，如政府政策的變化、自然災(zāi)害等，這些都將對(duì)金融市場有很大的影響，導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生突然的跳動(dòng)，因此，在模型中加入刻畫資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的復(fù)合泊松過程，能使模型更加切合實(shí)際。如2004年，錢曉松研究了跳擴(kuò)散模型下交換期權(quán)的定價(jià)[5]；2012年, 李翠香等研究了基于隨機(jī)利率下跳-擴(kuò)散過程的復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式[6]；2018年，李藝卓等研究了跳擴(kuò)散模型下的二選期權(quán)定價(jià)等[7]；2021年，劉朝暉等研究了跳擴(kuò)散模型下交換期權(quán)定價(jià)的Mellin變換方法[8]。

近年來，金融市場交易了大量的奇異期權(quán)，如復(fù)合期權(quán)、障礙期權(quán)和彩虹期權(quán)等。遠(yuǎn)期開始期權(quán)是以在事先約定未來某一時(shí)刻開始生效，且執(zhí)行價(jià)格為期權(quán)生效時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑依賴期權(quán)[9]。期權(quán)生效時(shí)刻為，到期日為，執(zhí)行價(jià)格為S(T1)的歐式看漲和看跌遠(yuǎn)期開始期權(quán)在到期日的收益分別為

c(T,S(T))=max(S(T)-S(T1),0)

p(T,S(T))=max(S(T1)-S(T),0)

迄今為止，有很多關(guān)于遠(yuǎn)期開始期權(quán)的定價(jià)研究。2012年，王獻(xiàn)東給出了基于Egarch模型的遠(yuǎn)期開始期權(quán)定價(jià)[10]；2018年，孫慧等給出了帶信用風(fēng)險(xiǎn)的遠(yuǎn)期起點(diǎn)期權(quán)的定價(jià)[11]；2020年，李翠香等研究了基于NIG模型的遠(yuǎn)期開始期權(quán)的定價(jià)[12]。為了豐富遠(yuǎn)期開始期權(quán)的研究，本文將假設(shè)股票價(jià)格服從跳擴(kuò)散模型，并且其收益率和波動(dòng)率服從關(guān)于時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)，在擴(kuò)展的Vasicek利率模型下，利用跳擴(kuò)散模型下的Girsanov定理和測度變換的方法推導(dǎo)歐式看漲和看跌遠(yuǎn)期開始期權(quán)的定價(jià)公式。

1 預(yù)備知識(shí)和引理

以下設(shè)(W,F, {Ft},Q)為帶有域流{Ft}的概率測度空間，其中Ω為樣本集合，F(xiàn)為Ω生成的σ域，Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測度, {Ft}為本文所涉及到的隨機(jī)過程所生成的域流。并且假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格S(t)服從如下隨機(jī)微分方程(以下記為SDE(1)):

(1)

無風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)服從擴(kuò)展的Vasicek利率模型(以下記為SDE(2))：

dr(t)=(θt-atr(t))dt+σr(t)dZ(t)

(2)

式中S(t-)表示左極限，為了書寫簡便，下面將S(t-)記為S(t)。W(t)和Z(t)為測度Q下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且相關(guān)系數(shù)為ρ。N(t)為到達(dá)參數(shù)為λ且獨(dú)立于W(t)和Z(t)的泊松過程。Uj(j=1,2,…)表示資產(chǎn)第j次跳躍的跳躍幅度，且Uj為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且當(dāng)j≥1時(shí)，Uj服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即

下面介紹幾個(gè)重要引理：

引理1.3[2]假設(shè)隨機(jī)利率r(t)服從SDE(2)，則

(3)

基于引理1.1滿足的條件，運(yùn)用鞅方法也可以獲得貼現(xiàn)債券的價(jià)格，因此有以下引理。

引理1.4[2]當(dāng)利率滿足SDE(2)時(shí)，到期日為T的貼現(xiàn)債券t時(shí)刻的價(jià)格B(t,T)滿足

(4)

引理1.5假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格S(t)服從SDE(1)，則有以下表達(dá)式:

(5)

2 隨機(jī)利率跳擴(kuò)散模型下遠(yuǎn)期開始期權(quán)的定價(jià)

定理2.1設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)S(t)服從SDE(1)，利率r(t)服從SDE(2)，則生效日為T1，到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為S(T1)的歐式看漲遠(yuǎn)期開始期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為：

式中N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)，且

證明

由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理可得:

(6)

首先計(jì)算I1。取

(7)

那么

從而在Q1下，Uj的密度函數(shù)為:

進(jìn)而可以得到Q1下，lnUj的密度函數(shù)為：

由引理1.1可得:

I1=EQ[Λ1(T)S(0)I{S(T)>S(T1)}]=S(0)EQ1[I{S(T)>S(T1)}]

(8)

將式(7)代入式(5)，得:

(9)

將式(7)代入式(3)，得:

(10)

結(jié)合式(4)、式(9)和式(10)可得資產(chǎn)價(jià)格在Q1下服從的方程為:

(11)

由式(11)可得:

由式(8)可得:

EQ1[I{S(T)>S(T1)}|N(τ)=n]

=N(d1)

(12)

由式(8)和式(12)可得:

(13)

下面計(jì)算I2。取

式中，

由引理1.2可得, 在新測度Q2下，有:

(14)

(15)

由引理1.1可得:

I2=S(0)EQ[H(0,T1,T)Λ2(T)I{S(T)>S(T1)}]

(16)

由引理1.3和引理1.4可得，資產(chǎn)價(jià)格S(T)在Q2下的方程為：

(17)

由式(17)可得:

由式(16)可得:

EQ2[I{S(T)>S(T1)}|N(τ)=n]

=N(d1-m(T1,T,n))

=N(d2)

(18)

由式(16)和式(18)可得:

(19)

I2得證。

結(jié)合式(13)和式(19)，定理2.1得證。

推論2.1在定理2.1的條件下，歐式看跌遠(yuǎn)期開始期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為:

證明：類似定理2.1可證。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在上述分析中，分別得到了遠(yuǎn)期開始看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式。本部分將利用Matlab軟件分別給出各參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。為了便于計(jì)算，以下假設(shè)關(guān)于時(shí)間的確定函數(shù)θt、σr(t)、σ(t)和at均為常數(shù)，分別記為θ、σr、σ、a，且各參數(shù)對(duì)應(yīng)的值如表1所示。

表1 相關(guān)參數(shù)值

在以上參數(shù)假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用Matlab軟件作圖，分別得到了變量T、a、μ、λ、θ和σr的變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，如圖1～圖6所示。

圖1中曲線1給出了隨機(jī)利率跳擴(kuò)散環(huán)境下遠(yuǎn)期開始看漲期權(quán)的價(jià)格隨時(shí)間變化的圖像，曲線2表示普通歐式遠(yuǎn)期開始看漲期權(quán)的價(jià)格隨時(shí)間變化的圖像，通過對(duì)比可得，隨機(jī)利率跳擴(kuò)散環(huán)境下的期權(quán)價(jià)格遠(yuǎn)比普通期權(quán)價(jià)格高，因此，研究隨機(jī)利率跳擴(kuò)散環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)更具有現(xiàn)實(shí)意義。

圖2～圖4分別表示變量a、μ和λ對(duì)隨機(jī)利率跳擴(kuò)散模型下遠(yuǎn)期開始看漲期權(quán)的價(jià)格影響，由圖像可得，期權(quán)價(jià)格隨a、μ和λ的增大而增大，隨θ和σr的增大而減小。

圖5和圖6分別表示變量θ和σr對(duì)隨機(jī)利率跳擴(kuò)散模型下遠(yuǎn)期開始看漲期權(quán)的價(jià)格影響，由圖像可得，期權(quán)價(jià)格隨θ和σr的增大而減小。

圖1 遠(yuǎn)期開始看漲期權(quán)價(jià)格圖像

圖3 期權(quán)價(jià)格與μ的關(guān)系

圖4 期權(quán)價(jià)格與λ的關(guān)系

圖5 期權(quán)價(jià)格與θ的關(guān)系

4 總 結(jié)

首先假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從跳擴(kuò)散模型下的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且無風(fēng)險(xiǎn)利率服從擴(kuò)展的Vasicek利率模型，模型中的布朗運(yùn)動(dòng)相關(guān)系數(shù)為ρ。其次利用跳擴(kuò)散模型下的Girsanov定理和測度變換的方法得到歐式看漲和看跌遠(yuǎn)期開始期權(quán)的定價(jià)公式。最后通過數(shù)據(jù)分析得到隨機(jī)利率跳擴(kuò)散模型下遠(yuǎn)期開始看漲期權(quán)價(jià)格比普通遠(yuǎn)期開始看漲期權(quán)價(jià)格高，并分析了各個(gè)變量對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。