湯翼陽(yáng), 張 磊,2

(1.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080; 2.黑龍江大學(xué) 黑龍江省復(fù)雜系統(tǒng)理論與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室, 哈爾濱 150080)

0 引 言

關(guān)于麥克斯韋方程刻畫(huà)的粗糙面電磁散射問(wèn)題研究目前有很多結(jié)果。Li等使用完美匹配層(PML)方法研究了截?cái)嗟臒o(wú)界粗糙面電磁散射問(wèn)題，證明了截?cái)郟ML問(wèn)題存在唯一解，并給出了散射問(wèn)題解與截?cái)郟ML問(wèn)題解之間的顯式誤差估計(jì)[1]。Zhang等研究了點(diǎn)源入射情形下，由無(wú)界粗糙表面隔開(kāi)的兩層有耗介質(zhì)中完美導(dǎo)體障礙物的電磁散射問(wèn)題。給定入射點(diǎn)源以及障礙物和無(wú)界粗糙面，所謂的正問(wèn)題是確定此時(shí)電磁波場(chǎng)的分布，相關(guān)的反問(wèn)題是根據(jù)未知物體上方和粗糙表面下方的散射場(chǎng)和透射場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)，重建障礙物和無(wú)界粗糙面。他們?cè)谡撐闹凶C明了正問(wèn)題的適定性和反問(wèn)題的唯一性[2]。Desanto采用了基于格林函數(shù)攝動(dòng)的方法，得到了相應(yīng)的卷積方程，并利用散射理論解釋了水平發(fā)射水平接收極化與垂直發(fā)射垂直接收極化比超過(guò)1的海尖峰現(xiàn)象[3]。Saillard等發(fā)現(xiàn)粗糙表面雷達(dá)散射截面在掠入射時(shí)變得非常小，隨后基于一種特殊的積分形式建立了一個(gè)適用于低掠入射角和散射角的方法[4]。Zhou把三維空間中散射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究二維表面場(chǎng)分布的問(wèn)題并加以解決[5]。Asirim利用有限元方法分析了粗糙表面的電磁波散射問(wèn)題和不同表面上的散射場(chǎng)分布[6]。Benali等研究了任意形狀導(dǎo)體及介質(zhì)粗糙表面的電磁散射問(wèn)題，數(shù)值計(jì)算了任意形狀障礙體電磁散射的能量密度分布，得到了一類(lèi)波場(chǎng)隨表面變化時(shí)的散射場(chǎng)分布規(guī)律[7]。Liu等提出了一種MPSTD算法，用于分析埋在粗糙表面下方的三維障礙物的電磁散射[8]。Haddar等在適當(dāng)?shù)腟obolev空間中，給出了無(wú)界區(qū)域中透射層狀結(jié)構(gòu)電磁散射問(wèn)題的變分公式[9]。Nguyen提出了一種求解三維各向異性Maxwell方程周期散射問(wèn)題的體積積分方程方法[10]。Bao等研究了無(wú)窮結(jié)構(gòu)中時(shí)諧聲波障礙散射問(wèn)題，證明了問(wèn)題的適定性和相應(yīng)反問(wèn)題的唯一性[11]。Zhang等研究了障礙復(fù)合散射問(wèn)題的數(shù)值解法，并給出了利用有限孔徑數(shù)據(jù)同時(shí)重建障礙物和無(wú)界粗糙面的直接成像方法[12]。

本文研究了電磁波入射無(wú)界粗糙表面與障礙體復(fù)合散射問(wèn)題，結(jié)合完美匹配層技術(shù)，使用有限差分方法對(duì)帶有適當(dāng)邊界條件的時(shí)域Maxwell方程進(jìn)行數(shù)值求解，并進(jìn)一步分析粗糙表面和障礙體的形狀、參數(shù)對(duì)散射場(chǎng)的影響。

1 粗糙表面復(fù)合散射問(wèn)題

1.1 散射問(wèn)題數(shù)學(xué)模型

假設(shè)S是一個(gè)無(wú)界粗糙面：

S={x=(x,y)∈3:z=f(x,y)}

式中f∈C2(2)。因此，曲面S將整個(gè)空間3劃分為上半空間Ω1和下半空間Ω2。其中

Ω1={x∈3:z>f(x,y)}, Ω2={x∈3:z

假設(shè)Ωk域被均勻、各向同性介質(zhì)填充，其特征是介電常數(shù)εk>0, 磁導(dǎo)率μk>0,電導(dǎo)率σk>0，k=1,2。

用Γj={x∈3:z=hj},j=1,2分別表示粗糙面上方和粗糙面下方的平面，其中h1和h2滿(mǎn)足:

-∞

當(dāng)交界面可穿透時(shí)，透射邊界條件為：

當(dāng)表面不可穿透時(shí)，交界面邊界條件為：

電磁場(chǎng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處滿(mǎn)足向外傳播輻射條件[1]。

2 時(shí)域有限差分格式

粗糙面下方電場(chǎng)與磁場(chǎng)情形可同理得到。

2.1 有限差分格式

對(duì)其進(jìn)行整理，可得：

?

同理，可得其余兩式的離散格式：

整理得：

同理可得：

使用同樣的方法，對(duì)粗糙面上方TM波在時(shí)間和空間上進(jìn)行差分離散，可得：

Ca(m)、Cb(m)、Cp(m)、Cq(m)分別為：

2.2 吸收邊界

圖1 UPML吸收邊界Fig.1 Absorbing boundary of UPML

為了計(jì)算無(wú)界區(qū)域的電磁散射問(wèn)題，在區(qū)域的截?cái)噙吔缣幮枰o出合理的邊界條件，本文使用單軸完美匹配層(UPML)，如圖1所示。在單軸各向異性介質(zhì)中，電磁波仍滿(mǎn)足Maxwell方程，所以只要設(shè)置合適的單軸參數(shù)，UPML吸收介質(zhì)中的差分方程對(duì)整個(gè)FDTD計(jì)算區(qū)域都是適用的。二維情形中UPML的截?cái)噙吔绨?個(gè)棱邊區(qū)和4個(gè)平面區(qū)。棱邊區(qū)是兩條邊，這個(gè)交界面表示的是從一種單軸介質(zhì)到另一種單軸介質(zhì)。

式中σ1為幾何圖中粗糙面上方與UPML層相鄰的內(nèi)部介質(zhì)的電導(dǎo)率。sx=κx-σ1x/iωε0,sy=κy-σ1y/iωε0。將新的參數(shù)代入到TM波公式，可得：

為了保證算法的穩(wěn)定性，采用Courant穩(wěn)定性條件，即，對(duì)于二維情況空間和時(shí)間離散步長(zhǎng)滿(mǎn)足:

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證PML邊界的有效性，同時(shí)模擬不同位置入射點(diǎn)源以及表面上方不同障礙體對(duì)散射波場(chǎng)分布的影響。取入射波頻率為5 GHz，交界面函數(shù)y=20Δy+sin(x-300Δx)Δx，其長(zhǎng)度L=600Δx(Δx=Δy=λ/20)，表面上方圓形障礙物圓心位于(300Δx,60Δy)，半徑為r=10Δx，PML層厚度為8Δx，針對(duì)假設(shè)表面不可穿透情況，給出不同時(shí)刻的波場(chǎng)分布圖,如圖2所示。

圖2 時(shí)間步長(zhǎng)T=200、400、600、800時(shí)電磁場(chǎng)分布

圖中Ex、Ey、Ez分別表示電場(chǎng)在空間中的分量，Hx、Hy、Hz分別表示磁場(chǎng)在空間中的分量?？梢钥吹?，波場(chǎng)在PML中沒(méi)有產(chǎn)生明顯的反射，故實(shí)驗(yàn)有效地實(shí)現(xiàn)了對(duì)波場(chǎng)的吸收，并模擬了電磁波粗糙面與障礙復(fù)合電磁散射。