韓 冬 杜啟振, 張明強(qiáng) 郭成鋒 公緒飛

1) 中國山東青島266580中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2) 中國天津300451中海油田服務(wù)股份有限公司

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交錯網(wǎng)格與旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格對VTI介質(zhì)波場分離的影響分析

1) 中國山東青島266580中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2) 中國天津300451中海油田服務(wù)股份有限公司

利用交錯網(wǎng)格有限差分和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分進(jìn)行各向異性介質(zhì)彈性波場數(shù)值模擬時， 質(zhì)點(diǎn)振動速度分量與應(yīng)力張量的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)定義方式均不相同， 從而對各向異性波場分離效果產(chǎn)生不同的影響． 針對這一問題， 本文以具有垂直對稱軸的橫向各向同性(VTI)介質(zhì)的波場分離為例， 首先分析了兩種網(wǎng)格的參數(shù)定義方式以及VTI介質(zhì)波場的分離過程； 其次， 詳細(xì)研究和分析了這兩種網(wǎng)格的參數(shù)定義方式對各向異性介質(zhì)波場分離的影響， 并依據(jù)波前面連續(xù)性以及波場分離效果等方面， 通過數(shù)值模擬實驗對該影響進(jìn)行分析驗證. 結(jié)果表明， 旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格的參數(shù)定義方式更有利于進(jìn)行各向異性介質(zhì)波場數(shù)值模擬和波場分離．

波場分離 交錯網(wǎng)格 旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格 有限差分 VTI介質(zhì)

引言

隨著勘探技術(shù)的發(fā)展， 多分量地震技術(shù)逐漸受到業(yè)界的重視(孫歧峰， 杜啟振， 2011)． 為了充分利用多分量資料的縱橫波信息， 處理流程通常都包括波場分離環(huán)節(jié)(董敏煜， 2002)． 依據(jù)不同的處理方法， 可將波場分離技術(shù)分為兩大類(李慶忠， 王建花， 2000). 第一類是基于標(biāo)量波場理論的波場分離技術(shù)， 即對地震記錄實現(xiàn)縱波與橫波的波場分離． 工業(yè)界通常將多分量地震記錄的垂直分量視為P波， 并利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)得到徑向(R)和切向(T)分量， 然后采用相對成熟的聲波處理流程對上述分量分別進(jìn)行處理． 除此之外， 還可利用極化濾波(Etgen， 1988； 李志遠(yuǎn)等， 2013)、f-k濾波(Amundsenetal， 1998)、τ-P變換(許世勇等， 1999)、 拉東(Randon)變換(馮晅等， 2011)、 平面波分解(Devaney， Oristaglio， 1986)等方法實現(xiàn)對地震記錄縱橫波的波場分離． 第二類是基于矢量波場理論的分離技術(shù)， 即在波場傳播過程中實現(xiàn)對波場快照的波場分離． 在各向同性介質(zhì)方面， Sun和McMechan(2001)基于亥姆霍茲(Helmholtz)分解理論提出利用散度和旋度算子實現(xiàn)P波與S波的波場分離， 但會引入90°相移． 針對這一問題， Sun等(2001)利用希爾伯特(Hilbert)變換實現(xiàn)了相位校正． 相對于各向同性介質(zhì)， 各向異性介質(zhì)波場分離的難點(diǎn)在于質(zhì)點(diǎn)振動方向與波場傳播方向并不完全平行或正交， 因此不能直接利用散度和旋度算子進(jìn)行波場分離(Yan， Sava， 2009a， b)． Dellinger和Etgen(1990)依據(jù)克里斯托弗爾(Christoffel)方程， 在波數(shù)域中將彈性波場向偏振方向投影， 從而得到qP波和qS波． 在此基礎(chǔ)上， Yan和Sava(2009a， b)進(jìn)一步計算得到空間域不同尺寸空間窗的波場分離算子， 并利用該算子與波場值卷積得到qP波和qS波． 此外， Zhang和McMechan(2010)還提出了一種在波數(shù)域獲得每個笛卡爾坐標(biāo)分量上保幅qP波和qS波的波場分解方法． 與第一類波場分離技術(shù)相比， 第二類波場分離技術(shù)更能夠描述波場在地下介質(zhì)中傳播的矢量特性． 因此， 針對第二類波場分離技術(shù)展開研究具有重要意義．

彈性波場數(shù)值模擬是實現(xiàn)第二類波場分離的前提． 有限差分法由于其計算效率高、 占用內(nèi)存小以及便于實現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而成為彈性波場數(shù)值模擬的重要工具． 相對于中心規(guī)則網(wǎng)格有限差分法， 交錯網(wǎng)格有限差分法(Madariaga， 1976)的精度更高且頻散壓制效果更好， 因此被廣泛應(yīng)用于各種介質(zhì)的波場數(shù)值模擬中. 例如： Virieux(1984， 1986)利用交錯網(wǎng)格有限差分法模擬了各向同性介質(zhì)中SH波、 P波及SV波的傳播； Carcione和Helle(1999)利用交錯網(wǎng)格有限差分法實現(xiàn)了孔隙介質(zhì)中彈性波場的數(shù)值模擬； 裴正林(2004)利用交錯網(wǎng)格高階有限差分法實現(xiàn)了三維各向異性介質(zhì)彈性波數(shù)值模擬． 但交錯網(wǎng)格有限差分法的不足之處在于質(zhì)點(diǎn)振動的速度分量定義在不同的網(wǎng)格點(diǎn)上， 利用這種差分格式進(jìn)行數(shù)值模擬得到的波場值不能夠直接應(yīng)用到Y(jié)an和Sava(2009a， b)所提出的各向異性介質(zhì)波場分離方法中． 而旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格(Saengeretal， 2000)將所有的應(yīng)力分量定義在同一網(wǎng)格點(diǎn)上， 將所有的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量定義在另一網(wǎng)格點(diǎn)上， 且由旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分得到的波場值能夠直接應(yīng)用到各向異性介質(zhì)波場分離過程中． 同時， 采用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分進(jìn)行數(shù)值模擬時， 彈性模量無需進(jìn)行插值處理(嚴(yán)紅勇， 劉洋， 2012)． 綜上可見， 旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分更適于各向異性介質(zhì)波場數(shù)值模擬及其波場分離過程．

本文擬以具有垂直對稱軸的橫向各向同性(transversely isotropic with a vertical axis， 簡寫為VTI)介質(zhì)的波場分離為例， 從波場分離的實現(xiàn)過程出發(fā)， 對比分析交錯網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格的參數(shù)定義方式對VTI介質(zhì)波場分離(Yan， Sava， 2009a)造成的影響， 并通過數(shù)值試驗對其進(jìn)行分析驗證， 以進(jìn)一步說明旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格在各向異性波場數(shù)值模擬及其波場分離方面的優(yōu)勢.

1 VTI介質(zhì)一階速度-應(yīng)力方程及兩種網(wǎng)格定義方式

二維情況下， VTI介質(zhì)一階速度-應(yīng)力方程(Virieux， 1986)為

(1)

式中：vx和vz分別為x方向和z方向的質(zhì)點(diǎn)速度分量；τxx和τzz為正應(yīng)力，τxz為切應(yīng)力；C11,C13,C33和C55為剛度系數(shù)；ρ為密度． 分別采用交錯網(wǎng)格有限差分(Madariaga， 1976)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分(Saengeretal， 2000)對式(1)進(jìn)行數(shù)值模擬．

圖1給出了交錯網(wǎng)格(Virieux， 1986)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格(Saengeretal， 2000)應(yīng)力場和速度場的定義方式示意圖， 其中： 實線表示定義在時間上的主網(wǎng)格， 虛線表示在時間t上交錯了Δt/2的半網(wǎng)格；O點(diǎn)為參考點(diǎn)，P1點(diǎn)和P2點(diǎn)分別代表某一點(diǎn)x方向和z方向上的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量． 比較圖1a與圖1b可知， 質(zhì)點(diǎn)振動的速度分量在交錯網(wǎng)格中沒有定義在同一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上， 而在旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格中則定義在同一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上．

圖1 交錯網(wǎng)格(a)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格(b)示意圖

2 VTI介質(zhì)波場分離過程

VTI介質(zhì)中， qP波與qS波的偏振方向相互垂直， 利用偏振矢量將波場投影至偏振方向可得到qP波和qS波(Dellinger， Etgen， 1990)． 在波數(shù)域中， 通過求解克里斯托弗爾方程， 可得qP波和qS波的偏振矢量. 二維情況下求解

(2)

可得qP波的偏振矢量UqP為

(3)

qSV波的偏振矢量UqSV為

(4)

圖2 空間域波場分離算子. (a) x方向; (b) z方向

3 兩種交錯網(wǎng)格對波場分離的影響

這里以qP波的波場分離過程為例， 詳細(xì)闡述兩種交錯網(wǎng)格對VTI介質(zhì)波場分離所產(chǎn)生的影響．

波數(shù)域和空間域中的qP波(Yan，Sava， 2009a)分別表示為

(5)

(6)

波數(shù)域和空間域中各速度分量的傅里葉變換對為

(7)

(8)

如圖1a所示， 在交錯網(wǎng)格中， O點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量可利用P1和P2點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量表示為

(9)

如圖1b所示， 在旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格中， O點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量可利用P1和P2點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量表示為

(10)

將式(9)和式(10)帶入式(6)， 可得

(11)

(12)

此即為空間域中的qP波.

Yan和Sava(2009a)提出的VTI介質(zhì)波場分離方法是將Vx(kx, kz)和Vz(kx, kz)以及vx(x, z)和vz(x, z)視為同一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量進(jìn)而實現(xiàn)波場分離． 對比式(11)與式(12)可得， 由于交錯網(wǎng)格質(zhì)點(diǎn)振動速度分量未定義在同一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上， 導(dǎo)致用于VTI介質(zhì)波場分離的x方向質(zhì)點(diǎn)振動速度分量比z方向多出平移算子exp(-i2πkxΔx/2), z方向質(zhì)點(diǎn)振動速度分量比x方向多出平移算子exp(-i2πkzΔz/2)， 從而造成波場分離不徹底. 針對這一問題，Zhang和McMechan(2010)利用兩點(diǎn)平滑估算其中間值， 從而得到同一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量， 但該方法只是對波場中間值的近似， 并不能完全表示兩點(diǎn)中間的波場值．Du等(2014)提出在波數(shù)域中對波場值進(jìn)行平移校正， 從而實現(xiàn)兩點(diǎn)中間值的準(zhǔn)確求?。?但鑒于本文采用的VTI介質(zhì)波場分離方法(Yan，Sava， 2009a)的處理流程是在空間域中進(jìn)行的， 這種波數(shù)域中的插值方法將會造成額外的計算量， 故不適用于本文．

如式(12)所述， 由旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分得到的用于波場分離的x方向與z方向的質(zhì)點(diǎn)振動速度分量在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的對應(yīng)位置保持一致， 不需要進(jìn)行額外的插值處理， 同時可避免因波場插值造成的波場值不準(zhǔn)確及效率降低等問題． 另外， 在使用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格進(jìn)行波場數(shù)值模擬的過程中也不需要對彈性模量進(jìn)行插值處理.

4 數(shù)值算例

本節(jié)將采用均勻VTI介質(zhì)模型進(jìn)行彈性波場數(shù)值模擬和波場分離， 通過模擬測試結(jié)果對比分析交錯網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格對VTI介質(zhì)波場分離(Yan，Sava， 2009a)造成的影響. 本文采用的模型網(wǎng)格大小為600×300， 水平方向和垂直方向的空間采樣間隔均為10m， 時間采樣間隔為0.001s， 模型參數(shù)如表1所示． 交錯網(wǎng)格有限差分和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分均采用空間8階、 時間2階進(jìn)行彈性波場數(shù)值模擬， 利用非分裂完全匹配層(non-splittingperfectmatchedlayer， 簡寫為NPML)對邊界反射進(jìn)行吸收衰減． 震源子波選取主頻為35Hz的雷克子波， 其解析式為f(t)=[1-2(πfpt)2]exp[-(πfpt)2]， 式中fp為子波主頻； 震源位置坐標(biāo)為(2800m, 500m)．

表1 均勻VTI介質(zhì)參數(shù)表

在彈性波場數(shù)值模擬過程中， 提取第400個時間步長(即第400ms)的質(zhì)點(diǎn)振動速度x分量與z分量的波場快照進(jìn)行波場分離， 以闡明這兩種交錯網(wǎng)格對VTI介質(zhì)波場分離所造成的影響．

圖3和圖6分別為交錯網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬得到的波場快照. 對比圖3與圖6可知， 采用兩種交錯網(wǎng)格有限差分進(jìn)行波場數(shù)值模擬均能得到清晰的波場快照． 圖4給出了直接利用交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬得到的波場快照進(jìn)行波場分離得到的qP波和qS波； 圖5給出了利用交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬并進(jìn)行兩點(diǎn)平均插值處理后的波場快照進(jìn)行波場分離得到的qP波和qS波(Zhang，McMechan， 2010)． 可以看出， 經(jīng)過兩點(diǎn)插值處理后進(jìn)行波場分離得到的結(jié)果要優(yōu)于未采用波場插值處理直接進(jìn)行波場分離的結(jié)果； 但如圖4和圖5中箭頭所指位置所示，qP波中仍然殘留有qS波，qS波中同樣殘留有qP波， 且qS波中的殘留現(xiàn)象更為嚴(yán)重． 圖7為旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬得到的波場快照進(jìn)行波場分離的結(jié)果． 比較圖4、 圖5及圖7中箭頭和方框所示可知， 使用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格數(shù)值模擬得到的波場值進(jìn)行波場分離得到的qP波和qS波較為干凈徹底， 且qP波的連續(xù)性較好．

圖3 交錯網(wǎng)格數(shù)值模擬得到的波場快照(400 ms). (a) x分量； (b) z分量

圖4 交錯網(wǎng)格數(shù)值模擬得到的波場快照直接進(jìn)行波場分離的結(jié)果. (a) qP波; (b) qS波

圖5 交錯網(wǎng)格數(shù)值模擬得到波場快照并進(jìn)行兩點(diǎn)平均插值處理后進(jìn)行波場分離得到的結(jié)果. (a) qP波; (b) qS波

圖6 旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格數(shù)值模擬得到的波場快照(400 ms). (a) x分量； (b) z分量

圖7 旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格數(shù)值模擬得到的波場快照直接進(jìn)行波場分離得到的結(jié)果. (a) qP波; (b) qS波

圖8 VTI 介質(zhì)Hess模型. (a) δ; (b) ε; (c) ρ; (d) vP0; (e) vS0

圖9 Hess模型交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬結(jié)果及波場分離結(jié)果(a) x分量波場快照； (b) z分量波場快照； (c) qP波； (d) qS波

圖10Hess模型旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬結(jié)果及波場分離結(jié)果(a) x分量波場快照； (b) z分量波場快照； (c)qP波； (d)qS波

Fig.10SnapshotsforHessmodelbyusingrotatedstaggered-gridnumericalsimulationandtheseparationresults. (a) x-componentsnapshot； (b) z-componentsnapshot； (c)qP-wave； (d)qS-wave

為了進(jìn)一步說明使用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬得到的波場值進(jìn)行波場分離的優(yōu)勢， 本文采用如圖8所示的VTI介質(zhì)Hess模型進(jìn)行波場數(shù)值模擬和波場分離． 模型網(wǎng)格大小為600×350， 水平方向和垂直方向的采樣間隔為10m， 時間采樣間隔為0.001s； 采用主頻為35Hz的雷克子波， 震源位置坐標(biāo)為(3200m, 700m)； 交錯網(wǎng)格有限差分和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分均采用空間8階、 時間2階進(jìn)行彈性波場數(shù)值模擬； 采用非分裂完全匹配層對邊界反射進(jìn)行吸收衰減， 同時選取600ms的波場快照進(jìn)行波場分離． 圖9和圖10分別給出了利用交錯網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值模擬得到的波場快照以及對波場快照進(jìn)行波場分離的結(jié)果， 對比其中紅色箭頭標(biāo)示處可驗證， 使用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格波場數(shù)值模擬得到的波場值進(jìn)行波場分離得到的qP波與qS波分離效果良好．

5 討論與結(jié)論

本文針對交錯網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格對VTI介質(zhì)波場分離造成的影響進(jìn)行了詳細(xì)分析， 并選取簡單模型和復(fù)雜模型進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值實驗， 得到如下結(jié)論：

1) 直接采用交錯網(wǎng)格有限差分所得波場快照進(jìn)行波場分離， 無法徹底分離qP波與qS波； 盡管通過對模擬結(jié)果進(jìn)行簡單的算術(shù)平均插值處理后再進(jìn)行波場分離， 能夠在一定程度上提高波場分離的效果， 但仍不能徹底解決波場無法完全分離的問題．

2) 采用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分所得波場快照進(jìn)行波場分離， 能夠得到分離較為徹底的qP波和qS波， 且無需進(jìn)行任何插值處理．

因此， 當(dāng)對各向異性介質(zhì)進(jìn)行波場數(shù)值模擬并進(jìn)行相應(yīng)的波場分離時， 旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分是一種較為理想的選擇．

評審專家和編輯部對本文提出了寶貴意見和建議， 中國石油大學(xué)(華東)EWEP課題組提供了幫助， 作者在此表示衷心的感謝.

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Effects of staggered-grid and rotated staggered-grid on the wavefield separation in VTI media

1)SchoolofGeoscience，ChinaUniversityofPetroleum，ShandongQingdao266580，China2)ChinaOilfieldServicesLimited，Tianjin300451，China

Wavefield separation is an important part of multi-component seismic data processing， and the wavefield numerical simulation method is one of the necessary tools to this process. When staggered-grid finite difference scheme and rotated staggered-grid finite difference scheme are utilized to elastic wavefield simulation in anisotropic media， the definition of the particle velocity components and that of the stress tensor are different among these two grids. Furthermore， these two types of definitions will affect the wavefield separation. So we take the case of transversely isotropic media with a vertical axis (VTI media) as an example to analyze. Firstly， we analyze the parameter definition of these two grids and details about the wavefield separation in VTI media. Then， we focus on the analysis on the separation effects caused by the different parameter definition of these two grids. Considering the aspects of wavefront continuation and the purity of wavefield separation， numerical experiments are utilized to verify the results. Finally we draw the conclusion that the parameter definition of rotated staggered-grid is more beneficial to the anisotropic numerical simulation and the wavefield separation.

wavefield separation； staggered-grid； rotated staggered-grid； finite difference； VTI media

國家自然科學(xué)基金(41174100)、 國家科技重大專項(2011ZX05019-008-08)和中國石油天然氣集團(tuán)公司(2014A-3609)聯(lián)合資助.

2015-07-16收到初稿， 2015-10-10決定采用修改稿.

e-mail: multi-wave@163.com

10.11939/jass.2016.01.011

P315.3+1

A

韓冬， 杜啟振， 張明強(qiáng)， 郭成鋒， 公緒飛. 2016. 交錯網(wǎng)格與旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格對VTI介質(zhì)波場分離的影響分析. 地震學(xué)報, 38(1): 111--121. doi:10.11939/jass.2016.01.011.

Han D, Du Q Z, Zhang M Q, Guo C F, Gong X F. 2016. Effects of staggered-grid and rotated staggered-grid on the wavefield separation in VTI media.ActaSeismologicaSinica, 38(1): 111--121. doi:10.11939/jass.2016.01.011.