喻秋生

(廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部 518055)

一、問題的提出

2020年高考(北京卷)第20題是求值問題，該試題如下：

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖1，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x+4)，

把y1=k(x1+4)，y2=k(x2+4)代入上式化簡(jiǎn)，得

在這道試題中，橢圓C是給定的橢圓，點(diǎn)A、B分別是橢圓C、x軸上的特殊點(diǎn)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).如果橢圓C是任意的橢圓，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是橢圓C、x軸上的任意點(diǎn)，是否仍然有對(duì)任意過點(diǎn)B的直線l，都使得點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn)這一結(jié)論呢？

二、問題的探究

當(dāng)直線l垂直于x軸且與橢圓有交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P,Q即為M,N，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

①

∵m-x0≠0，2y0，m-x0為常數(shù)，

∵y1=k(x1-m)，y2=k(x2-m)，

②

在結(jié)論1中，點(diǎn)B在x軸上，如果點(diǎn)B在y軸上，可以得出下面的結(jié)論，證明過程略.

在圓中，經(jīng)研究也有類似的結(jié)論：

結(jié)論3 已知圓C:x2+y2=r2，點(diǎn)A(x0,y0)在圓C上，過點(diǎn)B(m,0)(m≠x0)的動(dòng)直線l與圓C交于M,N，直線MA,NA分別交過點(diǎn)B且垂直于x軸的直線于點(diǎn)P,Q.當(dāng)且僅當(dāng)mx0=r2，即直線AB為圓C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

三、問題的推廣

如果曲線C為雙曲線或拋物線，經(jīng)研究也有類似的結(jié)論：

結(jié)論6 已知拋物線C:y2=2px，點(diǎn)A(x0,y0)在拋物線C上，過點(diǎn)B(m,0)(m≠x0)的動(dòng)直線l與拋物線C交于M,N，直線MA,NA分別交過點(diǎn)B且垂直于x軸的直線于點(diǎn)P,Q.當(dāng)且僅當(dāng)m+x0=0，即直線AB為拋物線C的切線時(shí)，點(diǎn)B為PQ的中點(diǎn).

上面三個(gè)結(jié)論的證明與結(jié)論1的證明類似，證明過程略.