甘志國(guó)

(北京豐臺(tái)二中 100071)

題目(1948年莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題)解不定方程.

xy=yx(x,y∈N*,x≠y)

①

文獻(xiàn)[1]證得了該題的答案是

(x,y)=(2,4),(4,2).

下面談?wù)勁c不定方程①類似的四個(gè)不定方程

xy=pyx(x,y∈N*,p是質(zhì)數(shù))

②

xy=ypx(x,y∈N,x≥2,y≥2,p是已知的質(zhì)數(shù))

③

xy=ypx(x,y∈Q+,p是已知的質(zhì)數(shù))

④

uu=vpy(u,v∈Q+,p是已知的質(zhì)數(shù))

⑤

的解法，其中重點(diǎn)是③的解法.

定理1 方程②的解是(x,y)=(p,1).

證明若y=1，則x=p.

由xy=pyx，可得p|xy,p|x.若y≥2，再由xy=pyx，可得p|y.因而可設(shè)x=pαa,y=pβb(α,β,a,b∈N*,p不整除a也不整除b)，得

(pαa)pβb=p(pβb)pαa

由該等式兩邊p的指數(shù)相等，可得αpβb=βpαa+1,p|1，這不可能！所以欲證結(jié)論成立.

引理若n∈N*，則2n≥n+1(當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)).

證明用數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、或貝努利(Bernoulli)不等式均可獲證，具體過程略去.

定理2 方程③的解(x,y)滿足x|y(可設(shè)y=ax(a∈N*))，且

xa-p=ap(x,a-p∈N*,a≥2,x≥2,p是已知的質(zhì)數(shù))

⑥

證明設(shè)(x,y)=d(d∈N*)，可再設(shè)x=bd,y=ad(a,b,d∈N*),(a,b)=1.再由xy=ypx，可得

bada=apbdpb

⑦

若a=pb，由⑦可得a=b，所以a=pb=b,p=1，與p是質(zhì)數(shù)矛盾！說明此時(shí)不成立.

若a0，所以d=1，因而x=bd=1，與題設(shè)x≥2矛盾！所以b≥2,d≥2，再由引理可得b=dpb-1≥22b-1>2b，這不可能！說明此時(shí)不成立.

所以a>pb，由⑦可得bada-pb=apb.再由(a,b)=1，可得b=1，所以x=d,y=ad=ax(a∈N*)，進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

猜想1方程③解的組數(shù)有限.

定理3 在方程③中：

(1)若x是質(zhì)數(shù)，則(p,x,y)=(2,2,16),(3,3,27)；

(2)若x=q2(q是質(zhì)數(shù))，則(p,x,y)=(2,4,16),(2,9,27)；

(3)若x=qi(q是質(zhì)數(shù)，i=3或4)，則方程③均無解；

(4)若x=q5(q是質(zhì)數(shù))，則(p,x,y)=(5,32,256)；

(5)若x是兩個(gè)互異質(zhì)數(shù)之積，則p是奇質(zhì)數(shù)且(x,y)=(2p,4p2)；

(6)若x=12或18，則方程③均無解.

證明(1)由定理2知，可設(shè)y=ax(a∈N*).

在方程⑥中可設(shè)a=xα(α∈N*)，得方程⑥即xxα-p=xpα,xα-p=pα，所以p=x,pα-1=α+1(α≥2)，進(jìn)而可得(p,α)=(2,3),(3,2)，從而可得欲證結(jié)論成立.

(2)～(6)略.

注由定理3可知，當(dāng)x=2,3,4,…,23時(shí)，已求得方程③的解.

若α=2，可得(β,p)=(2,2)或(1,3)，進(jìn)而可得(p,x,y)=(2,4,16)或(3,3,27).

⑧

因而β1=k=α=1,p1=2，得式⑧即(2pβ)2α1-1=2α1p(p是奇質(zhì)數(shù))，可得α1=β=1，再得a=x=2p,y=ax=4p2(p是奇質(zhì)數(shù)).

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

定理5 (1)(p,x,y)=(2,9,27),(3,64,256)均是方程③的解；

(2)若p=q2-2(p,q均是質(zhì)數(shù))，則(x,y)=(qp,qp+2)是方程③的解；

(3)若p=2q-1(q∈N*)是質(zhì)數(shù)(可得q是質(zhì)數(shù))，則(x,y)=(2q(2q-1),2q·2q)是方程③的解；

(4)若p=2n-n(n∈N*)是質(zhì)數(shù)，則(x,y)=(22n-n,22n)是方程③的解.

證明略.

猜想2(1)方程p=q2-2(p,q均是質(zhì)數(shù))的解的組數(shù)無限(可驗(yàn)證它有解p=q2-2(p,q)=(7,3),(23,5),(47,7),(167,13),(359,19),(839,29))；

(2)形如2q-1(q∈N*)的質(zhì)數(shù)(叫做梅森質(zhì)數(shù))個(gè)數(shù)無限(近年人們借助電腦尋找到的最大質(zhì)數(shù)都是梅森質(zhì)數(shù)，且只發(fā)現(xiàn)了51個(gè)梅森質(zhì)數(shù).2018年12月，人們發(fā)現(xiàn)了迄今為止最大的質(zhì)數(shù)282589933-1)；

(3)形如2n-n(n∈N*)的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)無限(當(dāng)n=2,3,9時(shí)，2n-n均是質(zhì)數(shù)).

證明略.

注定理3,4,5均給出了方程④的部分解；再由定理6可給出方程⑤的部分解.