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        三角形內(nèi)切圓的方程的求解策略

        2021-08-05 08:30:50武增明
        數(shù)理化解題研究 2021年16期
        關(guān)鍵詞:定義方法

        武增明

        (云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

        例題(2010年高考全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第21題文科數(shù)學(xué)第22題)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)K(-1,0)的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D.

        (1)證明:點(diǎn)F在直線BD上;

        解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程為x=my-1(m≠0).

        將x=my-1代入y2=4x并整理,得y2-4my+4=0,從而y1+y2=4m,y1y2=4.①

        所以點(diǎn)F(1,0)在直線BD上.

        (2)方法1(定義法):由①知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.

        所以l的方程為3x+4y+3=0或3x-4y+3=0.

        又∠BKD的角平分線所在直線的方程為y=0, ③

        評注在這里,方法1和方法2定義法是指三角形內(nèi)角平分線的定義和三角形內(nèi)切圓的定義.由三角形內(nèi)角平分線的定義知,三角形內(nèi)角平分線上任意一點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.由三角形內(nèi)切圓的定義知,三角形中兩個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)是這個三角形內(nèi)切圓的圓心,內(nèi)切圓的圓心到三角形的一條邊的距離是這個內(nèi)切圓的半徑.

        方法3(等面積法):不妨取直線l的方程為3x-4y+3=0,不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方.

        設(shè)△BDK的內(nèi)切圓的半徑為r,則

        我們知道,若已知一個三角形的三邊的長,都可以用再解1求出其面積,在這里是運(yùn)用余弦定理求cos∠BKD時(shí)增加了運(yùn)算量.

        由此解法,我們可以看出,若知道三角形一邊所在的直線方程和這邊所對的頂點(diǎn)坐標(biāo),用再解2來求三角形的面積時(shí)運(yùn)算量會減少很多.

        =0.

        本文給出求解三角形內(nèi)切圓方程的四種方法,何時(shí)用哪種方法求解速度快?沒有規(guī)律可循,可以說很靈活,但是只要同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)悟并掌握這五種方法,解決三角形內(nèi)切圓方程的問題就沒有問題了.

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