王慕華
(福建省龍巖市第二中學 364000)
向量不僅僅是高中數(shù)學的重要知識內(nèi)容,同時也是一種有效的數(shù)學解題工具,解決代數(shù)和幾何等問題,借助向量法是數(shù)學問題更加簡單、直接.向量作為一種工具,應用較為廣泛,因為其考慮方向和大小的原因,在空間中具有自由性,在計算中考慮數(shù)的同時,還需要考慮量的問題.向量法具有復合性特點,通過向量法的利用,可以提高學生運算效率,快速準確的分析和解決問題.在高中數(shù)學解題中,利用向量法可以解決三角函數(shù)、不等式、平面幾何以及解析幾何等問題,培養(yǎng)學生數(shù)學解題能力.
三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,通過課堂學習要求學生掌握三角函數(shù)的定義、圖象、公式和性質(zhì)等內(nèi)容.三角函數(shù)解題是高中數(shù)學解題中的重點和難點問題,有效利用向量法解題,明確新的解題思路,通過整個解題過程,加強學生思維訓練,提高學生解題能力.
點評此題是一個典型的三角函數(shù)函數(shù)和向量結(jié)合的例題,在實際的解題中,利用向量平移知識,完成題目解答.作為高中數(shù)學教師,在解題中引導學生對題目進行解答,盡量對平移問題進行隱身,特別是向量平移時,點平移、圖形平移和平移方向產(chǎn)生的影響,保證向量計算的準確性.
不等式是高中階段的重要知識內(nèi)容,和函數(shù)、方程、向量等有著密切的關系,在不等式問題解答中,計算復雜、符號變化等問題是解題的最大難點.在解題中,向量具有便捷性和高效性的特點,可以更加快速的計算.因此,在高中數(shù)學不等式解題中,有效利用向量法,可以快速解決不等式中的計算問題,保證學生解題效率.因此,在不等式問題解題中,想要有效的利用向量法,需要注重向量的構(gòu)建,完成問題快速、準確的解答.
點評從題型的角度來說,此題屬于典型的不等式解析題目,解題時有著一定的難度.向量法具有普適性的特點,可以根據(jù)題型結(jié)構(gòu)構(gòu)造向量,將不等式問題轉(zhuǎn)化成向量問題,引導學生思考和解答.在解題的過程中,通過向量構(gòu)造和轉(zhuǎn)化之后,主要是利用向量的數(shù)量積公式以及變形公式,對題目進行證明,完成題目的思考和解答.
在初中數(shù)學課堂中,學生已經(jīng)接觸有關平面幾何的知識,幾何問題對學生形象思維和抽象思維有著比較高的要求,面對幾何問題需要學生進行想象和思考,完成題目的解答.在設計的幾何問題解答中,部分題目較為困難,利用幾何方式解題,雖然可以完成解答,但是,解題過程較為復雜,步驟比較繁多,很容易出現(xiàn)解題錯誤的問題.向量法作為一種新的解題方式,在解題中,根據(jù)平面幾何問題內(nèi)容,構(gòu)建相應的向量,利用向量公式和性質(zhì),完成題目的思考和解答.
例題PQ是圓O的直徑,如圖所示,證明PQ對應的∠PDQ是直角.
分析在解題時,需要根據(jù)題意畫出相應的圖形,根據(jù)圖形構(gòu)建向量,對其中的向量進行分析,利用向量計算完成題目求解.
點評在此題解答的過程中,需要靈活運用向量的性質(zhì):如果向量a·b=0,那么兩條直線垂直.在此題解答中,通過對題目進行計算,可以讓學生了解平面幾何的多種解題方式,培養(yǎng)學生自主思考的習慣.在解題中,通過向量知識的利用,讓學生掌握向量知識和幾何知識的關系,為學生之后立體幾何知識學習和解題奠定基礎.
相對于平面幾何來說,立體幾何知識更加復雜,要求學生具備抽象思維的同時,還需要具備良好的空間思維能力,能夠根據(jù)題目,準確構(gòu)建空間直角坐標系,構(gòu)造相應的向量,完成立體幾何題目的思考和解答.在具體的解題中,需要根據(jù)問題類型進行分析,保證空間坐標系的合理性,為問題的有效思考和解答做好準備.
例題如圖2所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,其棱長是2,E是AA1的中點,求解直線AC和B1E的距離.
分析在此立體幾何解題中,如果采取常規(guī)的立體幾何解題方式,雖然可以完成解題,但是,其解題難度比較大,計算比較多,很容易出現(xiàn)解題錯誤.教師可以引入向量法解題,通過構(gòu)建空間直角坐標系,簡化解題方式,幫助學生更好的解題.
點評在向量法解答立體幾何問題時,首先要做的是構(gòu)建空間直角坐標系,寫出每個點的坐標,將距離問題、二面角問題等轉(zhuǎn)化成向量問題,將空間向量轉(zhuǎn)化成平面向量,明確題目解題思路,從而有效解決立體幾何問題.
向量是高中數(shù)學的重要知識內(nèi)容,高中學生對其并不是非常熟悉,并不能靈活利用向量解題.因此,高中數(shù)學解題教師中,應當重視向量法的應用,結(jié)合題目類型分析,靈活引入向量法,將向量知識和其他數(shù)學知識結(jié)合,拓展學生解題思路,保證數(shù)學問題有效解答.