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        數(shù)列中的最值問題

        2021-08-05 08:28:32
        數(shù)理化解題研究 2021年16期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)定義

        張 慶

        (江蘇省徐州市侯集高級中學(xué) 221000)

        在解決數(shù)列中,我們經(jīng)常會碰到數(shù)列的通項、求和、項數(shù)、應(yīng)用等的最大值與最小值問題.通過題目中給出的相關(guān)信息,結(jié)合相關(guān)的數(shù)列定義、性質(zhì)以及相關(guān)公式,來解決相應(yīng)的最大值或最小值問題,是函數(shù)性質(zhì)的一種特殊表現(xiàn).下面結(jié)合幾類常見的數(shù)列中的最值問題加以實例剖析.

        一、通項an的最值問題

        圖1

        分析根據(jù)數(shù)列的通項結(jié)合對數(shù)運算加以變形,根據(jù)相應(yīng)的函數(shù)的圖象來確定通項中的最大值與最小值問題.

        易知:c20c22>…>1,則最高點為(21,c21),最低點(20,c20),即最大項為c21,c21=2.25,最小項為c20,c20=-4.

        點評:本題通過通項公式的轉(zhuǎn)化與變形,利用構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以數(shù)形結(jié)合,考查對數(shù)運算、數(shù)列的通項與函數(shù)的圖象問題.?dāng)?shù)列是一類特殊的函數(shù),其對應(yīng)的通項的最值問題相當(dāng)于對應(yīng)的函數(shù)中的自變量的最值問題,經(jīng)常把數(shù)列問題函數(shù)化來處理.

        二、和式Sn的最值問題

        例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1>0,S12>0,S13<0,指出S1,S2,…,S12中哪一個值最大,并說明理由?

        圖2

        分析通過等差數(shù)列的前n項和為Sn的關(guān)系式與對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的性質(zhì),結(jié)合參數(shù)n的取值的限制條件來確定Sn的最值問題.

        ∵S12>0,S13<0,∴a13=S13-S12<0,∵a1>0,a13<0,∴d<0,

        ∵S12>0,S13<0,∴12<2n0<13,∴6

        易知n=6對應(yīng)的A點(6,S6)與對稱軸的距離比n=7對應(yīng)的B點(7,S7)與對稱軸的距離更小,∴A點為最高點,S6最大.

        點評:本題結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算能力等.通過把求和公式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)的解析式問題,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定Sn的最值問題.

        三、項數(shù)n的最值問題

        例3設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項和Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        分析(1)利用數(shù)列的前n項和Sn與an間的關(guān)系,結(jié)合等比數(shù)列的定義來確定數(shù)列的類型,并結(jié)合條件建立關(guān)系式求解a1的值,進而求解相應(yīng)的通項公式;(2)通過等比數(shù)列求和,結(jié)合絕對值不等式的求解來確定參數(shù)的最值問題.

        解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n>1),即an=2an-1(n>1),從而a2=2a1,a3=2a2=4a1,又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,所以數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故an=2n;

        點評本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力等.解決本題的關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化與化歸思維,把求和型的數(shù)列最值問題轉(zhuǎn)化為不等式的求解問題,結(jié)合項數(shù)n的取值情況加以相應(yīng)的最值問題.

        四、應(yīng)用中的最值問題

        例4某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于.

        分析根據(jù)實際應(yīng)用問題確定對應(yīng)的數(shù)列為等比數(shù)列,再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,通過建立相應(yīng)的不等式來分析與求解最值問題.

        點評利用數(shù)列知識來解決實際應(yīng)用問題中的最值時,要注意結(jié)合特殊數(shù)列的定義、通項、性質(zhì)、求和公式等加以轉(zhuǎn)化,特別對于求解相關(guān)的參數(shù)問題,一定要結(jié)合實際應(yīng)用問題,確定在正整數(shù)范圍的n的取值情況.

        五、創(chuàng)新中的最值問題

        例5 若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積Tm,則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個“2020積數(shù)列”,且a1>1,則該數(shù)列中Tn取得最大值時n的值為____.

        分析用創(chuàng)新定義建立數(shù)列的關(guān)系式,進而求得a1010=1,利用a1>1,得到公比01且0

        解析由題中的創(chuàng)新定義可知a1a2a3·…·a2020=a2020,故a1a2a3·…·a2019=1,由于{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列且a1>1,所以a10102019=1,即a1010=1,而a1>1,則有a1010=a1q1009=1,可知公比01且0

        點評本題在創(chuàng)新定義下建立等比數(shù)列關(guān)系式,通過等比數(shù)列的通項與性質(zhì)來分析與求解,關(guān)鍵是理解創(chuàng)新定義與對應(yīng)關(guān)系式的建立,進而結(jié)合等比數(shù)列的對應(yīng)性質(zhì)加以分析與應(yīng)用.

        抓住數(shù)列的定義、通項、求和以及性質(zhì)等,合理應(yīng)用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì),解決一些涉及數(shù)列的最值問題,有效融合數(shù)列與函數(shù)之間的交匯,很好考查數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力,提升數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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