李天擎 楊明遠(yuǎn) 王曉峰

摘要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“做數(shù)學(xué)”的一個(gè)重要內(nèi)容。在江蘇省蘇州市某初級(jí)中學(xué)七年級(jí)和八年級(jí)選取被試，以教學(xué)方法為自變量，提出問題為因變量，實(shí)驗(yàn)組在教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)照組采用常規(guī)教學(xué)。在經(jīng)過6周的教學(xué)后進(jìn)行提出問題的后測(cè)，結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組的后測(cè)成績(jī)存在顯著差異。研究表明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是促進(jìn)初中生提出問題能力發(fā)展的一條有效途徑。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);提出問題

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》的總目標(biāo)中提出，“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：…… 增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。因此，提出數(shù)學(xué)問題是義務(wù)教育階段學(xué)生應(yīng)具備的基本能力。

國(guó)內(nèi)許多學(xué)者對(duì)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題做了較多研究。冒建生提出，運(yùn)用不同的思維方法培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力：（1）運(yùn)用整合條件與結(jié)論的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題;（2）運(yùn)用歸納、類比、聯(lián)想的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題;?（3）將問題一般化或特殊化，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題。② 王嶸和蔡金法在對(duì)國(guó)內(nèi)外教科書中提出問題內(nèi)容分析的基礎(chǔ)上，提出三點(diǎn)建議：（1）教師作為課程的再設(shè)計(jì)者，以簡(jiǎn)單的方式重塑現(xiàn)有的教科書，為學(xué)生提出問題創(chuàng)造更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì);（2）以帶有示例性問題的問題提出活動(dòng)為支撐， 為學(xué)生提出問題積累豐富的經(jīng)驗(yàn);（3）鼓勵(lì)學(xué)生提出不同難度的問題，逐步發(fā)展學(xué)生的問題提出能力。③ 張丹與吳正憲對(duì)提出問題做了實(shí)證研究， 通過后測(cè)發(fā)現(xiàn)：在經(jīng)歷了兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)后，二年級(jí)學(xué)生就已經(jīng)初步具備發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;二到五年級(jí)，提出發(fā)展性問題的比例越來越大，說明隨著年級(jí)的增高學(xué)生不斷地積累提出發(fā)展性問題的經(jīng)驗(yàn);到了六年級(jí)，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠提出發(fā)展性問題，一半以上的學(xué)生則能較為系統(tǒng)地提出發(fā)展性問題。① 夏小剛等針對(duì)學(xué)生普遍缺乏提出數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和問題意識(shí)較為低下的現(xiàn)狀， 開展了對(duì)“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—解決問題—應(yīng)用數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)模式（簡(jiǎn)稱SPBI 模式）的實(shí)驗(yàn)研究。結(jié)果表明，SPBI 模式對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、提出問題能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有顯著的促進(jìn)作用。② 吳華與盧小男認(rèn)為，多媒體環(huán)境對(duì)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題有極其重要的作用與意義，把多媒體技術(shù)恰當(dāng)有效地整合到學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題和問題解決中是發(fā)揮技術(shù)價(jià)值的一個(gè)很好的切入點(diǎn)。多媒體技術(shù)使學(xué)生能用具體的方法對(duì)其數(shù)學(xué)思維進(jìn)行表征，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。③

可以看出，這些研究從教學(xué)方式改進(jìn)或?qū)W生參與活動(dòng)方式變化的角度，來提高學(xué)生提出問題的能力。我們則從“做數(shù)學(xué)”角度切入，用實(shí)驗(yàn)方法探討“做數(shù)學(xué)”對(duì)學(xué)生提出問題的影響。

“做數(shù)學(xué)”是以“做”為支架的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。包括：（1）數(shù)學(xué)體驗(yàn)。是學(xué)生動(dòng)手操作， 作中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)方式。（2）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，利用一定的工具（實(shí)物或軟件）， 通過動(dòng)手操作、用眼觀察、歸納抽象等過程建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種學(xué)習(xí)方式。（3）綜合實(shí)踐。是以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與生活為核心，強(qiáng)調(diào)實(shí)踐性的一種學(xué)習(xí)方式。本次研究的“做數(shù)學(xué)”，主要指其中的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。

二、研究方法

本次研究是在喻平教授關(guān)于“做數(shù)學(xué)”實(shí)證研究總體設(shè)計(jì)框架下開展的一項(xiàng)研究。

（一）被試選擇

本次研究，被試來自江蘇省蘇州市某初級(jí)中學(xué)，我們以2020—2021 年第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)調(diào)研成績(jī)?yōu)閰⒖?，運(yùn)用SPSS 軟件進(jìn)行t檢驗(yàn)，考察七、八年級(jí)各個(gè)班級(jí)之間的差異情況，以此來選擇實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組。最后，我們選取了七年級(jí)1、2、3、4班與八年級(jí)15 、16 、17 、20 班共8個(gè)學(xué)習(xí)水平相當(dāng)（t檢驗(yàn)后，檢驗(yàn)結(jié)果不存在顯著差異）的班級(jí)參與實(shí)驗(yàn)。其中，七年級(jí)1、3班和八年級(jí)15 、17 班作為實(shí)驗(yàn)組;七年級(jí)2、4班和八年級(jí)16 、20 班作為對(duì)照組。這8個(gè)班級(jí)中，每組實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班都是由同一位數(shù)學(xué)教師任教的，從而消除了不同教師的教學(xué)水平可能造成的無(wú)關(guān)變量因素。

（二）研究工具

本次研究主要是評(píng)估初中生在提出問題方面的表現(xiàn)，是一種能力的評(píng)價(jià)性研究，但是從許多相關(guān)研究來看，目前沒有比較標(biāo)準(zhǔn)和統(tǒng)一的測(cè)量工具。

許多研究者廣泛認(rèn)同和采用的一種評(píng)價(jià)思路和手段是：為被試提供或設(shè)計(jì)一些提出問題的任務(wù)，而這些提出問題的任務(wù)都是以一定的生活或數(shù)學(xué)情境為背景的;讓被試針對(duì)提供的情境，提出正確的數(shù)學(xué)問題;對(duì)被試提出的問題進(jìn)行某個(gè)維度或視角的分析和評(píng)價(jià)。

為了實(shí)驗(yàn)的可對(duì)比性與嚴(yán)謹(jǐn)性，研究工具采用了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)核心組統(tǒng)一編制后交由各校統(tǒng)一使用的測(cè)試卷。該測(cè)試卷的編制遵從兩個(gè)原則：?（1）圍繞所學(xué)的知識(shí)設(shè)計(jì)題目;（2）主要考查學(xué)生提出問題的能力。

我們采用蔡金法教授的分法，把“提出問題” 分為三級(jí)水平（將不能提出問題排除在水平之外）：水平1，能夠提出一個(gè)簡(jiǎn)單問題;水平2，能夠提出一個(gè)中等難度問題;水平3，能夠提出一個(gè)較難問題。

兩個(gè)年級(jí)的測(cè)試卷均為三道題目。測(cè)試時(shí)長(zhǎng)40 分鐘。

七年級(jí)的測(cè)試題如下：

如圖1，在平面內(nèi)，將一副三角尺擺放在一起， 其中頂點(diǎn)D在邊AC上，設(shè)∠ADE=α，∠CDF=β。

請(qǐng)回答下面的問題：

①請(qǐng)你提出一個(gè)針對(duì)α、β的數(shù)學(xué)問題，并解答這個(gè)問題;

②將三角尺DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形，再提出一個(gè)針對(duì)α、β的新的數(shù)學(xué)問題， 并解答這個(gè)問題;

③將三角尺DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使EF⊥AB， 請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，再提出一個(gè)針對(duì)α、β的新的數(shù)學(xué)問題，并解答這個(gè)問題。

八年級(jí)的測(cè)試題如下：

如圖4，已知平行四邊形紙片ABCD。

請(qǐng)回答下面的問題：

①折疊該紙片的1個(gè)角，使這個(gè)角的兩邊重合，畫出折痕，然后提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題，并解答這個(gè)問題;

②折疊該紙片的2個(gè)角，使這2個(gè)角的兩邊分別重合，畫出折痕，然后提出一個(gè)與四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并解答這個(gè)問題;

③折疊該紙片的幾個(gè)角，使這幾個(gè)角的兩邊分別重合，畫出折痕，然后提出一個(gè)新的與四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并解答這個(gè)問題。

（三）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)方案如圖5所示。兩個(gè)“做數(shù)學(xué)”階段， 每一個(gè)階段至少安排3次“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)。

三、研究過程

（一）實(shí)驗(yàn)操作

2021 年2月，以上一學(xué)期期末考試成績(jī)?yōu)閰⒖?，選取合適的班級(jí)參與本次實(shí)驗(yàn)研究，并確定實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組。

2021 年4月—5月，與正常教學(xué)同步開始進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)（教學(xué)內(nèi)容詳見下頁(yè)表1，皆源自蘇科版初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)）。

2021 年5月，利用測(cè)試卷對(duì)學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例

【案例1】七年級(jí)：拼圖———探索一類多項(xiàng)式的因式分解

教學(xué)《整式乘法與因式分解》這一章時(shí)，我們選擇《拼圖——探索一類多項(xiàng)式的因式分解》這節(jié)實(shí)驗(yàn)課作為載體，在實(shí)驗(yàn)班中滲透數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法：通過拼圖活動(dòng)，探索拼圖與整式的因式分解之間的內(nèi)在關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展幾何直觀和推理能力（對(duì)照班則通過代數(shù)方法，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，推導(dǎo)得出乘法公式）。

課前，準(zhǔn)備A型紙片（邊長(zhǎng)為a的正方形）、B 型紙片（邊長(zhǎng)為b的正方形）、C型紙片（邊長(zhǎng)為a和b的長(zhǎng)方形）若干。實(shí)驗(yàn)過程設(shè)計(jì)如下：

（1）能否利用手上的紙片驗(yàn)證已經(jīng)學(xué)過的乘法公式？

（2）利用1張A型紙片、4張B型紙片、4張C 型紙片可以拼成什么特殊的四邊形？ 根據(jù)該四邊形，你有何發(fā)現(xiàn)？

（3）將多項(xiàng)式a²+4ab+4b²分解因式，對(duì)比剛剛的拼圖結(jié)果，你能提出什么問題？

（4）取1張A型紙片、2張B型紙片、若干C 型紙片，使其拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，你能提出怎樣的問題？

（5）分別取適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型紙片，?使其拼成一個(gè)長(zhǎng)為a+3b、寬為a+b的長(zhǎng)方形，并將多項(xiàng)式a²+4ab+3b²分解因式，根據(jù)剛剛的實(shí)驗(yàn)過程，你有何發(fā)現(xiàn)？

（6）如果分別取A型、B型、C型紙片若干，能夠拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，是否就能將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式？ 如果能，那么你能提出關(guān)于這個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)的何種猜想？

（7）分別取適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型紙片， 使其拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，能夠?qū)⒍囗?xiàng)式2a²+5ab+3b²分解因式嗎？

（8）剛剛所有的拼圖都是在原有基礎(chǔ)上增加出來的，你還能提出什么問題嗎？（允許覆蓋，能否拼成一個(gè)長(zhǎng)方形從而將多項(xiàng)式a²+2ab-3b²分解因式？）

如此設(shè)計(jì)，有四個(gè)方面目的（作用）：（1）利用三種紙片的拼圖，再現(xiàn)分解因式的公式，讓學(xué)生感受數(shù)與形的聯(lián)系;（2）通過給定數(shù)量的紙片能拼成一個(gè)正方形或長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想和紙片面積一樣的多項(xiàng)式就能分解因式，再尋找關(guān)于這個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律;（3）利用三種紙片拼出長(zhǎng)方形或覆蓋后拼出長(zhǎng)方形，讓學(xué)生懂得從增和減的角度思考問題;（4）適當(dāng)穿插如“利用不同型號(hào)的紙片做出正方形”“利用‘L字形紙片進(jìn)行裁切，拼成長(zhǎng)方形”“利用四個(gè)長(zhǎng)方形拼合‘回字形，探究公式”等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從紙片面積的不同表達(dá)方式入手自發(fā)猜想和驗(yàn)證，鍛煉提出問題和說理表達(dá)的能力。

【案例2】八年級(jí)：糖水實(shí)驗(yàn)———探索分式的有關(guān)性質(zhì)

教學(xué)《分式》這一章時(shí)，我們選擇《糖水實(shí)驗(yàn)——探索分式的有關(guān)性質(zhì)》這節(jié)實(shí)驗(yàn)課作為載體，在實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行教學(xué)：通過糖水實(shí)驗(yàn)，從生活經(jīng)驗(yàn)中抽象出數(shù)學(xué)式子，探索并進(jìn)一步理解分式的相關(guān)性質(zhì)，感受模型思想（對(duì)照班則通過傳統(tǒng)的代數(shù)方法，利用通分與約分的類比進(jìn)行教學(xué)）。實(shí)驗(yàn)過程設(shè)計(jì)如下：

（1）在一杯水中加入糖后，水會(huì)變甜;再加入水后，又會(huì)變淡。你能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述這種現(xiàn)象嗎？

（2）有兩杯糖水， 請(qǐng)你提出一個(gè)值得研究的問題。（表示糖水的甜度）

（3）單獨(dú)添加糖或水， 請(qǐng)你提出一個(gè)值得研究的問題。（利用式子描述）

（4）配置糖水：①一杯糖水分配出三小杯，提出一個(gè)關(guān)于甜度的問題;②一小杯糖水，倒入原來的杯子中，提出一個(gè)關(guān)于甜度的問題;③兩杯不同甜度的糖水，你能提出怎樣的問題？（嘗試?yán)檬阶用枋觯?/p>

（5）加糖、加水都是添加，能否提出其他問題？ （通過某種手段提取溶液中的糖或水）

這樣設(shè)計(jì)，有四個(gè)方面目的（作用）：（1）通過兩杯糖水的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生提出甜度的衡量標(biāo)準(zhǔn);（2）通過單獨(dú)添加糖或水，引導(dǎo)學(xué)生利用分?jǐn)?shù)性質(zhì)解釋生活現(xiàn)象;（3）通過配置糖水，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)影響甜度的因素;（4）通過對(duì)問題的變式，體會(huì)相對(duì)思想，讓學(xué)生懂得可以從增和減的角度提出問題，展開研究。

四、研究結(jié)果

將實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的數(shù)據(jù)合并后，利用SPSS 軟件進(jìn)行t檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

（一）前測(cè)成績(jī)分析

以七年級(jí)、八年級(jí)上一學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)作為前測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，結(jié)果如表2—下頁(yè)表5所示。

表3顯示，在方差Levene（齊性）檢驗(yàn)中，Sig.=0.570>0.05，因此方差齊性，再看對(duì)應(yīng)的Sig.（雙側(cè)）=0.883>0.05，因此，七年級(jí)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的前測(cè)成績(jī)不存在顯著差異。

下頁(yè)表5顯示，八年級(jí)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的前測(cè)成績(jī)也不存在顯著差異。

（二）后測(cè)成績(jī)分析

對(duì)七、八年級(jí)的三道后測(cè)試題分別做檢驗(yàn)，再對(duì)總成績(jī)做檢驗(yàn)，結(jié)果見下頁(yè)表6—表9。

表7表明，七年級(jí)的實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組在第（1） 題和第（3）題的成績(jī)上沒有顯著差異，但是在第（2）題的成績(jī)和總分上都有顯著差異。

表9顯示，八年級(jí)的實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組在第（1） 題和第（2）題的成績(jī)上沒有顯著差異，??但在第（3）題的成績(jī)和總分上都存在顯著性差異。

可見，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組學(xué)生在“問題提出”方面產(chǎn)生了顯著差異，說明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在某種程度上提升了學(xué)生提出問題的能力。

五、結(jié)論與討論

從前測(cè)成績(jī)看，七、八年級(jí)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組均不存在顯著差異，說明實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平相當(dāng)，從而為實(shí)驗(yàn)提供了前提性保障。

隨著后續(xù)第一、第二階段數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的開展，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生接受了有別于對(duì)照組的教學(xué)，通過“做數(shù)學(xué)”，手腦并用，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來探究問題。從后測(cè)成績(jī)看，兩個(gè)組之間出現(xiàn)了顯著差異，說明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生提出問題產(chǎn)生了影響，提升了學(xué)生提出問題的能力。

在后測(cè)成績(jī)中，七年級(jí)在測(cè)試題第（1）、第（3） 兩題上未體現(xiàn)出顯著差異，但在第（2）題和總分上產(chǎn)生了顯著差異。究其原因，是第（1）題相對(duì)容易，第（3）?題相對(duì)較難， 而學(xué)生解答的區(qū)分度不高， 第（2）題的問題提出和解決難度中等，學(xué)生在這個(gè)問題的回答上產(chǎn)生了一定的分層，從而在該題以及總分上產(chǎn)生了顯著差異。八年級(jí)實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組在測(cè)試題第（1）、第（2）兩題上沒有顯著差異，但在第（3）?題和總分上存在顯著差異。原因可能是：前兩題提出問題并解決相對(duì)容易，但第（3）題需要學(xué)生具有一定的觀察、想象和推理能力，并提出一個(gè)合適的問題再加以解決，難度較高，因此在該題上體現(xiàn)出較大的差異性。

“做數(shù)學(xué)”與初中生提出問題之間具有內(nèi)在聯(lián)系，能對(duì)提出問題能力產(chǎn)生正向影響?！白鰯?shù)學(xué)”?通過動(dòng)手動(dòng)腦，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓一些原本畏懼?jǐn)?shù)學(xué)、游離在課堂之外的學(xué)生也逐漸參與到學(xué)習(xí)中，拉近了他們與數(shù)學(xué)的距離。通過有趣的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，讓抽象的數(shù)學(xué)變得更加具體和生動(dòng)。同時(shí)，通過獨(dú)立思考和同伴討論，學(xué)生也逐漸能找出蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的一些規(guī)律，并對(duì)此提出自己的問題。而教師在教學(xué)環(huán)節(jié)中的適度引導(dǎo)，可以讓問題變得更有深度，使不同層次的學(xué)生解決不同梯度的問題，讓他們發(fā)展數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力，獲得成就感，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙維坤，章建躍.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].課程·教材·教法， 2016（8）.

[2]董林偉.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（七年級(jí)下冊(cè)）[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

[3]董林偉.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（八年級(jí)下冊(cè)）[M]. 南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

[4]喻平，趙靜亞.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中品格與價(jià)值觀的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系建構(gòu)[J]. 課程·教材·教法，2020（6）.

（李天擎，西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué)。楊明遠(yuǎn)，西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué)。王曉峰，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心。）