金釗 李芮 公衛(wèi)江 祁陽(yáng) 張壽 蘇石磊

1) (東北大學(xué)理學(xué)院物理系, 沈陽(yáng) 110819)

2) (東北大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院, 軋制技術(shù)與連軋自動(dòng)化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 沈陽(yáng) 110819)

3) (延邊大學(xué)理學(xué)院物理系, 延吉 133002)

4) (鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院, 鄭州 450001)

里德伯原子由于具有較長(zhǎng)的能級(jí)壽命和易于操控的特點(diǎn)已成為卓越的信息載體之一.近年來(lái), 關(guān)于里德伯原子性質(zhì)的研究得到逐步的發(fā)展和完善, 特別是基于里德伯原子間范德瓦耳斯力誘導(dǎo)的單能級(jí)里德伯阻塞和反阻塞效應(yīng).然而, 隨著原子間距離的改變, 里德伯相互作用將導(dǎo)致更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.本文主要研究在原子間距小于其特征長(zhǎng)度的情況下, 如何根據(jù)構(gòu)建的里德伯反阻塞及雙反阻塞機(jī)制一步實(shí)現(xiàn)兩量子比特控制相位門(mén)和交換門(mén), 在此范圍內(nèi)的原子間相互作用將涉及多個(gè)能級(jí)的布居交換.數(shù)值模擬表明: 里德伯阻塞與雙反阻塞機(jī)制的解析和數(shù)值結(jié)果能夠達(dá)到高度一致, 理想情況下控制相位門(mén)和交換門(mén)的平均保真度分別為99.35%和99.67%, 此結(jié)果對(duì)于抵抗高激發(fā)里德伯態(tài)的自發(fā)輻射具有一定的魯棒性.希望本文的研究能夠?yàn)槔锏虏酉到y(tǒng)中實(shí)現(xiàn)大規(guī)模容錯(cuò)量子計(jì)算提供必要的理論支持與實(shí)驗(yàn)依據(jù).

1 引 言

量子信息科學(xué)是利用量子相干和關(guān)聯(lián)特性進(jìn)行量子計(jì)算和信息處理的一門(mén)新興學(xué)科[1], 它推動(dòng)著量子物理的研究不斷革新, 同時(shí)也開(kāi)啟了未來(lái)全球信息化變革的機(jī)遇之門(mén).量子信息的實(shí)現(xiàn)依賴(lài)于一個(gè)具體的物理系統(tǒng)作為信息載體.目前, 較理想的量子信息處理平臺(tái)主要有: 囚禁離子系統(tǒng)[2]、中性原子系統(tǒng)[3]、線(xiàn)性光學(xué)系統(tǒng)[4]、超導(dǎo)系統(tǒng)[5]等, 由于它們?cè)诹孔討B(tài)操控、存儲(chǔ)和傳輸方面的卓越性質(zhì)而備受矚目.

當(dāng)中性原子中的外層電子被激發(fā)到高主量子數(shù)n的軌道時(shí), 稱(chēng)該類(lèi)原子為里德伯原子[6?11].相比于一般中性原子, 里德伯原子具有軌道半徑較大、輻射壽命較長(zhǎng)、以及自發(fā)輻射幾率小等特點(diǎn).此外, 里德伯原子的捕獲和控制技術(shù)比較成熟, 實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)光鑷精準(zhǔn)控制里德伯原子的移動(dòng)[6].在里德伯原子的眾多性質(zhì)中, 強(qiáng)的長(zhǎng)程相互作用一直是研究的熱點(diǎn), 與囚禁離子之間的庫(kù)侖相互作用不同, 里德伯原子間的相互作用強(qiáng)度變化范圍很大[7], 并且可以被耦合光場(chǎng)控制[8].這些獨(dú)有的特點(diǎn)使得里德伯原子能夠承擔(dān)更多更復(fù)雜的量子信息處理任務(wù).里德伯原子之間的強(qiáng)相互作用會(huì)引起一種抑制激發(fā)效應(yīng), 稱(chēng)之為里德伯阻塞[12], 由于其特殊的條件激發(fā)性質(zhì), 已經(jīng)被普遍應(yīng)用于制備薛定諤貓態(tài)[13]、非破壞性宇稱(chēng)測(cè)量[14]、以及非線(xiàn)性光學(xué)響應(yīng)增強(qiáng)[15]等方案.

量子比特的有效控制是通過(guò)量子邏輯門(mén)[16]實(shí)現(xiàn)的, 其實(shí)質(zhì)是作用在一組基矢上的一種或多種幺正操作.如果將一系列邏輯門(mén)以一定的方式組合起來(lái)便可構(gòu)成需要的量子算法.與經(jīng)典計(jì)算不同, 量子邏輯門(mén)是具有量子態(tài)疊加原理和可逆性質(zhì)的運(yùn)算機(jī)制, 因此, 量子計(jì)算機(jī)能夠以較高的運(yùn)算速度和較低的能量消耗并行工作.為了實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算, 量子比特之間的耦合是非常必要的, 里德伯原子長(zhǎng)程且可調(diào)的相互作用為操控中性量子比特實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展的量子邏輯門(mén)提供了強(qiáng)有力的技術(shù)手段.其中有不少的理論方案已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[17].典型的基于里德伯阻塞的受控邏輯門(mén)可分為三步[7]:(i) 對(duì)控制原子執(zhí)行操作|1〉→|r〉; (ii) 對(duì)目標(biāo)原子|1〉 執(zhí)行 2π 操作; (iii) 對(duì)控制原子執(zhí)行操作|r〉→|1〉.如果控制原子初始位于|1〉 , 則對(duì)目標(biāo)原子的 2π 操作將會(huì)失效; 反之目標(biāo)原子的|1〉 態(tài)將會(huì)獲得一個(gè)相位.然而, 此類(lèi)阻塞門(mén)存在一個(gè)根本的局限, 即由里德伯能級(jí)移位V引起的固有阻塞錯(cuò)誤, 通常正比于?/V2(?是有效拉比頻率)[18], 這會(huì)不可避免地阻止它的拓展和應(yīng)用.

研究發(fā)現(xiàn), 通過(guò)降低原子密度能夠達(dá)到增加原子間距且弱化里德伯原子間的相互作用的目的, 從而克服阻塞效應(yīng)[19]; 也可以通過(guò)調(diào)制激光驅(qū)動(dòng)的拉比頻率, 使其遠(yuǎn)大于里德伯相互作用強(qiáng)度, 進(jìn)而打破阻塞機(jī)制的限制; 還可以利用激光場(chǎng)失諧補(bǔ)償里德伯相互作用引起的能級(jí)移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)反阻塞[20,21].早在2007年, Ates 等[22]在研究制備超冷里德伯原子氣的方案中已經(jīng)預(yù)測(cè)了反阻塞機(jī)制的存在.而后, Amthor 研究組[23]利用可分辨時(shí)間光譜測(cè)量技術(shù)在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到了該現(xiàn)象.相比于里德伯阻塞, 反阻塞是一種新的物理機(jī)制[24,25], 它允許多個(gè)里德伯原子同時(shí)被激發(fā).最近, 包括同時(shí)[26]、分步[27]驅(qū)動(dòng)的反阻塞機(jī)制、庫(kù)侖反阻塞機(jī)制[28]、以及耗散誘導(dǎo)的反阻塞機(jī)制[29]等不同類(lèi)型的里德伯反阻塞機(jī)制被陸續(xù)提出, 并作為構(gòu)建量子邏輯門(mén)[30?32]及制備量子糾纏態(tài)[33,34]等量子信息處理任務(wù)的基本模型被深入研究和細(xì)致探討.但大部分前期的研究方案[35?38]均考慮原子距離較遠(yuǎn)或者共振條件達(dá)不到時(shí)的情形, 范德瓦耳斯相互作用的效果僅僅是使單里德伯態(tài)發(fā)生能級(jí)移動(dòng), 如果縮小原子間距至偶極-偶極相互作用區(qū), 里德伯態(tài)間的相互作用將涉及多個(gè)能級(jí)的布居交換.正如基于偶極-偶極相互作用的F?rster共振過(guò)程[39,40], 它是利用里德伯原子中的共振能量轉(zhuǎn)移來(lái)增強(qiáng)原子間的相互作用, 該過(guò)程可以簡(jiǎn)單概括為:|dd〉?|pf〉+|fp〉, 其 中,|p〉=|61P1/2,mj=1/2〉 ,|d〉=|59D3/2,mj=3/2〉 , 以及|f〉=|57F5/2,mj=5/2〉 ,為能級(jí)間隔相等的三個(gè)里德伯態(tài), 即雙原子矢量|dd〉,|pf〉, 以及|fp〉三者能量簡(jiǎn)并[41,42].然而, 實(shí)際操作的非精準(zhǔn)性將導(dǎo)致一個(gè)相對(duì)小的能量移位, 使得原本共振的相互作用存在一個(gè)F?rster缺陷.實(shí)驗(yàn)上, 通常利用強(qiáng)度為32 mV·cm–1的電場(chǎng)消除此類(lèi)誤差[39], 進(jìn)而構(gòu)建嚴(yán)格意義上的F?rster共振,此時(shí)原子間的偶極-偶極相互作用強(qiáng)度Vdip=實(shí)驗(yàn)測(cè)得的彌散系數(shù)C3/2π=(2.39±0.03)GHz·μm3, 十分接近于理論值C3/2π=(2.54±0.03)GHz·μm3.此外, 另外兩種類(lèi)型的偶極-偶極相互作用為自旋交換型[43,44]以及集體交換型[45,46],對(duì)應(yīng)的態(tài)矢量轉(zhuǎn)化過(guò)程可分別表示為|sp〉?|ps〉以及|ss′〉?|pp′〉.正是因?yàn)榕紭O-偶極相互作用的特殊性質(zhì), 已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于兩比特[47]和三比特[48]邏輯門(mén)的構(gòu)建, 以及最近提出的可選擇的里德伯泵浦機(jī)制[49].

本文基于共振的里德伯偶極-偶極相互作用構(gòu)建了里德伯反阻塞及雙反阻塞動(dòng)力學(xué), 不同于傳統(tǒng)的反阻塞機(jī)制[25?27], 當(dāng)前的研究考慮了原子間距小于其特征距離時(shí), 里德伯原子間的強(qiáng)相互作用導(dǎo)致的一系列動(dòng)力學(xué)特征, 提出的雙反阻塞動(dòng)力學(xué)允許兩個(gè)基態(tài)矢量|01〉 和|10〉 同時(shí)布居在里德伯能級(jí),如果將提出的雙反阻塞動(dòng)力學(xué)應(yīng)用到耗散制備糾纏等量子信息處理方案中, 這在一定程度上能夠提高里德伯泵浦的效率, 從而加快系統(tǒng)演化達(dá)到消耗更少資源的目的.此外, 由于通用量子邏輯門(mén)通常需要考慮多個(gè)幺正操作的組合, 在數(shù)學(xué)上的低效率或者在物理實(shí)現(xiàn)上存在一定的復(fù)雜性.所以在量子計(jì)算中使用直接的多比特門(mén)更為方便.根據(jù)兩種反阻塞機(jī)制的特殊性質(zhì), 我們提出了一步實(shí)現(xiàn)高保真度的兩量子比特控制相位門(mén)和交換門(mén)的方案.因此, 本文所討論的內(nèi)容對(duì)于拓展里德伯反阻塞機(jī)制的維度和提升激光泵浦效率等方面的探索具有重要意義.

本文第二部分和第三部分分別為構(gòu)建里德伯反阻塞和雙反阻塞的基本模型及對(duì)應(yīng)量子邏輯門(mén)的實(shí)現(xiàn), 第四部分為理想情況和考慮原子自發(fā)輻射的數(shù)值結(jié)果討論, 最后給出結(jié)論.

2 里德伯反阻塞效應(yīng)及控制相位門(mén)的實(shí)現(xiàn)

兩個(gè)相距微米量級(jí)的里德伯原子能級(jí)精細(xì)結(jié)構(gòu)如圖1所示, 實(shí)驗(yàn)上通常選擇Rb87冷原子氣模擬里德伯原子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,|0〉ξ≡|5S1/2,F=1,mF=0〉和|1〉ξ≡|5S1/2,F=2,mF=2〉 (ξ=1,2 )表示對(duì)應(yīng)原子的基態(tài),|p〉ξ≡|63P1/2,mJ=1/2〉 和|d〉ξ≡|62D3/2,mJ=3/2〉 代表高激發(fā)里德伯態(tài).對(duì)于第一個(gè)原子, 利用一束σ+極化, 波長(zhǎng)為297 nm的單色激光場(chǎng)通過(guò)單光子過(guò)程實(shí)現(xiàn)|1〉1?|p〉1的躍遷.|1〉2?|d〉2的泵浦過(guò)程則需要利用兩束波長(zhǎng)分別為 780和479.8 nm的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)通過(guò)雙光子過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)[39].兩個(gè)躍遷過(guò)程對(duì)應(yīng)相同的拉比頻率?和失諧量?.當(dāng)兩個(gè)原子同時(shí)處于里德伯態(tài)且樣品的空間密度達(dá)到約109cm–3時(shí), 共振的偶極-偶極相互作用將誘導(dǎo)里德伯能級(jí)間的布居交換.

圖1 里德伯原子的能級(jí)結(jié)構(gòu).| p(0)〉ξ 和 | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 )代表兩個(gè)激發(fā)(基)態(tài), 具有相同拉比頻率的兩束非共振的光學(xué)激光分別驅(qū)動(dòng)對(duì)應(yīng)原子的躍遷 | 1〉1?|p〉1 和|1〉2?|d〉2 , 失諧量為 ?.V pd 表示兩個(gè)里德 伯原 子間 共振的偶極-偶極相互作用強(qiáng)度Fig.1.Energy-level configuration of Rydberg atoms.|p(0)〉ξ and | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 ) represent two Rydberg(ground) states, off-resonance optical lasers drive the transitions | 1〉1?|p〉1 and | 1〉2?|d〉2 for the corresponding atom with identical Rabi frequency ? and detuning ? , respectively.V pd denotes the strength of resonant diploe-diploe interaction between two Rydberg atoms.

旋波近似下, 描述整個(gè)系統(tǒng)演化的相互作用哈密頓量為(假設(shè) ? =1 ):

式中,|pd〉=|p〉1?|d〉2為雙原子基矢, 在接下來(lái)的討論中還將沿用類(lèi)似的形式;Vpd為里德伯原子間的偶極-偶極相互作用強(qiáng)度, 由此表征的里德伯相互作用可以進(jìn)一步表示成對(duì)角化的形式是本征值為±Vpd的本征態(tài).這一部分對(duì)角項(xiàng)能夠作為自由能哈密頓量, 將系統(tǒng)的相互作用旋轉(zhuǎn)至新的繪景.在此之前, 需要將外部驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的哈密頓量在集體的雙原子表象下進(jìn)行展開(kāi), 其表達(dá)式為

利用時(shí)間平均方法[50]可以絕熱地消除(3)式中與單激發(fā)子空間相關(guān)的相互作用項(xiàng) (高頻振蕩項(xiàng)),并結(jié)合大失諧條件{?,?±δ}??及反阻塞條件δ=2?和Vpd=2?+?2/(4?) , 最終能夠得到一個(gè)簡(jiǎn)潔的相互作用形式, 即系統(tǒng)的有效哈密頓量:

(4)式表達(dá)了基態(tài)|11〉 和雙激發(fā)里德伯態(tài)之間的布居轉(zhuǎn)化將隨著時(shí)間推移呈現(xiàn)拉比振蕩.當(dāng)假設(shè)系統(tǒng)最初被制備在基態(tài)|11〉 上時(shí), 通過(guò)解析地求解薛定諤方程 i?t|ψ(t)〉/?t=Heff|ψ(t)〉 , 任意時(shí)刻系統(tǒng)的末態(tài)可以表示為

有效哈密頓量的導(dǎo)出, 需要嚴(yán)格遵守參數(shù)條件Vpd=2?+?2/(4?)(解析結(jié)果).為了表明其合理性, 在圖2(a) 中, 通過(guò)數(shù)值求解與原始哈密頓量((1)式)相關(guān)的薛定諤方程, 在時(shí)刻從初態(tài)|11〉 出發(fā), 畫(huà)出了雙激發(fā)里德伯態(tài)|+〉 的布居隨著Vpd/?以及?/?的變化, 圖中的數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果(黑色點(diǎn)線(xiàn))幾乎符合.

圖2 (a) 態(tài)矢量 | +〉 的布居在時(shí)刻 隨著參數(shù) V pd/? 和 ? /? 的變化, 系統(tǒng)初態(tài)為 | 11〉 , 圖中的黑色點(diǎn)線(xiàn)是利用 V pd=2?+?2/(4?) 得到的解析結(jié)果; (b) 由原始哈密頓量(黑色點(diǎn)劃線(xiàn))以及有效哈密頓量(紅色實(shí)線(xiàn))支配的布居動(dòng)力學(xué)隨時(shí)間的演化, 系統(tǒng)的初態(tài)和末態(tài)分 別 為 | 11〉 和 ? |11〉 , 相關(guān)的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為: ? /(2π) =2 MHz, ? =7.5? , 以及Vpd=2?+?2/(4?)Fig.2.(a) Population of state | +〉 versus V pd/? and?/? at the time with a fixed initial state|11〉, the solid dots are analytical results based on the equation V pd=2?+?2/(4?) ; (b) populations of?|11〉versus the evolution time from the initial state | 11〉 governed by Full Hamiltonian (black dash-dotted line) and effective Hamiltonian (red solid line), the related parameters are chosen as: ? /(2π) = 2 MHz, ? =7.5? , and Vpd=2?+?2/(4?).

作為上述里德伯反阻塞效應(yīng)在量子信息處理任務(wù)中的應(yīng)用, 下面討論如何一步實(shí)現(xiàn)兩量子比特控制相位門(mén), 對(duì)應(yīng)門(mén)操作的標(biāo)準(zhǔn)算符表達(dá)式為

從有效哈密頓量((4)式)及任意時(shí)刻系統(tǒng)末態(tài)的表達(dá)式((5)式)不難計(jì)算出當(dāng)演化時(shí)間t=時(shí), 態(tài)矢量|11〉 的布居能夠完全轉(zhuǎn)化為?|11〉 , 而有效哈密頓量中不包含有關(guān)其他三個(gè)態(tài)矢量(|00〉 ,|10〉 , 以及|01〉 )的耦合項(xiàng), 因此它們?cè)谡麄€(gè)演化過(guò)程中均保持在自身的原始狀態(tài).在不考慮耗散的情況下, 借助于里德伯阻塞機(jī)制的控制相位門(mén)能夠以趨于100%的高保真度成功構(gòu)建.在圖2(b)中, 通過(guò)數(shù)值求解由原始哈密頓量(紅色實(shí)線(xiàn))及有效哈密頓量(黑色點(diǎn)劃線(xiàn))分別支配的薛定諤方程, 模擬了當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)設(shè)置為|11〉 時(shí),態(tài)矢量?|11〉 的布居隨時(shí)間的演化.從圖2(b)中可以看出, 兩條曲線(xiàn)的演化趨勢(shì)保持了高度一致, 均在與解析結(jié)果相同的時(shí)間點(diǎn)t=5.3μs , 保證了末態(tài)?|11〉 的布居分別達(dá)到99.72%和99.97%, 這不僅從數(shù)值的角度驗(yàn)證了上述理論分析的可行性, 也意味著從原始哈密頓量到有效哈密頓量的推導(dǎo)過(guò)程中涉及的一系列假設(shè)和近似均是合理且有效的,更表明了利用當(dāng)前的有效哈密頓量計(jì)算出的解析結(jié)果能夠準(zhǔn)確表征由原始哈密頓量支配系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)行為.

3 里德伯雙反阻塞效應(yīng)及交換門(mén)的實(shí)現(xiàn)

作為反阻塞機(jī)制的拓展和延續(xù), 這一小節(jié)將基于里德伯原子間的偶極-偶極相互作用實(shí)現(xiàn)里德伯雙反阻塞, 即允許四個(gè)雙原子基態(tài)矢量.{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}中的兩個(gè)布居在高激發(fā)里德伯態(tài).

對(duì)應(yīng)模型的原子精細(xì)結(jié)構(gòu)如圖3所示, 假設(shè)兩束具有相同拉比頻率?, 相對(duì)相位為θξ(ξ=1,2 )的光學(xué)激光場(chǎng)分別非共振地驅(qū)動(dòng)原子能級(jí)|0〉ξ?|d〉ξ和|1〉ξ?|p〉ξ之間的躍遷, 失諧量均為?, 實(shí)驗(yàn)上, 通常利用光鑷精確控制和束縛原子在空間中的相對(duì)位置, 從而調(diào)節(jié)兩個(gè)原子里德伯能級(jí)間的作用類(lèi)型, 這里依然沿用上節(jié)中具有“自旋-交換”性質(zhì)的共振偶極-偶極相互作用.刻畫(huà)上述耦合的系統(tǒng)哈密頓量為

圖3 里德伯原子的能級(jí)結(jié)構(gòu).| p(0)〉ξ 和 | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 )代表兩個(gè)激發(fā)(基)態(tài), 兩束具有相同拉比頻率 ? 及相對(duì)相位為 θξ 的非共振的光學(xué)激光分別驅(qū)動(dòng)對(duì)應(yīng)原子的躍遷|0〉ξ?|d〉ξ 和 | 1〉ξ?|p〉ξ , 失諧 量為 ?.V pd 表 示兩個(gè)里德伯原子間共振的偶極-偶極相互作用強(qiáng)度Fig.3.Energy-level configuration of Rydberg atoms.|p(0)〉ξ and | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 ) represent two Rydberg(ground) states, off-resonance optical lasers drive the transitions | 0〉ξ?|d〉ξ and | 1〉ξ?|p〉ξ for the corresponding atom with identical Rabi frequency ? , detuning ? , and different relative phase θξ , respectively.V pd denotes the strength of resonant diploe-diploe interaction between two Rydberg atoms.

式中, 已經(jīng)假設(shè)θ1=?π 和θ2=π.同樣將(7)式在雙原子基矢下展開(kāi), 并以里德伯相互作用哈密頓量的對(duì)角形式作為新的旋轉(zhuǎn)框架, 此時(shí)激光與原子耦合哈密頓量可以重新表達(dá)為

通過(guò)解析地求解由(9)式支配的薛定諤方程, 可得到如下演化過(guò)程:

式中?=?2t/(4?).當(dāng)操作時(shí)間t=(2n?1)π?/?2(n為正整數(shù)), 基態(tài)矢量|10〉 和|01〉 的疊加態(tài)能夠同時(shí)布居在雙激發(fā)里德伯態(tài)|+〉 , 此時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)里德伯雙反阻塞效應(yīng).為了進(jìn)一步證明上述解析結(jié)果以及反阻塞條件的準(zhǔn)確性, 在圖4(a) 中, 通過(guò)數(shù)值求解與原始哈密頓量((7)式)相關(guān)的薛定諤方程, 在時(shí)刻t=π?/?2, 從初態(tài)出發(fā), 畫(huà)出了雙激發(fā)里德伯態(tài)|+〉 的布居隨著Vpd/?及?/?的變化, 圖中的數(shù)值結(jié)果與雙反阻塞條件Vpd=2?的解析結(jié)果(黑色點(diǎn)線(xiàn))能夠基本重合.

圖4 (a) 態(tài)矢量 | +〉 的布居在時(shí)刻 t =π?/?2 隨著參數(shù)Vpd/? 和 ? /? 的變化, 系統(tǒng)初態(tài)為|01〉) , 圖中的黑色點(diǎn)線(xiàn)是利用公式 V pd=2? 得到的解析結(jié)果; (b) 由原始哈密頓量(黑色點(diǎn)劃線(xiàn))以及有效哈密頓量(紅色實(shí)線(xiàn))支配的布居動(dòng)力學(xué)隨時(shí)間的演化, 系統(tǒng)的初態(tài)和末態(tài)分別為 | 10〉 和 | 01〉 , 相關(guān)的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為:?/(2π) = 2 MHz, ? =7.5? , 以及Vpd=2?Fig.4.(a) Population of state | +〉 versus V pd/? and?/? at the time t =π?/?2 with a fixed initial state | 10〉 ,the solid dots are analytical results based on the equation Vpd=2? ; (b) populations of | 01〉 versus the evolution time from the initial state | 10〉 governed by Full Hamiltonian (black dash-dotted line) and effective Hamiltonian (red solid line), the related parameters are chosen as: ? /(2π) =2 MHz, ? =7.5? , and V pd=2?.

此外, 當(dāng)演化時(shí)間t=2(2n?1)π?/?2時(shí), 將出現(xiàn)如下布居轉(zhuǎn)化:|10〉→|01〉 和|01〉→|10〉.在圖4(b)中, 通過(guò)數(shù)值求解由原始哈密頓量(紅色實(shí)線(xiàn))及有效哈密頓量(黑色點(diǎn)劃線(xiàn))分別支配的薛定諤方程, 模擬了當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為|10〉 時(shí), 末態(tài)|01〉 的布居隨時(shí)間的演化.圖4(b)中的兩條曲線(xiàn)的演化趨勢(shì)依然保持了高度一致, 并且在t=2π?/?2=3.7μs 的時(shí)間點(diǎn)初態(tài)與末態(tài)的布居轉(zhuǎn)化分別達(dá)到99.71%和100%, 該結(jié)論再一次表明了解析和數(shù)值結(jié)果的精確對(duì)應(yīng).值得注意的是, 另外兩個(gè)基態(tài)矢量|00〉 和|11〉 由于與系統(tǒng)哈密頓量解耦合, 因此布居不發(fā)生變化.以上描述即為標(biāo)準(zhǔn)兩量子比特交換門(mén)的構(gòu)建過(guò)程, 其算符表示為

4 數(shù)值分析

量子系統(tǒng)的演化會(huì)不可避免地遭受環(huán)境的影響進(jìn)而導(dǎo)致消相干, 對(duì)于當(dāng)前的里德伯原子系統(tǒng),唯一的耗散因素即高激發(fā)里德伯態(tài)的自發(fā)輻射.盡管我們所構(gòu)建的量子邏輯門(mén)均涉及原子基態(tài)矢量間的相互轉(zhuǎn)化, 但支配系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化的有效哈密頓量的導(dǎo)出與基態(tài)到激發(fā)態(tài)的泵浦過(guò)程息息相關(guān).但由于這個(gè)過(guò)程是非共振激光驅(qū)動(dòng)的, 因此所導(dǎo)致的激發(fā)態(tài)布居始終保持高頻振蕩的行為, 從而能夠保證構(gòu)建的量子邏輯門(mén)對(duì)于抵抗原子自發(fā)輻射具有一定的魯棒性.為了驗(yàn)證上述理論分析的正確性, 引入量子門(mén)操作的平均保真度[51,52]:

其物理意義可表示為布洛赫球上的所有初態(tài)所導(dǎo)致的演化結(jié)果與對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)態(tài)矢量?jī)?nèi)積的平均值,實(shí)質(zhì)是任意初態(tài)經(jīng)過(guò)邏輯門(mén)作用以后與標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果的近似程度.(12)式中,|Ψi〉=(cosα|0〉1+sinα|1〉1)?(cosβ|0〉2+sinβ|1〉2) 為初始的直積態(tài);U為(6)式或(11)式表示的標(biāo)準(zhǔn)門(mén)操作算符;α和β為布洛赫球上的極角;ρ?(t) 表示任意時(shí)刻系統(tǒng)末態(tài)的密度算符, 它的演化由如下馬爾科夫近似下的主方程決定:

式中,為(1)式((7)式)所表征的原始哈密頓量;為描述對(duì)應(yīng)原子四個(gè)衰減路徑的 Lindblad 算符,γ為原子自發(fā)輻射率.

在圖5(a)(圖5(b))中, 數(shù)值模擬了理想情況下, 即γ=0 時(shí), 兩量子比特控制相位門(mén)(交換門(mén))的平均保真度隨時(shí)間的演化.可以看出, 原始哈密頓量(紅色線(xiàn))和有效哈密頓量(黑色線(xiàn))支配的動(dòng)力學(xué)結(jié)果和演化趨勢(shì)基本能夠相互重合, 其中, 紅色曲線(xiàn)在末態(tài)時(shí)間點(diǎn)=0.9935(0.9967), 而黑色曲線(xiàn)的值則均超過(guò)了0.9999, 造成這種輕微差異的原因, 主要是由于原始哈密頓量中存在的高頻振蕩項(xiàng)所導(dǎo)致的一些微小的誤差.

圖5 由原始哈密頓量和有效哈密頓量支配的平均保真度隨時(shí)間的演化 (a)控制相位門(mén); (b)控制交換門(mén).系統(tǒng)參數(shù)為 ? /(2π) = 2 MHz, ? =7.5? ,Vpd=2?+?2/(4?)( V pd= 2 ? ) 以及 γ = 0 kHz.插圖表示不同的原子自發(fā)輻射率對(duì)平均保真度的影響, 選定的末態(tài)時(shí)刻為( t =2π?/?2 ), 其他的系統(tǒng)參數(shù)除了 γ 以外均與大圖相同F(xiàn)ig.5.Time-dependence of the average fidelity dominated by full Hamiltonian and effective Hamiltonian: (a) controlled-PHASE gate; (b) controlled-SWAP gate.Values of parameters are: ? /(2π) = 2 MHz, ? =7.5? ,Vpd=2?+?2/(4?) ( V pd=2? ) and γ = 0 kHz.The insets shows the influence of different atomic decay rates γ on the final average fidelity.The chosen final time is ( t =2π?/?2 ) and the other parameters are the same as in panels (a) and (b) except for γ.

此外, 在圖5(a)和5(b)的插圖中利用數(shù)值方法進(jìn)一步研究了原子自發(fā)輻射對(duì)門(mén)操作的平均保真度帶來(lái)的負(fù)面影響.通過(guò)分別求解由原始哈密頓量所支配的主方程并選定對(duì)應(yīng)的末態(tài)的時(shí)間點(diǎn), 可以明顯觀察到, 在γ從0 kHz增大到2 kHz的范圍內(nèi), 平均保真度的值呈現(xiàn)出了線(xiàn)性的遞減, 減少量?jī)H為0.004.即使當(dāng)γ=2kHz—10?3?時(shí), 控制相位門(mén)和交換門(mén)的平均保真度依然可以超過(guò)0.99.這從數(shù)值的層面表明了方案所構(gòu)建的邏輯門(mén)對(duì)于抵抗原子激發(fā)態(tài)的衰減具有一定的魯棒性.實(shí)際上,高激發(fā)的里德伯態(tài)具有較長(zhǎng)的壽命[8], 對(duì)應(yīng)相對(duì)小的自發(fā)輻射率, 因此, 在參數(shù)條件γ/?<1 0?3下[53],保證邏輯門(mén)的平均保真度的值大于0.99并非是一個(gè)極端挑戰(zhàn), 而是可以輕易達(dá)到的要求.

5 結(jié) 論

本文以四能級(jí)里德伯原子為基本模型研究了里德伯反阻塞動(dòng)力學(xué)的性質(zhì)及應(yīng)用, 通過(guò)調(diào)節(jié)激光失諧量補(bǔ)償原子間共振的偶極-偶極相互作用誘導(dǎo)的能級(jí)移位實(shí)現(xiàn)了雙原子基態(tài)的同時(shí)布居.在此基礎(chǔ)上, 根據(jù)反阻塞與雙反阻塞各自的泵浦特征, 構(gòu)建了對(duì)應(yīng)的兩量子比特控制相位門(mén)及交換門(mén).數(shù)值模擬同時(shí)考慮了有效哈密頓量和原始哈密頓量分別支配的動(dòng)力學(xué)演化.結(jié)果表明, 兩者表征的解析和數(shù)值結(jié)果可以達(dá)到高度符合, 同時(shí)也驗(yàn)證了高保真度量子邏輯門(mén)對(duì)于抵抗原子自發(fā)輻射具有一定的魯棒性.希望本文的研究能夠積極地推動(dòng)多維度、高效率的里德伯反阻塞機(jī)制的研究走向深入,并且為中性原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算的相關(guān)實(shí)驗(yàn)提供理論依據(jù).

感謝哈爾濱工業(yè)大學(xué)吳金雷博士的討論.