華津宇 盛政明2)?

1) (上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院, 激光等離子體教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

2) (上海交通大學(xué)李政道研究所, 上海 200240)

高能質(zhì)子束在等離子體中通過自調(diào)制不穩(wěn)定激發(fā)尾波的研究在過去的十年里有了長足的發(fā)展, 在歐洲核子研究中心(CERN)人們已經(jīng)在相關(guān)AWAKE實(shí)驗(yàn)中利用這種尾波加速電子, 并獲得了最高能量約2 GeV的電子束.針對高能粒子加速應(yīng)用需求, 近幾年人們又進(jìn)一步提出了利用電子束種子尾波控制質(zhì)子束自調(diào)制過程的方案, 用于提升尾波的強(qiáng)度與穩(wěn)定性.本文研究了電子束種子尾波對質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度的影響,著重討論了導(dǎo)致尾波相速度改變的多種物理機(jī)理及電子束所起到的作用.通過理論分析和二維粒子模擬研究發(fā)現(xiàn), 電子束的引入可以提升質(zhì)子束自調(diào)制尾波的增長率和尾波的相速度, 且電子束的電荷密度越高其效果愈明顯.本文還探討了電子束能量和質(zhì)子束的縱向密度分布對相速度變化的影響.

1 引 言

等離子體尾波加速概念[1,2]自從上世紀(jì)70年代末被提出以來已經(jīng)取得了長足的發(fā)展, 它通過高強(qiáng)度的激光脈沖或者高能帶電粒子束在等離子體中激發(fā)出一個大振幅且具有相對論相速度的電子等離子體波來加速電子[3?5].等離子體尾波的場強(qiáng)接近于所謂的等離子體波破裂幅度E0=meωpc/e,其中為等離子體振蕩頻率,n0為等離子體電子密度,e為電子電荷,me為電子質(zhì)量,c為光速.該場強(qiáng)比傳統(tǒng)加速器產(chǎn)生的加速電場高出好幾個數(shù)量級[6], 使得等離子體尾波加速已經(jīng)成為未來最有前景的新型加速方式之一, 吸引了眾多國內(nèi)外研究者的目光[7?9].

在眾多等離子體尾波加速的方案中, 質(zhì)子束尾波加速最早由Caldwell等[10]在2009年提出, 它的機(jī)制與電子束驅(qū)動尾波加速極為相似, 都是通過一束很短的帶電粒子束在等離子體中激發(fā)尾波.由于質(zhì)子的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電子, 作為尾波驅(qū)動源的質(zhì)子束所攜帶的能量也遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過了激光和電子束的能量, 這使得質(zhì)子束驅(qū)動的尾波加速成為目前最有可能通過單級加速把輕子能量加速到TeV量級的加速方式[11].然而只有長度接近于等離子體的波長λp=c/ωp的質(zhì)子束才能在等離子體中產(chǎn)生接近于波破的電場強(qiáng)度, 并且現(xiàn)有的技術(shù)手段卻沒有辦法獲得如此之短的高能質(zhì)子束.在2010年Kumar等[12]提出了通過長質(zhì)子束在等離子體中通過自調(diào)制不穩(wěn)定 (self-modulation instability) 來激發(fā)等離子體尾波的概念.當(dāng)一束長質(zhì)子束在等離子體中傳播時, 質(zhì)子束本身產(chǎn)生的周期性橫向調(diào)制會使得長質(zhì)子束縱向結(jié)構(gòu)發(fā)生演化, 從而產(chǎn)生等離子體波的截斷效應(yīng), 使得質(zhì)子束演變成一長串與等離子體波長相匹配的短質(zhì)子束串.由此可以激發(fā)出一個非常強(qiáng)的電場, 用來加速外部注入的電子束.

這個理論已于2018年在歐洲核子中心(CERN)被AWAKE實(shí)驗(yàn)合作組證實(shí)[13,14].他們在實(shí)驗(yàn)中使用了一束長6 cm、中心能量400 GeV的質(zhì)子束.在質(zhì)子束通過長度10 m的等離子體管道之后, 高速攝像機(jī)拍攝下了質(zhì)子束自調(diào)制之后分裂成一長串短質(zhì)子束的圖像.在該實(shí)驗(yàn)中, 質(zhì)子束串激發(fā)的等離子體尾波將外注入的能量約18 MeV的電子束加速至近2 GeV的最高能量[15].但是, 美中不足的是, 質(zhì)子束自調(diào)制的過程會持續(xù)不斷地發(fā)展, 特別是由于質(zhì)子束頭部的持續(xù)擴(kuò)散和后退, 最終導(dǎo)致了整個尾波相位的倒退, 從而破壞了質(zhì)子束串的協(xié)同性, 造成了后期尾波電場強(qiáng)度的下降, 同時也使得尾波的相速度下降, 不利于加速帶電粒子.這一現(xiàn)象已經(jīng)被理論和實(shí)驗(yàn)所證明[13?16].相關(guān)質(zhì)子束自調(diào)制的理論已經(jīng)被很多文章所闡述[17?21], 這些文章揭示了自調(diào)制這一不穩(wěn)定性過程的增長率、相速度的變化等, 可以說在線性化階段, 該理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟.

近年來, 隨著人們對自調(diào)制這一過程研究的深入, 利用種子等離子體尾波控制自調(diào)制(seedingself-modulation)的想法逐漸出現(xiàn)在了人們的視線之中.它通過在質(zhì)子束的前方添加一個激光束或者短電子束, 依靠激光束[18]或者短電子束[22]產(chǎn)生的尾波作為種子來調(diào)制質(zhì)子束, 從而使得整個自調(diào)制的過程變得可控.2020年Lotov和Minakov[23]通過理論研究與數(shù)值模擬, 發(fā)現(xiàn)通過把短電子束種子尾波自調(diào)制與等離子體密度梯度相結(jié)合, 可以獲得一個相對穩(wěn)定、電場強(qiáng)度又保持在較高水準(zhǔn)的尾波.

綜上所述, 利用種子等離子體波來控制質(zhì)子束調(diào)制過程具有巨大的潛力, 也是目前AWAKE項(xiàng)目的主要研究方向之一.這方面的研究才進(jìn)入人們的視線, 對于其機(jī)制以及電子束對質(zhì)子束驅(qū)動的尾波相速度的影響目前尚沒有被完全認(rèn)知.由于電子在尾波中加速能量最終取決于尾波的相速度, 因此如何控制尾波相速度、并盡可能提高這個相速度至非常接近真空中光速是個重要研究課題.

本文主要研究以電子束驅(qū)動等離子體尾波作為種子的質(zhì)子束自調(diào)制過程, 及其產(chǎn)生等離子體尾波的相速度變化, 并根據(jù)模擬結(jié)果探討質(zhì)子束尾波相速度與電子束的關(guān)聯(lián).通過二維柱坐標(biāo)模擬軟件LCODE[24], 研究不同電荷密度、能量的短電子束對質(zhì)子束自調(diào)制過程的影響, 特別是質(zhì)子束尾波相速度的變化, 同時還闡述了短電子束在等離子體中自身的演化對該相速度的影響, 為質(zhì)子束驅(qū)動尾波加速的相關(guān)研究提供參考.

2 理論模型與數(shù)值模擬

首先介紹關(guān)于種子自調(diào)制的理論模型.相關(guān)的模型前人已經(jīng)有所研究[19?21], 但是和相應(yīng)的模擬結(jié)果并不一致, 可見相關(guān)的理論并不完善.而關(guān)于無種子情況下的質(zhì)子束自調(diào)制的理論模型則已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)完備.在無種子自調(diào)制的二維理論模型中, 一束非常長的均勻質(zhì)子束沿著z方向以vb的速度在均勻等離子體中傳輸.由于質(zhì)子束的能量非常大, 可以直接忽略質(zhì)子在縱向的位移.那么, 可以寫出它的包絡(luò)方程[21]:

方程中?n為質(zhì)子束的歸一化發(fā)射度,rb為質(zhì)子束半徑,f(ξ) 為質(zhì)子束的縱向分布√,t為時間,γ為質(zhì)子的洛倫茲因子,

為等離子體波數(shù),n0為等離子體電子密度, 其中kb=為質(zhì)子束密度,mp為質(zhì)子質(zhì)量, 傳播坐標(biāo)變量ξ=vbt?z≈ct?z,K1和I2則是貝塞爾函數(shù).方程的左邊第二項(xiàng)來自于質(zhì)子束發(fā)射度導(dǎo)致的橫向膨脹, 而右邊第一項(xiàng)則來自于等離子體橫向尾波帶來的運(yùn)動趨勢.

通過假設(shè)kprb?1 , 同時假定具有一定長度的均勻質(zhì)子束f(ξ)=1 , 方程(1)可以轉(zhuǎn)變?yōu)閇21]

其中方程的右邊是kprb?1 情況下的二維粒子束產(chǎn)生的橫向尾波分布.可以通過它來引入電子束的橫向尾波.這里假設(shè)電子束的長度為ξ1, 半徑等于質(zhì)子束的半徑(同樣符合kprb?1 ), 密度為Nnb,均勻分布在0—ξ1之間, 這意味著在模型中, 質(zhì)子束緊跟在電子束的后方, 兩者之間的距離為0.另外在該方程中, 假定電子束的分布不隨時間演化.把電子束的分布代入方程之后, 就得到了一個新的包絡(luò)方程:

該方程包含了質(zhì)子束前方電子束的縱向尾波分布.從該方程就可以看出, 電子束產(chǎn)生的橫向尾波就是電子束種子自調(diào)制與質(zhì)子束自調(diào)制過程之間最大的不同之處.接著對方程(3)做線性化處理[19], 假設(shè) rb≈r0+r1,r0為質(zhì)子束最終平衡態(tài),r1為質(zhì)子束自調(diào)制期間產(chǎn)生的半徑擾動, 并且r1?r0, 另外假設(shè)包絡(luò)膨脹的速度比較緩慢r1=r?exp(iξ)+C.C ,及|?ξr?|?r?.這樣就得到了簡化后關(guān)于r? 的方程:

由此可知, 當(dāng)電子束密度非常小時, 種子自調(diào)制的整個過程將接近于質(zhì)子束自調(diào)制過程.

通過把質(zhì)子束半徑分布代入等離子體尾波計算公式, 就可以計算出等離子體尾波的強(qiáng)度.再引入文獻(xiàn)[19]中的相速度公式

其中為電場的虛部,為電場的實(shí)部.通過(6)式, 求解尾波的相速度, 就可以得到存在種子尾波時質(zhì)子束調(diào)制尾波的相速度隨時間及空間的分布.

圖1為通過上述公式進(jìn)行數(shù)值求解得到的相速度分布.圖1中所使用的等離子體密度為n0=7×1014/cm3, 質(zhì)子束密度為nb=0.0056n0, 均勻分布, 而電子束長度ξ1=1.57c/ωp, 密度為均勻分布.圖中分別計算了電子束密度nbe=0nb, 0.25nb,0.5nb, 1nb, 1 0nb, 2 0nb時的質(zhì)子束自調(diào)制過程在ξ = 100時的尾波相速度分布.如圖1(a)所示, 在電子束密度非常小的情況下, 種子自調(diào)制尾波相速度與無電子束情況下的質(zhì)子束自調(diào)制幾乎一致, 相速度僅僅有著極其細(xì)微的差距.而從圖1(b)則可以看到, 在電子束密度較大時, 整個自調(diào)制過程中的尾波相速度隨著電子束的密度增大有著明顯的提高.并且相速度的最小值也隨之微弱地向左移動, 這也表示整個自調(diào)制過程隨著電子束密度的增加而加快, 電子束具有提高自調(diào)制增長率的特性.

圖1 在 ξ =100c/ωp 處尾波相速度隨時間變化 (a) 電子束密度較低時; (b) 電子束密度較大時Fig.1.Change of the phase velocity with time at ξ =100c/ωp : (a) Low electron beam density; (b) high electron density.

上述的計算使用了一個假設(shè), 由于r0必然是個不為負(fù)的實(shí)數(shù), 當(dāng) 1?2Nsin(ξ?ξ1/2)sin(?ξ1) 為一個負(fù)數(shù)時, 直接假定 1 /r0=0 , 另外, 在N的取值非常大的情況下, 比如N= 40, 此時電子束產(chǎn)生的電場已經(jīng)處于非線性強(qiáng)度, 而本理論只適用于線性階段, 所以上述的理論其實(shí)對于N有一個適用范圍.

接著通過LCODE程序模擬理想狀態(tài)下, 相同分布、不同電荷量的電子束所引發(fā)的種子自調(diào)制中不同位置、不同時刻縱向尾波極值的位置變化.LCODE是由Lotov開發(fā)的二維柱坐標(biāo)模擬軟件[25],專門用于模擬柱對稱粒子束在等離子體中傳播所引起的尾波激發(fā)和電子加速過程.在模擬中, 選取的模擬窗口長度為 6 00c/ωp, 等離子體的密度為n0=7×1014/cm3且均勻分布, 質(zhì)子束長度L=1500c/ωp(~3 cm), 半徑rb=1c/ωp(~200 μm), 中心能量Eb=400GeV , 中心密度為nb=0.0056n0,縱向密度為均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植?所使用的電子束中心密度為nbe, 縱向均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植? 電子束長度半徑rbe=1c/ωp,緊跟在質(zhì)子束后方, 雙方之間沒有間隔.這里先考慮一個理想情況, 把電子的能量設(shè)置為Ebe=1015GeV , 在能量如此高的情況下, 電子的分布不會隨時間演化, 如此就可以與上述的理論進(jìn)行比較.

圖2(b)、圖2(d)和圖2(f)分別給出了在上述條件下改變電子束的中心密度所模擬出的質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度在時間與空間上的分布.而圖2(a)、圖2(c)和圖2(e)給出了上述條件下質(zhì)子束自調(diào)制尾波電場最大值在時間與空間上的分布.通過對比這些圖像可以發(fā)現(xiàn), 隨著電子束中心密度的增加,電場最大值峰值出現(xiàn)的時間在整個自調(diào)制的過程中越來越早(從無電子束的大約 2 0000c/ωp到nbe=10nb時的大約 1 0000c/ωp), 相對應(yīng)的尾波相速度變化結(jié)構(gòu)也有著同樣的變化, 由此可見, 電子束的引入可以提高自調(diào)制的增長率, 壓縮整個自調(diào)制過程從初始到飽和所需的時間, 并且隨著電子束的電荷量的增加, 整個加速的程度愈發(fā)明顯.

圖2 電子束種子自調(diào)制模擬結(jié)果 (a) 無電子束時的最大電場分布; (b) 無電子束時的相速度分布; (c) 電子束中心密度為1nb時的最大電場分布; (b) 電子束中心密度為 1 nb 時的相速度分布; (e) 電子束中心密度為 1 0nb 時的最大電場分布; (f) 電子束中心密度為 1 0nb 時的相速度分布Fig.2.Results of the simulation: (a) Distribution of Emax when no seeding; (b) distribution of phase velocity when no seeding;(c) distribution of Emax when n be=1nb ; (d) distribution of phase velocity when n be=1nb ; (e) distribution of Emax when nbe=10nb ; (f) distribution of phase velocity when n be=10nb.

圖3 (a)給出了在不同電子束條件下尾波的峰值相位變化情況.通過對比圖3(a)中的各個曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)位置, 可以發(fā)現(xiàn)所有的曲線都擁有相同的變化規(guī)律, 它們的變化趨勢也是相同的, 惟一不同的是相速度拐點(diǎn)的位置和相速度的大小.圖3(b)和 圖3(c)則給出了(ξ=100c/ωp與ξ=300c/ωp處)不同nbe下各處尾波相速度隨時間的變化情況.通過對比圖3(b)和圖3(c)不同nbe情況下的尾波相速度可以發(fā)現(xiàn), 相比于無電子束調(diào)制, 在有電子束調(diào)制的情況下, 尾波相速度有所提升, 而且尾波的增長率也明顯增加了.質(zhì)子束自調(diào)制的增長率隨著電子束中心密度nbe的提高而增大, 從而縮短了整個過程的時間, 使得尾波相速度的演化進(jìn)展加快, 更早地達(dá)到了后期相速度接近于光速的穩(wěn)定狀態(tài).這與之前理論推導(dǎo)所給出的結(jié)論完全一致, 但是可以發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果與理論相比在細(xì)節(jié)上并不一致, 可見想要獲得一個精確的關(guān)于相速度的分布,數(shù)值模擬仍然是不可或缺的.

圖3 (a) 不同電子束密度 n be 情況下尾波峰值相位的變化; (b) ξ =100c/ωp 處不同 n be 條件下模擬得到的尾波相速度隨時間變化; (c) ξ =300c/ωp 處不同 n be 條件下模擬得到的尾波相速度隨時間變化Fig.3.(a) Phase change of the wakefield peak with different electron beam density n be ; (b) evolution of the phase velocity at ξ =100c/ωp with different n be ; (c) evolution of the phase velocity at ξ =300c/ωp with different n be.

圖4給出了縱向坐標(biāo) 0c/ωp—600c/ωp范圍的模擬窗口內(nèi)縱向電場最大值隨時間的變化曲線, 從圖中的曲線變化可以清晰地看出隨著電子束的電荷量提升, 整個自調(diào)制過程的增長率(電場增長率)有了明顯的提升, 所達(dá)到的最大電場也隨之提高.

圖4 不同電子束密度 n be 情況下最大電場隨時間的分布Fig.4.Evolution of the maximum electric field with different electron beam density n be.

綜上所述, 電子束可以提升自調(diào)制的整個過程的發(fā)展速度, 使得整個過程所需的時間縮短, 這也使得尾波相速度的變化幅度加快, 更早地達(dá)到了后期相速度接近于光速的穩(wěn)定狀態(tài), 有利于后續(xù)的電子加速.

3 電子束參數(shù)對尾波相速度的影響

上一節(jié)討論了理想狀態(tài)下電子束種子尾波對質(zhì)子束自調(diào)制過程中尾波相速度的影響, 所采用的電子束能量極高, 使其在傳輸過程中不發(fā)生變化,是一種簡化后的模型.然而在實(shí)際的情況中, 電子束的能量不可能如此之高, 相應(yīng)地, 電子束在等離子體傳播的過程中, 它的密度分布、形狀、能量都會發(fā)生變化.這些改變也會影響尾波相速度.本節(jié)考慮了有限能量電子束傳輸過程的演化對尾波相速度的影響.

首先介紹理論計算.當(dāng)電子束在等離子體中傳播時, 它會受到一個來自等離子體的徑向的作用力以及本身的庫侖排斥力, 其橫向尺度滿足[17]

其中τ=t為傳播時間,I1和K1為修正貝塞爾函數(shù).假如電子束的發(fā)射度非常小, 那么電子束將受到一個徑向壓縮的作用力, 進(jìn)入一個自聚焦的過程.在這個過程中, 電子束的半徑在不斷地變小,密度在不斷地變高, 從而它所激發(fā)的電場也在不停地變強(qiáng).

假設(shè)粒子束的平衡態(tài)滿足如下條件:

并且粒子束的頭部滿足真空中發(fā)射度自由膨脹方程[17]

可以利用方程(8)和方程(9)來求解出不同時刻粒子束的平衡態(tài).

圖5(a)和圖5(b)給出了通過(8)式和(9)式計算的一束長度半徑r=1c/ωp, 發(fā)射度εe=3×10?4rad/mm , 能量為Ebe的電子束剛進(jìn)入等離子體中時的平衡態(tài)分布.可以看到電子束的半徑, 特別是后半部分, 有一個非常明顯的壓縮.由此可見, 在等離子體中傳播的初期, 電子束將經(jīng)歷一個極其顯著的壓縮過程, 而壓縮后產(chǎn)生的高密度也自然使得其產(chǎn)生的電場有了巨大的提升, 從而改變了整個尾波的分布.

圖5 (a) 電子束能量 E be=100MeV 時不同電子束密度nbe的平衡態(tài)分布; (b) n be=10nb 時不同電子束能量Ebe 的平衡態(tài)分布Fig.5.(a) Equilibrium configuration with different electron beam density n be when Ebe =100 MeV; (b) equilibrium configuration with different E when n be=10nb.

圖6給出了根據(jù)(7)式—(9)式計算所得的存在電子束種子時, 質(zhì)子束自調(diào)制過程中的平衡態(tài)密度分布.計算過程中所使用的參數(shù)如下: 等離子體密度n0, 電子束初始密度nbe=5nb, 均勻分布, 電子束能量Ebe= 100 MeV, 發(fā)射度εe=3×10?4rad/mm , 長度ξ1=1.57c/ωp, 初始半徑rbe=c/ωp; 質(zhì)子束密度nb=0.0056n0, 縱向無限長且均勻分布, 中心能量為Eb= 400 GeV, 發(fā)射度εp=3×10?4rad/mm , 初始半徑rb=c/ωp.該計算中采用了兩個假設(shè): 1)忽略電子束半徑分布的變化, 即rbe(ξ,t)=rbe(t); 2)忽略電子束的能量衰減.首先, 通過上述假設(shè)和方程(7)求得電子束在某一時刻下的半徑; 其次, 將電子束分布和質(zhì)子束參數(shù)代入方程(7), 從而求得在該時刻電子束后方的質(zhì)子束平衡態(tài)密度分布, 最后再通過n(ξ,t)=計算出該時刻各個縱向位置的平衡態(tài)密度分布.圖6中選取了三個時刻(t=0 ,410/ωp, 5 89/ωp), 分別對應(yīng)著電子束半徑rbe=c/ωP, 0.75c/ωP, 0.5c/ωP三種情況, 展示了電子束(0至虛線范圍內(nèi))后方質(zhì)子束的平衡態(tài)密度分布的變化圖像.通過對比不同時刻的質(zhì)子束平衡態(tài)密度分布, 可以得知當(dāng)電子束處于被壓縮狀態(tài)時(可以看到電子束的密度越來越高), 質(zhì)子束的包絡(luò)會有向前運(yùn)動的趨勢, 那么相應(yīng)質(zhì)子束產(chǎn)生的尾波相位也會存在向前運(yùn)動的趨勢, 這也是形成超光速尾波相速度的主要原因.總之, 當(dāng)電子束處于自聚焦?fàn)顟B(tài)時, 可以得到一個超光速的尾波相速度.

圖6 電子束壓縮引起的質(zhì)子束平衡態(tài)變化, 即在三個時刻的質(zhì)子束平衡態(tài)分布Fig.6.Equilibrium configuration of proton beam with a compressing electron beam.

接下來的模擬是基于之前的等離子體和質(zhì)子束參數(shù), 考慮了相同電子束分布和電荷量, 但不同能量的模擬參數(shù)對尾波相速度的影響.在模擬中,等離子體的密度為n0=7×1014/cm3且均勻分布,質(zhì)子束中心能量Eb=400GeV , 長度L=1500c/ωp(大約3 cm), 半徑r=1c/ωp(大約200 μm), 中心密度為nbm=0.0056n0, 縱向分布為均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植?所使用的電子束長度半徑r=1c/ωp,電子束中心密度nbem=10nb,縱向分布為均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植? 電子束中心能量總共選取了三種, 分別是Ebe= 100 MeV,500 MeV, 1 GeV.

圖7 (a)—圖7(c)給出了在上述條件下改變電子束的能量(100 MeV, 500 MeV, 1 GeV)所得到的質(zhì)子束自調(diào)制尾波電場最大值在時間與空間上的分布.圖7(d)€—圖7(f)則給出了上述條件下質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度在時間與空間上的分布.圖8(a)和圖8(b)則是挑選了ξ=100c/ωp與ξ=300c/ωp的位置, 不同能量的電子束所得到的尾波相速度進(jìn)行比較.可以發(fā)現(xiàn), 在自調(diào)制初始的時期,出現(xiàn)了相速度大于光速的現(xiàn)象, 這與之前提到的電子束自聚焦理論相符合.能量越高, 該現(xiàn)象就越不明顯.另外通過對比圖7和圖8中的數(shù)據(jù), 可以發(fā)現(xiàn)對自聚焦起到關(guān)鍵作用的有兩個參數(shù), 即電子束的能量和密度.如果電子束的能量γ過高, 那么它受到的徑向加速度也隨之減弱, 如圖8(a)和圖8(b)所示, 自聚焦對相速度的影響程度隨著能量的增高而漸漸減弱.而如果增強(qiáng)電子束的密度, 則自聚焦的速度就會明顯加快, 整個自聚焦的過程所引發(fā)的超光速相速度也會愈發(fā)明顯.

圖7 利用電子束種子尾波調(diào)制質(zhì)子束的模擬結(jié)果 (a), (b), (c)分別對應(yīng)電子束能量 E be = 100 MeV, 500 MeV, 1 GeV時的最大電場隨時間變化; (d), (e), (f) 分別對應(yīng)電子束能量 E be = 100 MeV, 500 MeV, 1 GeV時的相速度隨時間變化Fig.7.Simulation of proton beam modulation with electron beam seeding:(a), (b), (c) The maximum electric fields as a function of time for the electron beam energy at E be=100MeV , 500 MeV, and 1 GeV, respectively; (d), (e), (f) the phase velocity as a function of time for the electron beam energy at E be=100MeV , 500 MeV, and 1 GeV, respectively.

圖8 (a) 在 ξ =100c/ωp 處不同電子束能量模擬得到的尾波相速度隨時間變化; (b) 在 ξ =300c/ωp 處不同電子束能量模擬得到的尾波相速度隨時間變化Fig.8.(a) Phase velocity as a function of time at ξ =100c/ωp for different electron energy; (b) phase velocity as a function of time at ξ =300c/ωp for different electron energy.

另外, 電子束在尾波中傳播時還受到了一個縱向的電磁力[25]:

而與之相對的, 電子束作為尾波的能量來源, 它每時每刻減少的能量正好與之產(chǎn)生的尾波強(qiáng)度相對應(yīng), 可以得出電磁力F正比于電子束密度nbe, 這也意味著, 電子束的能量耗散速度正比于電子束所攜帶的電荷量.當(dāng)電子束的能量衰退, 其發(fā)射度所引起的膨脹效應(yīng)會超過尾波引起的壓縮效應(yīng), 這個時候, 電子束就會膨脹, 它的密度降低, 從而產(chǎn)生了與上述自聚焦過程相反的現(xiàn)象, 使得相速度有所降低.不過, 假如電子束有著足夠的能量,那么這個過程就會發(fā)生的比較緩慢.另外, 當(dāng)電子束的能量耗盡時, 它會在縱向上變形分裂, 從而產(chǎn)生不穩(wěn)定的相速度, 如圖8(a)和8(b)所示.同理,如果降低電子束的電荷量, 那么也自然可以減緩該過程.

當(dāng)?shù)入x子體尾波中的電場增加到接近于E0時, 由于相對論非線性效應(yīng), 等離子體中尾波的波長就會被拉長[26], 可以近似描述為λP=λp0[1+α(Em/E0)2], 其中λp0為線性理論中的等離子體波長,α是一個參數(shù).假定整個長質(zhì)子束所形成的尾波結(jié)構(gòu)在縱向上包含了N個波長, 那么當(dāng)每一個波長都被拉長一點(diǎn)點(diǎn)時, 對于尾波的相位,特別是距離質(zhì)子束頭部較遠(yuǎn)的位置, 具有極大的影響.一般而言, 無論是質(zhì)子束自調(diào)制還是電子束種子尾波誘導(dǎo)調(diào)制, 它們的尾波大致變化都是先上升后下降的, 而它們產(chǎn)生的尾波所能達(dá)到的最大電場大致在0.4E0—0.7E0.當(dāng)一個位置的電場從E1變化到E2時, 根據(jù)上述λP公式, 它的波長變化及相位變化大約為

所以, 當(dāng)尾波在快速增大時, 該非線性效應(yīng)會使得尾波的相速度發(fā)生巨大的下降, 并且隨著ξ(N)的增大而愈發(fā)明顯; 當(dāng)尾波在快速下降時, 尾波的相速度會快速地上升, 甚至于突破光速, 產(chǎn)生超光速的相速度.然而該過程是非線性效應(yīng), 很難被精確描述, 只能根據(jù)公式定性描述出大致的物理圖像.該機(jī)制在沒有種子電子束尾波存在的質(zhì)子束自調(diào)制過程中也會對尾波相速度的演化起到相當(dāng)重要的作用.

4 質(zhì)子束縱向密度分布對尾波相速度的影響

現(xiàn)今AWAKE實(shí)驗(yàn)[15]中所使用的模型并不是如以上所述的在縱向上完全均勻分布, 而是余弦函數(shù)的半波型, 函數(shù)表述為其 中nbm=0.0056n0為中心密度,σr=1c/ωP, 它是一個縱向密度從0開始上升并最終回到0的這樣一種分布.該實(shí)驗(yàn)利用激光束產(chǎn)生的移動等離子體邊界來對質(zhì)子束產(chǎn)生調(diào)制.在沒有電子束的情況下, 這樣的過程非常不利于質(zhì)子束的自調(diào)制, 因?yàn)椴粌H增長率緩慢,而且極易激發(fā)軟管不穩(wěn)定性[14], 不利于后續(xù)粒子束的加速.而在現(xiàn)有的電子束種子調(diào)制方案[22]中,電子束的引入將使得原本處于激光束前半段的質(zhì)子束也可以運(yùn)用于尾波加速的整個過程, 從而避免不必要的浪費(fèi).在該方案中電子束引入所帶來的變化和上述移動等離子體邊界引起自調(diào)制的過程有很大區(qū)別.

在引入上述的質(zhì)子束分布的情況下, 比較了沒有電子束與引入電子束的情況.在有電子束的模擬中, 電子束的參數(shù)如下: 能量E= 100 MeV,長度ξ1=1.57c/ωp,σre=1c/ωp, 中心密度nbem=0.0056n0, 電子束的空間分布表述為nbe(r,ξ)=即縱向分布為余弦函數(shù)半波型, 橫向分布為高斯分布.

圖9(a)和圖9(b)分別對比了ξ=500c/ωp,ξ=750c/ωp兩個坐標(biāo)下無種子尾波的自調(diào)制與有種子尾波調(diào)制情況下質(zhì)子束尾波相速度隨時間的變化情況.可以明顯地看出有電子束的情況下, 尾波相速度尤其是在模擬后期有了明顯的增加.另外, 由于電子束的電荷量比較低, 在等離子體中的能量衰減速度比不上圖8中100 MeV所對應(yīng)的模擬, 故而圖9中并沒有圖8后期出現(xiàn)的不穩(wěn)定相速度, 這與上一節(jié)所闡述的結(jié)論是一致的.綜上所述, 即便改變了質(zhì)子束的分布, 電子束依然可以提高平均相速度, 之前所得到的結(jié)論在改變質(zhì)子束分布的情況下也依然適用.

圖9 (a) 在 ξ =500c/ωp 處模擬得到的尾波相速度隨時間變化; (b) 在 ξ =750c/ωp 處模擬得到的尾波相速度隨時間變化Fig.9.(a) Phase velocity as a function of time at ξ=500c/ωp ; (b) phase velocity at ξ =750c/ωp.

5 結(jié) 論

本文通過理論分析并利用二維柱坐標(biāo)模擬軟件LCODE研究了電子束的種子尾波對質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度的影響.發(fā)現(xiàn)電子束可以提升整個質(zhì)子束自調(diào)制的增長率, 提升尾波相速度, 并且電子束的電荷量越高, 提升的效果越突出.另外研究還發(fā)現(xiàn), 電子束在質(zhì)子束自調(diào)制過程的前期會通過自聚焦的效應(yīng)提升相速度.電子束的電荷量越高、能量越低則相速度提升愈發(fā)明顯; 通過選取合適的參數(shù), 甚至可以獲得一個超光速的相速度.此外,本文還探討了諸如電子束能量耗散、相對論效應(yīng)引起的等離子體波長拉長等效應(yīng)對相速度的影響, 并在最后比較了不同質(zhì)子束分布情況下相速度的演化, 驗(yàn)證了上述電子束種子尾波對質(zhì)子束自調(diào)制尾波的相速度影響的相關(guān)結(jié)論適用于不同質(zhì)子束密度分布.本研究對于未來的電子束種子自調(diào)制尾波加速方案具有一定的參考價值.

作者感謝俄羅斯Budker核物理研究所Konstantin Lotov教授允許使用他開發(fā)的LCODE程序, 并提供相關(guān)幫助.