李晶瑩

近幾年高考每一年都有對(duì)球的組合體問(wèn)題的考查，重點(diǎn)放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題上.要準(zhǔn)確解答這類問(wèn)題，學(xué)生必須具有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，這對(duì)學(xué)生的能力要求很高。而摸清并總結(jié)出解題的模式和套路，就能幫助學(xué)生遇到類似的題目時(shí)思路清晰，快速找到解題的突破口，從而達(dá)到事半功倍的效果。我們總結(jié)如下：

一般解題思路以及常用到的公式：

（1）求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解。

（2）若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2=a2+b2+c2求解。

（3）研究有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐的外接球，可把該三棱錐補(bǔ)成直三棱柱

（4）正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=a;

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2R=a.

（5）若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R=.

（6）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1

常見(jiàn)題型解題策略：

一、規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題。

1. 球與正方體

如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)，H，G為棱的中點(diǎn)，O為球的球心.常見(jiàn)組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形EFGH和其內(nèi)切圓，則;二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFGH和其外接圓，則;三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形ACA1C1和其外接圓，則.通過(guò)這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。

2.球與長(zhǎng)方體

長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為a，b，c，其體對(duì)角線為l.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑。

3.球與直棱柱

球與一般的直棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多.下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構(gòu)造直角三角形法.設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的高為h底面邊長(zhǎng)為a，如圖所示，D和D1分別為上下底面的中心.根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高DD1的中點(diǎn)O，借助直角三角形AOD的勾股定理，可求。

二、規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題。

1. 球與正四面體

正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系.如圖，設(shè)正四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為a，內(nèi)切球半徑為r，外接球的半徑為R，取AB的中點(diǎn)為D，E為S在底面的射影，連接CD，SD，SE為正四面體的高.在截面三角形SDC，作一個(gè)與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓，即為內(nèi)切球的截面.因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為O.此時(shí)

則有

解得：這個(gè)解法是通過(guò)利用兩心合一的思路，建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心O為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來(lái)極大的方便。

2.球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐

球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問(wèn)題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱錐補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體.常見(jiàn)兩種形式：

一是三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.如圖，三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.設(shè)AA1=a，則.二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.（l為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)）。

綜合上面的幾種類型，解決與球的外切問(wèn)題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作;把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問(wèn)題即可得解.如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解，此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確。