◆摘? 要:2019年版普通高中數(shù)學教科書(A版)在復數(shù)章節(jié)中增加了選學內容“復數(shù)的三角表示”,較好體現(xiàn)了新課標要求的“形成和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)”。為保證高效完成教學任務和切實提高學生的數(shù)學能力,本文對此內容所蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)進行分析,并針對每種核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提出合理的教學建議。
◆關鍵詞:“復數(shù)的三角表示”;數(shù)學核心素養(yǎng)
《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》將復數(shù)的三角表示定位為選學內容,但同時和必修內容一樣為其設置了足夠的課時,并將“復數(shù)的三角表示”小節(jié)的教學目標設置為:通過復數(shù)的幾何意義,了解復數(shù)的三角表示,了解復數(shù)的代數(shù)形式與三角表示之間的關系,了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義。引入復數(shù)的三角表示,把剛學習的平面向量、三角函數(shù)和復數(shù)結合在一起,讓學生深刻體會到幾何與代數(shù)間的緊密聯(lián)系,是提升學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體。
新增“復數(shù)的三角表示”是為了讓學生深入理解復數(shù)的幾何意義,不要僅停留在運算的層面。因此從內容的重要性和教學的可行性出發(fā),建議以必修內容的要求教學復數(shù)的三角表示,盡力做到所有學生都必選且有一定的收獲。由此,本篇文章基于新課標要求的數(shù)學學科核心素養(yǎng),簡要分析復數(shù)三角形式的教學意義。
一、相關研究
為提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng),強調數(shù)形結合思想方法的優(yōu)勢以及將數(shù)學文化融入課堂教學中,張筱瑋和劉印哲以HPM為教學模式,對復數(shù)章節(jié)進行了全新的教學設計。李東迪建議融入數(shù)學文化的復數(shù)三角形式的校本課程應按時開展,讓學生感受到學習過程中理性思維的作用,提升數(shù)學核心素養(yǎng)。賈凌云認為數(shù)學教學活動的核心是培養(yǎng)學生的能力,為訓練學生的思維方法和推理模式,她結合相關公式及高等數(shù)學知識,精心設計了關于復數(shù)的三角形式的教學思路。郝進宏借助平面向量以及三角函數(shù),運用數(shù)學運算的思想方法探究了復數(shù)乘除的幾何意義,讓讀者認識到復數(shù)的本質及其運算規(guī)律。通過查閱相關文獻發(fā)現(xiàn),由于復數(shù)的三角表示是新課標下的新教材中新添加的內容,因此大多數(shù)作者都集中討論了基于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng),如何設計合理的復數(shù)的三角表示的教學方案。這對一線教師進一步開展復數(shù)的教學有很重要的指導意義,能幫助師生更深入把握復數(shù)的三角表示的教學要求,提高學生的數(shù)學思維水平和數(shù)學能力。但已有文獻中并沒有對“復數(shù)的三角表示”中數(shù)學核心素養(yǎng)的蘊含情況做一份詳細的總結,并提出教學過程中提升核心素養(yǎng)的策略。
二、教學意義
提高數(shù)學抽象素養(yǎng)。數(shù)學抽象素養(yǎng)指學生能從數(shù)量和圖形及其關系中抽象出數(shù)學概念及概念間的關系,并用數(shù)學語言予以表征。本節(jié)在探索復數(shù)的三角形式過程中,教師引導學生從熟悉情景(平面向量、三角函數(shù))出發(fā)結合問題驅動,逐步抽象出復數(shù)的三角形式,學生需經(jīng)歷從圖形關系到代數(shù)表征,再到幾何意義的兩個過程。師生一起經(jīng)歷從數(shù)學情景到新概念的生成,提高了學生的學習興趣及學習成就感,也在無形中提升了學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。
提高數(shù)學運算素養(yǎng)。數(shù)學運算素養(yǎng)指在理解運算對象的基礎上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題。復數(shù)屬于代數(shù)領域,是培養(yǎng)學生的運算能力的重要載體,本節(jié)的運算主要包括復數(shù)三角形式與代數(shù)形式的互化及復數(shù)三角形式的乘、除運算。在推導過程中,也運用到許多有關三角函數(shù)及三角恒等變形的知識,因此不論是在新知學習還是習題鞏固中,都蘊含著大量的數(shù)學運算,且教材的例題、習題都注重知識點間的聯(lián)系和應用,注重訓練學生嚴謹?shù)挠嬎惴椒ā?/p>
提高邏輯推理素養(yǎng)。邏輯推理素養(yǎng)指從一些相關定理命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推理出其他命題,是得到數(shù)學結論的重要方式。學生從復數(shù)的幾何表示及三角函數(shù)角度出發(fā),通過一系列嚴謹?shù)耐评磙D化得到復數(shù)的三角形式;根據(jù)復數(shù)的乘法法則及三角恒等變換公式,經(jīng)過論證得到復數(shù)三角形式的乘法法則及幾何意義。過程中,學生從已有知識出發(fā),探索論證思路,并用嚴謹?shù)臄?shù)學語言表述結果,能有效訓練學生邏輯推理的能力和嚴謹?shù)臄?shù)學思維。
提高直觀想象素養(yǎng)。直觀想象素養(yǎng)指建立數(shù)與形的聯(lián)系,建立數(shù)學問題的直觀模型,探索解決問題的思路。復數(shù)的三角形式是代數(shù)與幾何的一次完美結合,無論是探索復數(shù)表示形式還是乘、除運算法則,都能將幾何圖形和代數(shù)關系聯(lián)系在一起。根據(jù)幾何關系得出復數(shù)三角形式,由復數(shù)的乘、除運算的三角表示得到其幾何意義,過程中學生在圖形與代數(shù)間來回穿梭,感受數(shù)形結合的魅力。
三、教學建議
創(chuàng)設合理數(shù)學情景,提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng)。理解復數(shù)的三角形式需要學生從幾何關系抽象出代數(shù)關系,進而由代數(shù)表征抽象出幾何意義。過程中教師要創(chuàng)設合理數(shù)學問題情境,這也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的有效途徑,教師需提前精心設計問題,鼓勵學生積極思考、主動探究,嘗試從向量中抽象出一般規(guī)律并用符號語言精簡表征數(shù)學概念,學生要領悟知識的產(chǎn)生過程及抽象解決問題的方法,切實提升自身的數(shù)學抽象素養(yǎng)。例如:在引入復數(shù)三角形式前向學生拋出問題,“復數(shù)[Z=a+bia,b∈R與平面向量OZ=(a,b)]一一對應,且向量既有大小又有方向,若把它表示在坐標中,復數(shù)的實部與虛部與復數(shù)的模及向量的夾角有什么關系呢?”。
加強運算訓練,提升學生數(shù)學運算素養(yǎng)。數(shù)學運算是貫穿本節(jié)的一條主線,教學時應加強數(shù)學運算的訓練,不斷提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)。教師不僅要著眼于習題訓練,也要向學生落實對基本概念、公式及法則的理解,只有打好基底才能建高樓;其次,除了要熟記基礎公式法則外,教師還要對一些典型的運算問題的方法進行總結歸納,強調蘊含其中的數(shù)學思想方法,讓學生在之后的解題中能自己得出結論,實現(xiàn)知識遷移。
有效建立知識體系,提升學生邏輯推理素養(yǎng)。邏輯推理是學習數(shù)學的重要思維品質,需要學生在已有的完整基礎知識上,有意識的建立新舊知識間的聯(lián)系,演繹推理,得到新舊知識間的邏輯關系。如,在新授課前,教師可幫學生做一個相關的思維導圖,讓學生能自然將復數(shù)和向量、三角函數(shù)聯(lián)系在一起,進而推導出復數(shù)的三角形式。
強調數(shù)形結合,提升學生直觀想象素養(yǎng)。由于復數(shù)的三角形式有明顯數(shù)形結合的特征,因此在教學過程中,教師要提前向學生說明數(shù)形結合思想方法的內涵及思路,讓學生在探究及解題過程中有意識地應用數(shù)形結合方法。解題時仔細觀察、聯(lián)想,挖掘題目中隱含條件,建立圖形與代數(shù)的關系,獲得最佳解法。例如:復數(shù)[Z=a+bia,b∈R與平面向量OZ=(a,b)]一一對應,我們借助向量的大小和方向來表示復數(shù)。從幾何的角度得出“用模來刻畫向量的大小”“以x軸的非負半軸為始邊,以向量[OZ]所在射線(射線OZ)為終邊的角[θ]來刻畫方向”,再利用三角函數(shù)知識,得到復數(shù)三角形式[Z=r(cosθ+isinθ)]。
新課改背景下,本篇文章基于有效提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng),簡要分析復數(shù)三角形式的教學意義及策略,希望教師能認識到此節(jié)內容的重要性,制定合理的教學計劃,讓學生學以致用。本篇文章還未深入探討各個數(shù)學核心素養(yǎng)在教材中的體現(xiàn)情況,之后筆者將對此部分內容進行更加細致的研究。
參考文獻
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[2]張筱瑋,劉印哲.基于核心素養(yǎng)養(yǎng)成教育的“復數(shù)”教學再設計[J].天津師范大學學報(基礎教育版),2021(02):45-48.
[3]李東迪.高中數(shù)學復數(shù)三角形式的校本課程的教學探究[J].新課程,2020(46):126.
[4]賈凌云.復數(shù)三角形式的教學與探究[J].數(shù)理化解題研究,2019(33):17-18.
[5]郝進宏.復數(shù)乘法幾何意義的探究[J].中學生數(shù)學,2019(23):2-3.
作者簡介
和婷英(1997.09—),性別:女;民族:納西族;籍貫:云南省麗江市;學歷:本科;研究方向:學科教學(數(shù)學)。