張敬信 秦蔚瑤 羅志坤

【摘? 要】黑龍江省自2005年進入人口老齡化階段并且人口老齡化趨勢越來越嚴重，由此產(chǎn)生的影響需要全社會為此做出相應的措施。本文搜集黑龍江省1982年～2019年的65歲及以上老年人口數(shù)據(jù)，分別用常規(guī)指數(shù)平滑模型ETS（A，A，N）和基于Bootstrap和Bagging的ETS（A，A，N）模型，對老齡人口變化規(guī)律進行建模，預測黑龍江省未來5年老齡化人口數(shù)，并從提高生育率和減少人口流失兩個視角題出了緩解黑龍江人口老齡化問題的建議。

【關(guān)鍵詞】Bootstrap;Bagging，;時間序列;指數(shù)平滑法;老齡人口

引言

全國第七次人口普查數(shù)據(jù)表明，我國60歲以上人口占人口總數(shù)的13.50%，人口老齡化程度進一步加深。面對我國人口老齡化這一不可逆轉(zhuǎn)的過程，黨和政府高度重視，《“十四五”規(guī)劃綱要》提出，我國要實施積極應對人口老齡化戰(zhàn)略，完善公共服務體系，促進人口長期均衡發(fā)展。近年來，有很多文章研究人口老齡化問題。黑龍江自2005年進入人口老齡化社會，雖晚于全國時間，但老齡化速度非?？?。在此背景下，明確黑龍江人口老齡化趨勢，對政策和計劃的制定具有前瞻性意義。

Bootstrap法也稱為自助重抽樣，其基本思想是：樣本是從總體中隨機抽取的，則包含總體的全部信息，那么不妨就把該樣本視為”總體”，進行多次有放回抽樣生成一系列經(jīng)驗樣本，再對每個經(jīng)驗樣本計算統(tǒng)計量，就可以得到統(tǒng)計量的分布，進而用于統(tǒng)計推斷。可以證明，在初始樣本量足夠大且是從總體中隨機抽取的情況下，自助重抽樣能夠無偏接近總體的分布。

時間序列數(shù)據(jù)可用于預測未來值的數(shù)據(jù)有限，預測精度很受影響。借助Bootstrap法，可以模擬出很多個具有相似分布的時間序列數(shù)據(jù)，分別在各個時間序列數(shù)據(jù)上進行建模并得到多個預測結(jié)果，再將多個預測結(jié)果按集成學習中的Bagging法合成，得到最終預測，將有效地提高時間序列模型的預測準確性。

Bagging也稱為“裝袋法”是機器學習的集成學習的一種常用策略，是用“有放回”抽樣方式（即Bootstrap法）抽取訓練集，對于包含個樣本的訓練集，進行次有放回的隨機抽樣操作，得到樣本子集（有重復）中有接近36.8%的樣本沒有被抽到。按照同樣的方式重復進行，就可以采集到個包含個樣本的數(shù)據(jù)集，從而訓練出個基學習器。最終對這個基學習器的輸出進行結(jié)合，分類問題就采用“多數(shù)決”，回歸問題就采用“取平均”。比如隨機森林就是自助重抽樣若干個子樣本，訓練多棵CART樹，將多個預測結(jié)果做“多數(shù)決/取平均”得到最終預測，模型性能比CART樹有顯著的提升。

本文嘗試將上述Bootstrap和Bagging思想用于時間序列模型。

1.基于Bootstrap和Bagging時間序列模型

經(jīng)典的時間序列模型包括：確定性分解（STL）、指數(shù)平滑法（ETS）、ARIMA。

按Bootstrap法生成多個相似的時間序列數(shù)據(jù)，適合結(jié)合STL法來用。STL法認為時間序列是受不同影響因素共同影響的疊加效果，故非平穩(wěn)時間序列可按下式確定性因素進行分解：

其中，為原始時間序列，為趨勢部分，為季節(jié)部分、為剩余部分。

先對剩余部分進行重洗牌（shuffled）得到自助的剩余序列，因為STL剩余序列中可能存在自相關(guān)性，所以不能使用普通的Bootstrap，而是采用“分塊Bootstrap”，即不是隨機抽樣單個值，而是隨機抽樣時間序列的連續(xù)片段，再合并到一起，這樣就會保持原來的短期依賴結(jié)構(gòu)。這樣得到的Bootstrap剩余序列加上趨勢部分和季節(jié)部分，再做反向變換就得到與原始時間序列相似的模擬序列。

圖1展示了Bootstrap時間序列的一種常用做法分塊Bootstrap，需要說明的是，本文并不是直接對原時間序列，而是對其分解的剩余部分做分塊Bootstrap.

基于Bootstrap法得到的模擬時間序列，一種用途是提高預測準確性。具體來說，是采用Bagging法思想：從每個時間序列生成預測，并對得到的預測求平均，作為最終預測。這與簡單地直接用原始時間序列得到預測相比，可以獲得更好的預測。

每個時間序列預測采用指數(shù)平滑法建模，指數(shù)平滑法包含很多種類，fpp3包中的ETS（）函數(shù)能夠根據(jù)AICc值（小樣本偏差做修正的AIC，評估模型好壞的指標）自動選擇最優(yōu)的指數(shù)平滑模型，對于本文的老齡人口數(shù)據(jù)，選出的最優(yōu)模型是帶加法誤差的Holt線性趨勢模型ETS（A，A，N）：

其中，表示時刻的序列水平，表示時刻的斜率，為平滑系數(shù)，

綜上，基于Bootstrap和Bagging時間序列模型的算法步驟：

（1）用原始時間序列生成個Bootstrap模擬時間序列

（2）對每個模擬時間序列，分別用ETS（A，A，N）模型建模，得到預測

（3）按Bagging法取平均得到最終預測

2.實證分析

本文使用最新4.1.0版本的R語言軟件和專門做時間序列分析的fpp3包（0.4.0）實現(xiàn)。

從《黑龍江統(tǒng)計年鑒》獲取1986-2019年黑龍江省的總?cè)丝诤屠淆g人口數(shù)據(jù)（65歲及以上人口數(shù)），并計算老齡人口占比，繪制點線圖。

由圖2可見，黑龍江省的老齡人口和老齡人口占比基本相似的具有明顯的逐年上升趨勢。2019年黑龍江省老齡人口占比已達到13.75%， 并且沒有放緩的趨勢，老齡化問題是非常嚴峻的。

2.1常規(guī)指數(shù)平滑預測：ETS（A，A，N）模型

先只對原始時間序列自動ETS建模，R代碼：

運行結(jié)果表明，自動選擇ETS（A，A，N）模型，模型的AICc值=270.7287;模型光滑參數(shù)估計值; 初始狀態(tài)值， 預測方差. 帶入（2）式就可以得到該時間序列的預測過程：

2.2基于Bootstrap和Bagging的ETS（A，A，N）模型

先用Bootstrap法生成模擬時間序列。以老齡人口數(shù)據(jù)作為原始時間序列數(shù)據(jù)，用tsibble（）函數(shù)創(chuàng)建為年度時間序列對象，再用model（）+STL（）函數(shù)做STL分解，下面給出其圖形展示（圖3）：

圖3的上子圖是原始時間序列，中子圖是趨勢序列，下子圖是剩余序列。注意，未包含季節(jié)序列，因為原始時間序列沒有周期性。

接下來，用generate（）函數(shù)實現(xiàn)“分塊塊Bootstrap法”生成多個自助抽樣時間序列，需要提供模擬次數(shù)和塊長度，并用new_data參數(shù)傳入原始序列以保持相同時間索引。以塊長度為4生成10個抽樣時間序列為例，可視化模擬效果（圖4）：

黑色曲線是原始時間序列，彩色曲線是模擬的時間序列。本文原始時間序列比較平滑，若原始序列有較多的波動，模擬序列也能很好地模擬相應的波動。

本文采用上述Bootstrap法模擬100個時間序列：

df_stl = model（df， stl = STL（old））? ?# 先做STL分解

set.seed（123）? ? ? ? ? ? ? ? ? ?# 讓抽樣結(jié)果可重現(xiàn)

sim = df_stl %>%

generate（new_data = df， times = 100，

bootstrap_block_size = 4） %>%

select（-.model， -old）

接著對這100個模擬序列分別擬合ETS模型，并預測未來5年老齡人口：

ets_forecasts = sim %>%

model（ets = ETS（.sim）） %>%

forecast（h = 5）

得到的結(jié)果是未來5年每一年都有100個預測值。

根據(jù)Bagging法，對各組100個預測值取平均，得到最終預測：

summarise（ets_forecasts， pre = mean（.mean））

并可視化預測結(jié)果（代碼略）

圖5中藍色線為常規(guī)ETS（A，A，N）模型預測，紅色線為基于Bootstrap和Bagging的ETS（A，A，N）模型預測，藍色陰影區(qū)域為95%和80%置信區(qū)間。兩種預測方法的結(jié)果如表1所示：

3.政策建議

通過對黑龍江省老齡化人口進行實證分析，構(gòu)建常規(guī)指數(shù)平滑模型ETS（A，A，N）和基于Bootstrap和Bagging的ETS（A，A，N）模型預測未來5年黑龍江人口老齡化趨勢，預測結(jié)果表明：未來5年，黑龍江人口老齡化程度將進一步加深，65歲老年人口數(shù)將持續(xù)穩(wěn)定上升。

基于此，結(jié)合我國基本國情和黑龍江省具體情況，本文提出以下建議：

（1）適度提高生育率，避免產(chǎn)生勞動力短缺。人口老齡化不斷加深會造成勞動力供給不足，而適當提高生育水平有助于緩解這一局面。我國已實行“放開二孩”

政策，據(jù)此進一步增強政策包容性，推動生育政策與經(jīng)濟社會銜接，可促進政策潛力的釋放，改善人口結(jié)構(gòu)，消除人口老齡化帶來的負面影響。

（2）充分發(fā)揮本地人力資本，避免人口流失。黑龍江省經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境使得人才逐漸流失，適齡勞動力的流失和老年勞動資源的不足，又進一步阻礙了黑龍江省的經(jīng)濟發(fā)展。因此，一方面可借鑒發(fā)達國家經(jīng)驗，實行彈性退休機制，鼓勵退休老人再就業(yè)，有效利用老年人力資本;另一方面制定符合本省的人才福利政策，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，吸引人才回流，充分發(fā)揮人力資本對經(jīng)濟增長的促進作用。（通訊作者：張敬信）

參考文獻

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基金項目：黑龍江省哲學社科青年項目：全面二孩政策對黑龍江省人口的影響及對策研究，項目編號：17TJC134

作者簡介：

通訊作者：張敬信（1982-），男，河北保定人，哈爾濱商業(yè)大學基礎科學學院副教授，基礎數(shù)學博士，研究方向為數(shù)學模型、數(shù)據(jù)挖掘、人口就業(yè)等。

秦蔚瑤（1998-），女，漢族，山西晉城人，研究生，應用統(tǒng)計碩士，研究方向為應用統(tǒng)計。

羅志坤（1984-），男，河南周口人，哈爾濱商業(yè)大學基礎科學學院講師，基礎數(shù)學博士，研究方向為數(shù)學模型、商業(yè)經(jīng)濟等。