程?？?章建躍

(1.河北師范大學數(shù)學科學學院050024；2.人民教育出版社 課程教材研究所100081)

概率課程承擔的主要育人任務是培養(yǎng)學生分析隨機現(xiàn)象的能力.通過對隨機現(xiàn)象(主要是古典概型)的分析，在構建研究隨機現(xiàn)象的路徑、抽象概率的研究對象、建立概率的基本概念、發(fā)現(xiàn)和提出概率的性質(zhì)、探索和形成研究具體隨機現(xiàn)象的思路和方法、應用概率知識解決實際問題的過程中，幫助學生逐步形成認識隨機現(xiàn)象的思維模式，促使學生學會辯證地思考問題，提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理以及數(shù)學運算素養(yǎng).

1 課程定位

課程標準指出，本單元學習可以幫助學生結(jié)合具體實例，理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件等概念；通過計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現(xiàn)象的認識和理解；通過解決一些簡單的實際問題，提升數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算素養(yǎng).

課程標準首次引入樣本點和有限樣本空間的概念，為用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象和隨機事件提供了工具.課程標準提出，本單元主要研究有限個可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象，強調(diào)應通過古典概型，引導學生認識樣本空間，理解隨機事件發(fā)生的含義以及概率的意義.

2 課程標準提出的內(nèi)容與要求

2.1 隨機事件與概率

(1)結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.

(2)結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.

(3)通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則.

(4)結(jié)合實例，會用頻率估計概率.

2.2 隨機事件的獨立性

結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義.結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率.

課程標準提出的上述內(nèi)容和要求，實際上也給出了研究概率的基本路徑：

首先，通過具體實例抽象出樣本點、樣本空間的概念，并將樣本空間的子集定義為隨機事件，再利用集合的關系和運算研究事件的關系和運算，從而為概率的定義準備好數(shù)學工具.

然后，按照“概率的事實(隨機現(xiàn)象)——古典概型的特征、定義及計算——概率的基本性質(zhì)——頻率的穩(wěn)定性、隨機模擬——事件的特殊關系(獨立性)、利用獨立性簡化概率計算”的路徑展開對概率的研究.

3 本單元的認知基礎分析

概率的研究對象是隨機現(xiàn)象，這對學生來說比較陌生，但概率的結(jié)論是確定的，所以，研究確定性現(xiàn)象的一般方法同樣適用于概率的研究.例如，類比研究函數(shù)的一般路徑，可以構建研究本單元的整體架構.

另外，等可能條件下求隨機事件的概率、頻率估計概率等知識，學生在初中已有初步認識.集合的概念與集合的關系和運算，為描述隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型——樣本空間、隨機事件、事件的關系和運算提供了必要的認知基礎.

4 核心內(nèi)容的理解與教學思考

本單元的核心內(nèi)容包括：預備知識、古典概型、概率的基本性質(zhì)、事件的獨立性、頻率與概率的關系.下面從內(nèi)容本質(zhì)的分析入手討論這些內(nèi)容的育人價值以及教學中需要注意的問題.

4.1 預備知識

4.1.1 隨機現(xiàn)象、樣本點、有限樣本空間的概念抽象

隨機現(xiàn)象是指在一定條件下不能事先預知結(jié)果，一次觀測結(jié)果的發(fā)生具有隨機性，大量重復觀測下各個結(jié)果發(fā)生的頻率都具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象.

面對隨機現(xiàn)象，我們首先通過觀察隨機現(xiàn)象(隨機試驗)的所有可能結(jié)果，并用適當?shù)姆柋硎窘Y(jié)果；再將所有可能結(jié)果看成一個集合，從而構建起試驗的樣本空間；然后根據(jù)隨機事件發(fā)生的意義，定義隨機事件是樣本空間的子集.

樣本點是隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點的集合.樣本點的概念是描述性的，在具體的隨機試驗中，如何確定樣本點，遵循的原則是：(1)樣本點不能再細分；(2)如果是古典概型問題，則要保證各樣本點是等可能發(fā)生的，便于確定事件的概率.

例如，拋擲一對骰子，看成有6×6=36個樣本點，每個樣本點用有序數(shù)對表示，建立樣本空間Ω={(m,n)|m,n=1,2,3,4,5,6}，在這個樣本空間中，所有的事件的概率都可以確定.如果要求“兩個點數(shù)之和為5”的概率，把“點數(shù)之和為k”(k=2,3,…,12)看成樣本點，樣本空間為Ω={2，…，12}，這對確定事件的概率沒有任何作用.

對隨機試驗，用適當?shù)姆柋硎驹囼灥臉颖军c、列舉樣本空間，既是重點也是難點.不同的隨機試驗，樣本空間的復雜性有很大的差別.在教學中應從最簡單的試驗開始(例如，拋擲一枚硬幣，拋擲一枚骰子，拋擲兩枚硬幣等等)，引導學生經(jīng)歷用語言描述試驗的基本結(jié)果，并用符號表示，進而思考更簡潔的表示等過程，同時要提醒學生考慮等可能性.

例如，列舉“拋擲兩枚硬幣”試驗的樣本空間.

語言描述：兩個正面朝上，兩個反面朝上，一個正面朝上一個反面朝上，但這3個結(jié)果不是等可能的.借助樹狀圖，容易看出只有看成4個樣本點時，才是等可能的.

字母表示：用h表示正面朝上，用t表示反面朝上，樣本空間包含4個等可能的樣本點：tt,th,ht,hh.

數(shù)對(串)表示：用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，樣本空間包含4個數(shù)對或數(shù)字串Ω={00,01,10,11}.

把簡單的問題看透了，對于較復雜的試驗，按模型歸類，就可以化復雜為簡單.例如：

擲一枚硬幣，觀察新生兒性別，射擊命中與否，產(chǎn)品抽樣檢驗是正品還是次品等，這些試驗的樣本空間具有相同的結(jié)構；

拋擲3枚硬幣，拋擲3次骰子，觀察三個元件構成電路是否通暢等，都是3次重復試驗的問題，類似的可以得出n次重復試驗的模型.

相同結(jié)構的樣本空間要關注樣本點是否等可能.

重復擲硬幣、擲骰子、生日問題、放球入盒問題、兩人比賽問題都可以化為有放回摸球問題；抽簽問題、隨機抽樣問題等都可以化為不放回摸球問題.

這里還可以引導學生進一步思考：對有兩個可能結(jié)果的試驗，為什么選擇用“0”和“1”表示？

對于只有兩個可能結(jié)果的試驗(伯努利試驗)，選擇任意兩個不同的字母或數(shù)字都可以描述試驗的結(jié)果，但采用0和1表示試驗的結(jié)果不僅僅是追求簡潔，而且有其實際意義，會給后續(xù)研究帶來極大的方便.

4.1.2 隨機事件概念的抽象

初中的概率中將隨機事件描述為“在一定的條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情”，有了樣本空間的概念后，隨機事件可以用樣本空間的子集表示.從語言描述到樣本空間的子集表示，思維跳躍很大，抽象度高.如何使學生理解“隨機事件”的數(shù)學描述？關鍵是結(jié)合簡單的隨機試驗，理解事件發(fā)生的含義是什么.例如，擲一枚骰子，事件“擲出的點數(shù)為奇數(shù)”發(fā)生的意義是什么？彩票搖獎，事件“搖出的球的號碼是3的倍數(shù)”發(fā)生的意義是什么？通過歸納，使學生認識到事件的發(fā)生當且僅當滿足某種條件的樣本點出現(xiàn)，所以事件可用樣本空間的子集表示.

事件A是樣本空間的子集，事件A發(fā)生當且僅當A中的某個樣本點出現(xiàn).這對理解空集是不可能事件，Ω是必然事件，以及理解事件的關系和運算的意義至關重要.

4.1.3 事件的關系與運算的意義

事件是樣本空間的子集，類比集合的關系和運算，可以發(fā)現(xiàn)和提出研究事件的關系和運算的問題.這里要以簡單的隨機試驗為例，由特殊到一般給出事件之間的包含、互斥、互相對立的含義，以及事件的并、交運算的含義.還可以從集合論角度，根據(jù)事件發(fā)生的意義來認識.

例如，兩個事件的并事件的意義：兩個事件A和B的并集A∪B仍然是Ω的子集，它是隨機事件.A∪B發(fā)生當且僅當A發(fā)生或B發(fā)生，或者說A和B至少一個發(fā)生.

用簡單事件的運算表示復雜事件，是概率學習的一個難點，采用不同的語言轉(zhuǎn)換，通過多種不同的方法，可有效地突破這一難點.

例1設計考察 “兩個元件組成的并聯(lián)電路的工作狀態(tài)”的簡單問題情境，抽象出樣本點、樣本空間，并研究事件的關系及運算.這個問題情境簡單但內(nèi)涵豐富，可以讓學生思考很多問題，例如：

(1)“電路的工作狀態(tài)”的含義是什么？

(2)如何表示這一隨機試驗的樣本點？樣本空間含有哪些樣本點？

(3)如何用不同的語言表述基本事件？

(5)如何從基本事件出發(fā)構建隨機事件？如何用集合的關系表示所列事件的關系？如何用事件的運算得到新的事件？等等.

例2設A，B是兩個事件，如圖1所示，如果A，B將樣本空間分割為四部分，則

圖1

(2)“A和B同時發(fā)生”=AB；

由此得

(1)根據(jù)事件的關系與運算的意義理解.事件A和B至少一個發(fā)生的對立事件為兩個事件都不發(fā)生.

(2)結(jié)合并聯(lián)(串聯(lián))電路(圖2)是否是通路來認識.

圖2

“電路是通路”與“電路不通”是互為對立事件.

(3)借助Venn圖理解(參見例2).

(4)通過兩個集合互相包含進行嚴格證明(不要求).

4.2 概率的古典定義

4.2.1 概率定義的嚴謹化過程

4.2.2 概率的定義

對于有限樣本空間，概率的公理化結(jié)構為：設隨機試驗E的樣本空間為Ω，隨機事件是樣本空間的子集，所有事件構成的集類F稱為事件域，定義在事件域F上的“集合函數(shù)”P稱為概率，如果滿足如下三個條件：

①非負性：P(A)≥0;

②規(guī)范性：P(Ω)=1；

③可加性：如果A，B∈F，且A∩B=?，則P(A∪B)=P(A)+P(B).

對每個事件A按照某種規(guī)則賦予一個實數(shù)P(A)，滿足①②③，稱P(A)為A的概率.

在公理化定義中，把①②③作為公理，概率的其他性質(zhì)均由這三條公理推出.

概率的公理化定義是高度抽象的，這對深刻理解問題本質(zhì)是重要的，但它是以舍棄直觀為代價的.因為在高中階段不要求學生了解概率的公理化定義，所以教科書以日常生活中對隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的定性陳述為基礎，結(jié)合所有樣本點的等可能性特點，給出古典概率定義：

設隨機試驗E有n個可能結(jié)果，且它們是等可能發(fā)生的，樣本空間Ω包含n個等可能的樣本點.如果事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率為

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).

這是基于經(jīng)驗的數(shù)學抽象.抽象試驗的關鍵特征，建立概率的理論模型，計算隨機事件的概率，是概率的重要研究方法之一，其重點是理解定義的合理性，只有滿足所有樣本點都是等可能發(fā)生這一條件，才能定義古典概型中隨機事件發(fā)生的概率.這個定義既給出了概率的算法(對應規(guī)則)，也符合概率的公理化定義的要求.

4.2.3 用古典概型解決問題中要注意的問題

在解決具體問題時，判斷樣本點是否等可能發(fā)生是難點.可以從以下兩個方面考慮：

(1)根據(jù)問題表述中所含的信息進行判斷.例如，拋擲“質(zhì)地均勻”的硬幣，拋擲一枚“質(zhì)地均勻”的骰子，從n個“大小質(zhì)地完全相同”的球中隨機摸出一個球等，這樣的表述本身就暗含了基本結(jié)果的等可能性.

(2)對有些試驗，為建立理論模型，等可能性是一種假定.例如，假定生男孩和生女孩是等可能的；隨機調(diào)查一個人的出生月份，假定出生在每個月份是等可能的.

對于兩次或多次重復試驗，利用二維表或樹狀圖表示試驗的所有結(jié)果，也有利于對樣本點等可能性的判斷.對于“等可能性”，教學中必須給予足夠的重視，要通過具體實例加強辨析.

因為古典概型是最簡單的概率模型，便于解釋相關概念，有利于學生體會概率的意義，為研究概率的基本性質(zhì)提供了一個具體的案例支撐，建立事件的獨立性、條件概率等重要概念，也都是以古典概型為背景的，所以教學中一定要注意發(fā)揮古典概型的直觀示例作用，引導學生借助古典概型，從特殊到一般地理解概率的概念，得出概率的非負性、規(guī)范性、可加性、單調(diào)性、加法公式等性質(zhì)，理解事件的獨立性、條件概率等重要概念等等.

4.3 概率的基本性質(zhì)

給出了一個數(shù)學對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個數(shù)學對象的性質(zhì).例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問題時可以發(fā)揮很大的作用.因此，在給出了概率的定義后，就要進一步地研究概率的基本性質(zhì).

4.3.1 從哪些角度研究概率的性質(zhì)

我們可以從以下角度進行思考：

(1)基于直觀經(jīng)驗.例如，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，取值范圍為[0,1]等.

(2)類比函數(shù)的性質(zhì).因為概率是一個映射，是自變量為集合的一種“集函數(shù)”，所以可以類比函數(shù)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)和提出概率的性質(zhì).例如，類比函數(shù)的值域、特殊值、單調(diào)性等，可以從概率的取值范圍，必然事件、不可能事件等特殊事件的概率，概率的單調(diào)性等角度研究概率的性質(zhì).

(3)類比度量性質(zhì).因為概率是對事件發(fā)生可能性大小的一種度量，所以可以通過類比幾何的度量性質(zhì)提出問題，例如類比幾何度量的可加性研究概率的可加性.

4.3.2 用什么方法研究概率的性質(zhì)

可采用歸納推理和演繹推理相結(jié)合的方法研究性質(zhì).例如：具有某種特定關系的兩個事件的概率一定具有確定的關系.下面以互斥事件為例進行說明.

(1)設A，B是兩個互斥事件，通過具體實例容易發(fā)現(xiàn)n(A∪B)=n(A)+n(B)，這是因為事件A和事件B不含有相同的樣本點.根據(jù)定義，可以推出

P(A∪B)=P(A)+P(B)，

這就是互斥事件的概率加法公式，這是一條非常有用的概率性質(zhì).

(2)進一步地，將加法公式推廣到一般情形也成立，即

如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)

=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

(3)再進行特殊化，當A∪B=Ω，即當事件A和事件B互斥時，有1=P(A∪B)=P(A)+P(B).于是又有：

如果事件A與B互為對立事件，則P(B)=1-P(A),或P(A)=1-P(B).

(4)我們還可以利用對立事件將事件“分解”為互斥事件，再利用互斥事件的概率性質(zhì)進行概率計算：

總之，從概率的定義出發(fā)，類比函數(shù)的性質(zhì)、度量的性質(zhì)，以及聯(lián)系事件的關系和運算，可以獲得概率的性質(zhì)的研究思路，找到探索概率性質(zhì)的方法.只要我們在教學中加強引導，學生就一定能通過獨立思考、自主探究，得出概率的這些性質(zhì).

4.4 事件的獨立性

事件的獨立性，試驗的獨立性，隨機變量的獨立性，這些都是概率論的重要概念，具有重要的作用.高中階段主要討論兩個事件的獨立性.

兩個事件獨立的直觀意義為：無論其中一個事件發(fā)生與否都不影響另一個事件發(fā)生的概率.理論上，獨立性與條件概率有密切聯(lián)系，但課程標準將隨機事件的獨立性放在必修，而將條件概率安排在選擇性必修，這就意味著要不借助于條件概率理解隨機事件的獨立性.如何落實課程標準提出的“結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義”的要求呢？

4.4.1 兩個事件獨立性的教科書設計

人教A版對兩個事件獨立性概念設計了如下路徑：

第一步，分析有放回和不放回摸球試驗，直觀認識事件獨立性的意義；

第二步，通過計算相關概率，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

第三步，抽象概括事件獨立性的定義，進行概念的辨析；

第四步，結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率.

下面舉一個例子：

袋子中有3個紅球(標號為1, 2, 3)2個白球(標號為4, 5), 從中隨機摸球2次.設事件A=“第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”.

(1)直觀判斷：有放回方式摸球，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，A和B獨立；不放回方式摸球，事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率，A和B不獨立.

(2)兩種摸球方式下分別計算P(A),P(B)和P(AB)，它們之間有怎樣的關系？

=P(A)P(B)；

=P(A)P(B).

(3)從特殊到一般，抽象出兩個事件獨立性的概念：

對于同一個試驗中的兩個隨機事件A和B，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱A和B相互獨立，簡稱獨立.

為了概念的完備性，我們還需要討論一些特殊情形.直觀上，必然事件總會發(fā)生，它不影響任何事件發(fā)生的概率，所以必然事件和任意事件相互獨立，從定義驗證也正確. 同樣地，不可能事件和任意事件獨立.

(4)概念的辨析：事件的互斥與事件的獨立的關系.

不同于事件的互斥、互相對立，兩個事件的獨立性要借助于概率來定義.兩個事件互斥，是指它們不能同時發(fā)生，當事件A和事件B的概率都大于0時，如果已知事件A發(fā)生，那么事件B一定不發(fā)生，所以A和B不可能獨立；反之，如果A和B不獨立，那么積事件的概率不為0，所以A和B不互斥.只有當其中一個事件為不可能事件時，兩個事件才能既互斥又獨立.

4.4.2 獨立性概念的拓展

后續(xù)的概率學習會用到三個或以上事件的獨立性、兩個或多個試驗的獨立性、兩個分類變量的獨立性.在高中，不要求對這些概念進行嚴格定義，只要求會直觀描述和進行判斷即可.那么，該如何描述呢？

對于三個事件相互獨立的定義，自然想到如下兩種方式：

方式一：對任意的三個事件A,B,C，如果

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

(1)

成立，則稱事件A,B,C相互獨立.

方式二：如果事件A,B,C兩兩獨立，則三個事件A,B,C相互獨立.

從直觀意義看，如果三個事件A,B,C相互獨立，它們應該兩兩獨立，即有

(2)

但是我們可以舉出(2)式成立但(1)式不成立的反例，也可以舉出(1)式成立但(2)式不成立的反例.通過上面的分析，看來這兩種定義的方式都不合理.實際上，將方式一和方式二相結(jié)合，可以得到三個事件相互獨立的定義：對任意的三個事件A,B,C，如果(1)式和(2)式同時成立，則稱事件A,B,C相互獨立.

定義3個事件的獨立需要4個等式同時成立，直接推廣，定義n個事件獨立需要2n-n-1個等式同時成立.

隨機試驗的獨立性直觀描述為各次試驗的結(jié)果之間互相不受影響；兩個隨機變量的獨立性直觀描述為其中一個變量取任何值都不影響另一個變量的分布.

4.5 頻率穩(wěn)定到概率的教學

4.5.1 頻率穩(wěn)定性的地位與作用

頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎，在概率論中具有重要的地位和作用.具體表現(xiàn)在：

(1)由頻率的穩(wěn)定性表明，事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，是可以度量的；

(2)大量隨機事件的概率是用頻率來估計的；

(3)只有理解了頻率與概率的關系，才能更好地理解概率的意義；

(4)在概率的研究中，我們可以通過重復試驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而建立理論模型，也可以用頻率來驗證理論模型是否合理；

(5)樣本均值與隨機變量的期望之間的關系，正態(tài)分布模型的建立，獨立性假設檢驗，都是以頻率的穩(wěn)定性為理論依據(jù).

4.5.2 頻率穩(wěn)定性的教學

通過初中的學習，學生對頻率穩(wěn)定到概率已有粗淺的認識.對頻率的穩(wěn)定性，直觀描述有一定的難度，而嚴格的數(shù)學表達是大數(shù)定律的內(nèi)容，又超出了高中生的認知水平.那么應該采用什么教學策略使學生能夠有進一步較深刻的理解呢？下面給出一種教學設計的思路：

第一步，設計一個學生能操作的隨機試驗(例如擲兩枚硬幣的試驗)，先讓學生根據(jù)古典概型求事件A的概率；

第二步，每位同學獨立做相同次數(shù)的試驗，得出相應的頻率，再讓學生進行比較，發(fā)現(xiàn)試驗次數(shù)相同但頻率不同，從中感受頻率的隨機性；

第三步，逐步將試驗結(jié)果按2人一組、4人一組……進行合并，相當于增加試驗次數(shù)，在合并的過程中讓學生比較頻率的波動情況，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律；

第四步，利用計算機模擬試驗，通過數(shù)據(jù)分析、直觀表示及觀察，引導學生進一步驗證自己的發(fā)現(xiàn).

通過以上教學，要使學生認識到：

(1)頻率具有隨機性，即使相同次數(shù)的試驗，頻率未必完全相同；

(2)頻率圍繞著概率波動；

(3)試驗次數(shù)增大時，頻率波動的幅度減小.

在學生對頻率與概率的關系有了基本理解后，再通過解決實際問題，并利用計算機模擬復雜試驗，從中體會試驗次數(shù)對估計精度的影響，理解用頻率估計概率的合理性.

例在一次奧運會男子羽毛球比賽中，甲、乙兩名運動員進行決賽.根據(jù)以往的比賽記錄，發(fā)現(xiàn)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.試利用計算機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率.

(1)簡化試驗：羽毛球比賽的規(guī)則是3局2勝制.甲獲得冠軍的可能結(jié)果是甲先勝2局，或者前2局1∶1平，第3局甲勝.為了便于計算機模擬試驗，設事件B表示“甲獲得冠軍”，則P(B)與打滿3局，甲勝2局或3局的概率相同(先認可結(jié)論).

(2)利用隨機函數(shù)模擬一局比賽的結(jié)果.

單局比賽甲獲勝的概率為0.6，利用隨機函數(shù)產(chǎn)生1—5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)奇數(shù)時表示甲勝.在A1, B1, C1單元格鍵入=RANDBETWEEN(1, 5)，得到一組3個隨機數(shù).如果這組有2個或3個奇數(shù)時，表示事件B發(fā)生，即甲獲得冠軍.

(3)利用Excel中的函數(shù)自動計算重復多次試驗時事件B發(fā)生的次數(shù)以及頻率.

函數(shù)=MOD(n,2)輸出的結(jié)果為n被2除的余數(shù)，n是奇數(shù)時輸出為1，n是偶數(shù)輸出結(jié)果為0.經(jīng)過變換后，單局比賽中，“1”表示甲獲勝，“0”表示乙獲勝.將變換后的3個數(shù)求和，和大于或等于2，表示事件B發(fā)生.

(4)重復模擬試驗，繪制頻率折線圖.

將次數(shù)為300的模擬試驗，重復做10次，事件B的頻率折線圖如圖3所示：

圖3

P(B)的精確值為0.648.由圖3看出：試驗次數(shù)為300時，頻率在0.65附近波動，與概率的誤差大約為0.02.通過多次模擬試驗，可使學生體會模擬試驗的快速高效，并感悟頻率估計概率的誤差大小.

5 教學建議

5.1 根據(jù)概率的特點，選擇合適的類比對象，建立研究概率的整體架構

前已指出，雖然概率的研究對象是隨機現(xiàn)象，但研究確定性數(shù)學的一般方法仍然適用于概率.根據(jù)概率的定義，設一個隨機試驗的樣本空間為Ω，對于每個事件A?Ω，都有唯一確定的實數(shù)P(A)∈[0，1]與之對應.這說明，概率是建立在樣本空間全體子集所成集合到集合{x|0≤x≤1}的一個映射.函數(shù)也是一個映射，所以，類比函數(shù)的研究路徑構建概率的研究架構，是一條可供選擇的思路.事實上，人教A版構建的結(jié)構體系，即

隨機現(xiàn)象的數(shù)學刻畫：樣本點、樣本空間——隨機事件——隨機事件的關系和運算；

概率：古典概型的特征、定義及計算——概率的基本性質(zhì)——頻率的穩(wěn)定性、隨機模擬——事件的特殊關系(獨立性)、利用獨立性簡化概率計算——條件概率、全概率公式、貝葉斯公式——……

與函數(shù)的研究路徑，即

預備知識：集合(概念、關系、運算)、常用邏輯用語、不等式；

函數(shù)：函數(shù)的背景——函數(shù)的概念(定義、表示)——函數(shù)的性質(zhì)——基本初等函數(shù)——……

頗為相似.在具體的研究內(nèi)容上也可進行一定的類比，例如：

函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)概率P(A)的性質(zhì)(1)定義域:x的取值范圍I.(1)事件A的“取值范圍”,A是樣本空間Ω的子集,A中元素取自Ω.(2)值域:f(x)的取值范圍.(2)P(A)的取值范圍:0≤P(A)≤1.(3)特殊點的取值:如對于y=ax,(a>0,a≠1),a0=1.(3)特殊事件的概率:①P(?)=0;②P(Ω)=1;③設Ωi為基本事件,并且P(Ωi)=pi,i=1,2,…,n,那么p1+p2+…+pn=1.(4)單調(diào)性:任意x1,x2∈D,當x1f(x2) ).(4)單調(diào)性:如果A?B,那么P(A)≤P(B).

在教學中我們可以引導學生通過類比函數(shù)的研究得到研究概率的一些思路和啟發(fā).不過，畢竟函數(shù)的研究對象是確定性現(xiàn)象，而概率的研究對象是隨機現(xiàn)象，所以概率有自己獨特的研究內(nèi)容，像頻率與概率的關系、各種概率計算問題等等，都是概率中特有的重要內(nèi)容.

5.2 通過典型、豐富的具體實例，引導學生認識隨機現(xiàn)象

對于隨機現(xiàn)象，每個結(jié)果的發(fā)生都具有偶然性，但是在大量重復觀測下又呈現(xiàn)出必然規(guī)律.在學生的數(shù)學學習經(jīng)歷中，以往接觸的問題主要是確定性現(xiàn)象，很少有意識地思考隨機現(xiàn)象的特點，又由于概率內(nèi)容自身的特點，例如，①概念非常抽象，②對隨機性的不同理解會導致不同的結(jié)果，③利用概率進行一次決策，合理的決策未必一定得到好的結(jié)果等等，所以對大多數(shù)學生而言，“隨機性”是一個難于把握的概念.

認知心理學的研究表明，對于抽象內(nèi)容的理解，必須得到具體例子的支持.所以，概率的教學自始至終都要注意結(jié)合實例來展開.教學中應通過豐富的、典型的隨機現(xiàn)象實例，引導學生分析歸納隨機現(xiàn)象的特征，同時鼓勵學生提出有價值的概率問題.具體教學中，可以引導學生分類列舉隨機現(xiàn)象.例如，游戲中的隨機現(xiàn)象(拋擲硬幣、拋擲骰子、抽取撲克牌、電腦游戲)，生活中的隨機現(xiàn)象(彩票、出生月份、摸球抽簽、上學遲到等)，實際應用中的隨機現(xiàn)象(隨機抽樣、保險問題、投資理財?shù)?.

要注意避免人為虛構、脫離概率本質(zhì)的情境，情境也不宜過于復雜，更不能將生活常識、數(shù)學定理、成語俗語等當成事件.例如，下列例子用于隨機事件、必然事件、不可能事件的教學是不合適的：

(1)太陽從西方升起(不可能事件)；

(2)在標準大氣壓下，將水加熱到100℃，水就沸騰(必然事件)；

(3)|x-3|<1的解集是{x|2

(4)一分耕耘一分收獲(隨機事件)；

……

這些例子，或者不是“不確定性現(xiàn)象”，或者不是概率所能定量描述的不確定性現(xiàn)象.

5.3 重視核心概念“隨機事件”的數(shù)學抽象

“隨機事件”是概率論的核心概念之一，如果理解不深刻，將影響整個概率的學習.而引入樣本點、有限樣本空間概念，再用樣本空間的子集表示隨機事件，這是隨機現(xiàn)象數(shù)學化的關鍵一步，教學中必須給予重視.

教學中，要注意利用典型例子，以“隨機現(xiàn)象數(shù)學化”為導向，以“不同語言的相互轉(zhuǎn)化”為手段，針對隨機現(xiàn)象的特征、樣本點、樣本空間、隨機事件及其關系等提出問題，并要讓學生自己提出問題.這樣的訓練是基礎性的，對于認識和理解隨機現(xiàn)象有重要意義，不能匆匆而過.

例如，并不是任意的不確定性現(xiàn)象都能成為概率的研究對象，高中的概率課程中研究的是具有“有限性”、“隨機性”、“穩(wěn)定性”等特征的隨機現(xiàn)象.對這些特征的感悟就不是一件容易的事情，教學中應通過具體實例讓學生進行分析、表述.

又如，隨機現(xiàn)象一般是現(xiàn)實情境化的，例如拋擲一枚硬幣、拋擲一個骰子、購買一次“七星彩”彩票、從裝有顏色分別為紅黃白的三個球(除顏色外沒有其他區(qū)別)的袋子中隨意摸出一個球等等，將它們“數(shù)學化”得出樣本空間，學生比較習慣的是用自然語言，例如Ω={正面朝上，反面朝上}，Ω={紅，黃，白}，等等.教學中要有意識地引導學生用符號語言表達.例如：

如圖4，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.如果用自然語言表達，那么會非常繁瑣；如果引入符號語言，則會非常簡潔：

圖4

分別用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，分別用1和0表示“正常”、“失效”狀態(tài)，則樣本空間為

Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.

由此，就可以用集合表示與這個背景相關的任意一個隨機事件，例如：

M=“恰好兩個元件正常”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，且x1,x2,x3中恰有兩個為1.所以

M={(1,1,0),(1,0,1)，(0,1,1)}；

N=“電路是通路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=1，且x2,x3中至少有一個是1.所以

N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}；

T=“電路是短路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,x2=x3=0.所以

T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

(0,1,1),(1,0,0)}.

加強用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象的教學，對于促進學生理解樣本點和樣本空間的含義、隨機事件和樣本點的關系、隨機事件的發(fā)生、隨機事件的關系和運算等等都是非常有用的.事實上，除了用符號(字母、數(shù)字或數(shù)對)表示試驗結(jié)果，抽象出樣本點、樣本空間，由事件發(fā)生的意義抽象出“隨機事件”是樣本空間的子集之外，本單元有許多培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的契機，例如：抽象概括隨機試驗的本質(zhì)特征，建立各種概率模型；借助樹狀圖表示試驗的所有可能結(jié)果，判斷樣本點的等可能性；從兩個事件的發(fā)生互相不影響中抽象出事件的獨立性；等等.

5.4 引導學生根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展過程自然而然地提出問題

學生在學習確定性數(shù)學的時候，因為有長期的經(jīng)驗積累，所以在面對一個新的數(shù)學對象時，對如何發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題，還能做到“心中有數(shù)”，但在概率的學習中，因為已有經(jīng)驗不足，他們往往不知道該如何入手、從哪些角度去思考問題.因此，教學中應加強引導，幫助學生運用類比、歸納、一般化、特殊化等推理方法，逐步領悟概率的研究內(nèi)容和方法.我們可以根據(jù)概率的必修課程內(nèi)容，循著人教A版構建的整體架構，循序漸進地提出一些問題：

(1)概率論是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學分支，概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量.什么叫隨機現(xiàn)象？隨機現(xiàn)象的數(shù)學特征是什么？

(2)什么叫樣本空間？人們說，利用樣本空間定義隨機事件真正實現(xiàn)了隨機現(xiàn)象的數(shù)學化，對此你有什么認識？由“隨機事件是樣本空間的子集”你能提出哪些值得研究的問題？

(3)古典概型的研究對象有怎樣的特征？概率的古典定義是什么？有人說“概率是客觀存在的，雖然隨機事件發(fā)生的概率是未知的，但它本身是不變的”，你能利用古典概型對此作出解釋嗎？

(4)求解古典概型問題的一般思路是怎樣的？

(5)類比確定性數(shù)學的研究，在給出概率的定義后，應該研究它的基本性質(zhì).你認為可以從哪些角度研究概率的性質(zhì)？

(6)具有某種特殊關系的事件，它們的概率一定有特定的關系，例如互斥事件、對立事件的概率有特定關系，事件A∪B的概率可以通過事件A，B的概率進行計算.同樣的，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A，B發(fā)生的概率有關.那么，這種關系會是怎樣的呢？

(7)如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件也相互獨立嗎？

(8)對于樣本點等可能的試驗，我們可以用古典概型公式計算有關事件的概率.現(xiàn)實中，很多試驗的樣本點往往不是等可能的或者等可能性不容易判斷，這時該怎么辦？

(9)概率與頻率之間是一種怎樣的關系？如何理解“頻率的穩(wěn)定性”？是不是試驗的次數(shù)越多，頻率就越接近概率？

5.5 要加強“統(tǒng)計與概率的聯(lián)系”的教學

統(tǒng)計與概率既有聯(lián)系，又有區(qū)別.我們知道，采用隨機抽樣、用樣本推斷總體，其結(jié)果也具有隨機性.評價推斷結(jié)果的精確程度、推斷方法的“好”與“壞”都需要概率知識.在概率的教學中，要適當?shù)仃P注二者的聯(lián)系.例如：

(1)統(tǒng)計中的總體與概率中的樣本空間之間的聯(lián)系，總體沒有隨機性，只有采用隨機抽樣，其結(jié)果才具有隨機性；

(2)從概率角度比較有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣、按比例分層隨機抽樣三種抽樣方式對總體均值的估計效果；

(3)在頻率與概率的教學中，可以利用“孟德爾遺傳規(guī)律”，引導學生認識，一方面可以通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)規(guī)律提出遺傳機理的概率模型(正態(tài)分布模型也采用這種方式構建)，另一方面也可以利用統(tǒng)計方法，用頻率來驗證理論模型的正確與否.

5.6 重視信息技術的應用

信息技術使大量重復試驗成為可能.在本單元教學中，可以發(fā)揮信息技術的優(yōu)勢，通過產(chǎn)生隨機數(shù)，隨機模擬擲硬幣、擲骰子、摸球等試驗.通過這些模擬的大量重復試驗，揭示頻率既具有隨機性，又具有穩(wěn)定性，理解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別.