趙士元

(蘇州市吳中區(qū)教學(xué)與教育科學(xué)研究室 215100)

波利亞在《怎樣解題》一書中提到：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，這就是說解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部份，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué).

什么是解題教學(xué)？我們認為解題教學(xué)就是以數(shù)學(xué)問題為載體、以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和基本技能為目的而進行的數(shù)學(xué)教學(xué).在解題教學(xué)過程中，題目只是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、掌握數(shù)學(xué)技能的一個載體.因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中不能一味依靠“多講題”達到“掌握”的程度.怎樣組織數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動？波利亞在書中指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“怎樣想到這個解法的？”、“是什么原因引發(fā)了我們這樣的思考？”.由此可見，解題的過程不只是尋求答案的過程更應(yīng)該是完整的思維過程，解題教學(xué)的目的是讓學(xué)生在例題教學(xué)的過程中體會思維過程、感悟思想方法，在體會和感悟的過程中掌握解決新問題的能力.可許多教師并沒有真正理解解題教學(xué)的目的，有些教師在實施解題教學(xué)的過程中看似講得有理有據(jù)、頭頭是道，但實質(zhì)上往往是將自已預(yù)先探究好了的方法與過程直接傳遞給學(xué)生，或者由已知答案去湊所謂的解題思路，更有甚者，將解題教學(xué)演變成答題講解，解題思維沒有得到必要的凸現(xiàn)，解題教學(xué)的價值也沒有得到有效體現(xiàn).

學(xué)生解題的一般過程是怎樣的？解題教學(xué)怎樣進行才更有效？波利亞在書中對學(xué)生解題的一般過程作了歸納，他認為學(xué)生解題通常要經(jīng)歷“審題弄清題意、設(shè)計解題計劃、實施解題計劃、歸納并回顧反思”等四個過程，因此，解題教學(xué)也應(yīng)當圍繞這四個過程展開，下面以2021年1月舉行的8省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷中的兩道大題為例談?wù)勅绾斡行ЫM織解題教學(xué).

2021年8省聯(lián)考第20題是這樣的：

學(xué)生對這條題目的普遍反映是一個字：難！

果真如此嗎？筆者在完整解答了這道題目后，認為這道題主要考核學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀和理解能力以及對多面體的直觀想象.并非大多數(shù)學(xué)生反映的那么難.

由于許多同學(xué)對大興國際機場缺乏了解，同時受到了文字和圖形的干擾，解題之初就在心理上造成一定的恐慌.可事實上，北京大興機場僅僅是題目的一個載體，對解題本身并沒有什么關(guān)聯(lián).本題的關(guān)健之處是對多面體某一頂點的曲率的理解并在此基礎(chǔ)上理解多面體總曲率，多面體某一頂點的曲率與該頂點的所有面角之和有關(guān)系，有少許同學(xué)看到“曲率”兩字就誤以為是一個“比例”，把曲率理解為2π與該點處面角之和的比，題意的誤讀造成了解題的全盤皆輸.

對題意的理解實質(zhì)上是對學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的考核，題中多面體某一頂點處的“曲率”是一個新定義概念，為了幫助學(xué)生準確理解這一新的概念，題中還以正四面體為例對“曲率”作了更具體的說明，考生要順利解決這個問題，就必須精準理解這一新定義.本題題干和結(jié)論的設(shè)置也很符合中學(xué)生的認知心理：在給出文字概念的基礎(chǔ)上以正四面體的總曲率的求解為例具體解釋了求多面體總曲率的方法，在問題的目標部分設(shè)置了梯度感很強的兩個小問題，第一個小問題是求出一般四棱錐的總曲率，這是對概念理解的初步考核；第二個問題是在更一般的情況下研究多面體的總曲率，這需要學(xué)生具備一定的空間想象力，但本人認為并沒有超出高中生的能力范圍.

1 題意的理解

1.1 條件的理解

1.2 解題目標的理解

題中目標有兩個：一是四棱錐的總曲率；二是滿足“頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”的多面體的總曲率.要求四棱錐的總曲率需要知道什么？據(jù)題中所給“總曲率”的定義可知，需知道四棱錐每一頂點的曲率以及四棱錐的頂點總數(shù)，于是應(yīng)逐個將每個頂點處的曲率分別求出來，現(xiàn)在的問題是題中涉及的四棱錐沒有任何特殊性，于是使我們想到一種可能性：四棱錐的總曲率和四棱錐的具體類型沒有實質(zhì)性的關(guān)系，求出的答案應(yīng)該是一個確定的答案.這個答案究竟是多少？教學(xué)時可引導(dǎo)學(xué)生從具體的四棱錐或前面所述的正四面體(特殊的三棱錐)和長方體總曲率的理解中找到一般的思路.

2 第一小題解題思路設(shè)計

第一小題的目標是求一個四棱錐的總曲率，按總曲率定義，應(yīng)明確如下幾個小問題：四棱錐有幾個頂點？每個頂點的面角各有幾個？這些面角分別為多少？其面角總和為多少？

3 第一小題解題計劃的實施

為了解決以上幾個小問題，我們不妨畫一個四棱錐幫助學(xué)生更直觀地理解多面體某頂點處的曲率以及總曲率：

如圖，四棱錐P-ABCD共五個頂點，分別是P、A、B、C、D,其中頂點P處有四個面角，分別是∠APB,∠BPC,∠CPD,∠DPA,而另外四個頂點處均有三個面角，頂點A處的三個面角是∠PAD,∠PAB以及∠BAD,頂點B處的三個面角是∠PBA,∠PBC以及∠ABC,頂點C處的三個面角是∠PCB,∠PCD以及∠BCD,頂點D處的三個面角是∠PDC,∠PDA以及∠CDA,頂點P的曲率為2π-(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA),頂點A的曲率分別為2π-(∠PAD+∠PAB+∠BAD),另三個頂點的曲率依次為2π-(∠PBA+∠PBC+∠CBA),2π-(∠PCB+∠PCD+∠BCD),2π-(∠PDA+∠PDC+∠CDA),很明顯各頂點的曲率并不確定，但其總曲率為這五個頂點的曲率之和，于是四棱錐的總曲率為：

10π-[(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA)+(∠PAD+∠PAB+∠BAD)+(∠PBA+∠PBC+∠CBA)+(∠PCB+∠PCD+∠BCD)+(∠PDA+∠PDC+∠CDA)].

易知中括號內(nèi)的值恰為四棱錐五個面的內(nèi)角總和，而四棱錐的五個面有四個是三角形，另一個是四邊形，其內(nèi)角總和為4×π+(4-2)π=6π，因此四棱錐的總曲率為10π-6π=4π.

4 第一小題解題反思

盡管四棱錐各頂點的曲率無法求出，但考慮到各頂點的曲率并非本題的最終目標，本題的最終目標是四棱錐的總曲率，因此解題時我們直接將五個頂點的曲率相加，經(jīng)過對每個面角的分析可知，所有面角之和恰為四棱錐所在面的內(nèi)角總和，其總曲率是“頂點數(shù)與2π的積減去所有面的內(nèi)角總和”！這是一個重大發(fā)現(xiàn)，這個結(jié)論是否具有一般性呢？我們不妨回過頭來看看題中正四面體的總曲率，我們知道正四面體共有四個面，每個面均為三角形，每個三角形的內(nèi)角和為π，所有面的內(nèi)角總和為4π，正四面體共有4個頂點，其總曲率為4×2π-4π=4π，與題中所給的結(jié)論一致.我們也可以以學(xué)生每天接觸的教室加以驗證：教室是一個六面體，共有八個頂點六個面，每個面均為長方形，其內(nèi)角和為2π，所有面的內(nèi)角總和為6×2π=12π，前已所述這一六面體的總曲率為4π，它恰好是8×2π-12π，再次證實了我們所發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論.

在研究第二個小問題時可以模仿第一個小問題，設(shè)計好解題計劃并加以實施，但在具體設(shè)計前不妨考慮一下第一個小問題中的幾個結(jié)論，無論是正四面體、四棱錐還是長方體，它們的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)均符合“頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”，其總曲率均為4π，而第二小題的目標是這類多面體的總曲率為常數(shù)，很明顯這一常數(shù)應(yīng)該是4π，而且它是“頂點數(shù)與2π的積減去所有面的內(nèi)角總和”.事實上由于多面體的總曲率是所有頂點的曲率總和，因此總曲率是頂點與2π的積減去各頂點的面角總和，各頂點的面角總和便是所面的內(nèi)角總和，因此這一發(fā)現(xiàn)是正確的.

5 第二小題解題計劃的設(shè)計與實施

由題給條件“頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”可以感知在解題時可能會用到頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)這三個不同的量，我們不妨設(shè)這類多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)分別是x,y,z，則x-y+z=2.為求解該多面體的總曲率，我們需要解決如下幾個問題：

(1)此多面體一共有z個面，這些面分別是什么樣的多邊形呢？

(2)如何求該多面體各頂點的面角總和即該多面體所有面的內(nèi)角總和?

(3)列出多面體的總曲率表達式后如何利用x-y+z=2這一結(jié)論?

我們給出如下解答：

設(shè)這多面體的z個面分別是k1,k2,…，kz邊形，則各頂點的面角總和即該多面體所在面的內(nèi)角總和為

(k1-2)π+(k2-2)π+…+(kz-2)π

=(k1+k2+…+kz)π-2zπ；

該多面體的總曲率應(yīng)為

x·2π-[(k1+k2+…+kz)π-2zπ]；

由于多面體的每一條棱都屬于而且只屬于兩個不同面的邊，因此k1+k2+…+kz=2y.

于是該多面體的總曲率為

x·2π-[(k1+k2+…+kz)π-2zπ]

=2π(x-y+z)=4π.

6 解題反思

反思之一：由于本題是一個情境化試題，大興機場這一實際問題情境讓學(xué)生感到困惑，可事實上大興機場只是本題的一個場景，它對解題本身沒有什么影響.學(xué)生感到困惑的主要問題是數(shù)學(xué)閱讀能力不足，在讀題過程中不能很快地抓住題目本質(zhì)，這不僅影響了解題速度更對解題心理產(chǎn)生了不必要的負面影響.教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力，使學(xué)生能盡早適應(yīng)類似的情境化試題.

反思之二：在解答本題的過程中涉及到哪些數(shù)學(xué)思想？給了我們什么樣的啟示？縱觀兩個小題的解題過程可以發(fā)現(xiàn)，本題涉及到的主要數(shù)學(xué)思想有：特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸.首先從題中給出的正四面體的總曲率求法得出總曲率與頂點以及各面內(nèi)角總和的關(guān)系，從第一小題的解答再次印證其結(jié)論的合理性，由此向更一般的多面體推進，這時我們已經(jīng)知道這個常數(shù)是多少，只需用必要的數(shù)學(xué)語言表達出來即可.在解答過程中總曲率的求解轉(zhuǎn)化為各頂點面角總和的求解，進一步轉(zhuǎn)化為多面體所有面的內(nèi)角總和，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化策略.

反思之三：從正多面體的總曲率到四棱錐總曲率，進一步到一般多面體的總曲率，不僅在結(jié)論上具有一致性(其總曲率均為4π)，而且在求解策略上同樣具有高度的一致性，這一點對于學(xué)生探索實際問題的求解是很有用處的，教師在教學(xué)過程中務(wù)必突出這種思想方法.

反思之四：本題在求解第二個小問題時，許多同學(xué)可能會有一種“可意會卻很難表達”的感覺，也就是說可能會有許多同學(xué)從第一小題的求解得出各頂點的面角總和等于該多面體所在面的內(nèi)角總和，但無法用數(shù)學(xué)語言表達清楚，甚至有些同學(xué)直接用這個結(jié)論進行求解.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力不夠，這一點需引起廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師的注意，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中不僅要教會學(xué)生正確的思維方法，也要在提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力上多下一點功夫.

下面再以2021年8省聯(lián)考第22題的第(1)小題為例說明如何在試題評講中有效組織解題教學(xué)：

f(x)=ex-sinx-cosx，

幾點反思：

反思之一：將函數(shù)f(x)看成是一個指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的差是本題的一個關(guān)健，體現(xiàn)了“化陌生為熟悉”、“化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想”，而利用圖象研究y1=ex與y2=sinx+cosx的函數(shù)值大小關(guān)系是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要體現(xiàn).教師的課堂教學(xué)務(wù)必關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的提煉；

結(jié)語：解題教學(xué)不是簡單的問題解答，有效的解題教學(xué)不應(yīng)只追求題目的解法，而應(yīng)把問題的探索和思維的訓(xùn)練作為解題教學(xué)的主要目標，突出審題和解題計劃的設(shè)計，而解題反思是解題教學(xué)不可忽視的重要環(huán)節(jié)，解題反思有利于學(xué)生更深刻地認識解題思路的設(shè)計.教師在組織解題教學(xué)時務(wù)必關(guān)注波利亞關(guān)于解題教學(xué)的四個基本環(huán)節(jié)，切實提升解題教學(xué)的效率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)科能力.