曹嘉興

(浙江省開化縣第二中學(xué) 324300)

眾所周知，任意三角形的外接圓半徑R不小于它的內(nèi)切圓半徑r的2倍，即R≥2r.這是大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)在1765年建立的一個(gè)不等式,由于該不等式具有簡單而不平凡的特點(diǎn),所以至今依然在幾何不等式領(lǐng)域里保持著高水平的地位,關(guān)于它的各種推廣和加強(qiáng)的研究一直是幾何不等式研究的熱點(diǎn).貴刊就發(fā)表過多篇關(guān)于歐拉不等式的加強(qiáng)的文章[1-4],本文將給出歐拉不等式的一個(gè)新的加強(qiáng),供大家參考與欣賞.

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

證明在△ABC中，記BC=a邊上的高為ha，∠BAC的平分線為ta，面積為Δ.

(1)

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)得

再利用熟知的Tsintsifas不等式[5]：

由上述證明過程不難看出等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

注記由柯西(Cauchy)不等式得

≤3(3s-a-b-c)=3s，

(4)