王芝平 范方兵

(1.北京宏志中學(xué) 100013；2.北京市第二中學(xué) 100010)

(Ⅲ)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣A0，證明：TS(A0)的所有可能取值的和不超過(guò)-4.

這是2020年3月北京市高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)卷最后一題，眾多的字母符號(hào)、新穎的變換規(guī)則以及高度的抽象性，讓相當(dāng)一部分學(xué)生“望題興嘆”！為了讓更多的學(xué)生更好地理解題意，我們?cè)诓桓淖冾}目本質(zhì)的情況下，將試題重新表述如下：

若S={e1，e2，…，el}?U，其中，e1

(Ⅲ)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣A0，證明：所有TS(A0)的和不超過(guò)-4.

下面給出我們對(duì)這道題的思考與解答過(guò)程.

謀定思路為了敘述方便，我們引入下面記號(hào)與術(shù)語(yǔ)：

1.將“數(shù)陣P經(jīng)過(guò)φk變換得到的數(shù)陣Q”記作：φk(P)=Q，讀作“數(shù)陣P經(jīng)過(guò)k變換后得到數(shù)陣Q”.

2.將“φS(A0)”記作“φS(A0)=Al”，讀作“數(shù)陣A0經(jīng)過(guò)集合S變換后得到數(shù)陣Al”.顯然A0經(jīng)過(guò)集合S變換，就是A0依次經(jīng)過(guò)集合S中各元素ei(i=1，2，…，l)對(duì)應(yīng)的變換φei，最后得到Al.

前兩問(wèn)的目的既是幫助考生理解題意，也是給考生送一些分?jǐn)?shù)，這在大型考試中是非常必要的.

對(duì)于第(Ⅲ)問(wèn)，因?yàn)門S(A0)是A0經(jīng)過(guò)集合S變換得到的數(shù)陣Al中四個(gè)數(shù)的和，所以一個(gè)值得考慮的問(wèn)題是，數(shù)陣Al中每個(gè)數(shù)與原數(shù)陣A0中對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)有什么關(guān)系？

顯然數(shù)陣Al中每個(gè)數(shù)與數(shù)陣A0中對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)要么相等，要么是一對(duì)相反數(shù).“相等”與“相反”取決于集合S中的元素.

讓我們?cè)俜磸?fù)閱讀題目中的這句話：

“對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣A0，證明：所有TS(A0)的和不超過(guò)-4.”

因?yàn)閿?shù)陣A0是確定的，所以TS(A0)是隨集合S變化而變化的.

所以，我們?cè)賮?lái)考慮集合S：由題設(shè)知，S是集合U的63個(gè)非空子集.經(jīng)驗(yàn)告訴我們，從整體考慮問(wèn)題可能更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律、更容易表述解題過(guò)程.所以我們不妨先設(shè)S是集合U的任意子集，則不同的集合S共有64個(gè).當(dāng)S=?時(shí)，我們約定A0經(jīng)過(guò)集合S——也就是?——變換依然是A0，此時(shí)TS(A0)是集合A0中四個(gè)數(shù)的和.

這樣所有的φS(A0)對(duì)應(yīng)的數(shù)陣Al共有64個(gè)，對(duì)應(yīng)的TS(A0)的值是64個(gè)整數(shù)，這64個(gè)整數(shù)的和我們稱之為“總和”.

如果要知道每一個(gè)TS(A0)的值，這不僅是麻煩的，也是不必要的.

因?yàn)榧臃ň哂薪粨Q律，我們可以考慮所有數(shù)陣Al中第一行第一列的數(shù)，它們都是由A0中的數(shù)a11變換得到的，不是a11，就是-a11.直覺告訴我們a11和-a11的個(gè)數(shù)一樣多，所以在“總和”中這64個(gè)數(shù)的和等于0.

同理，所有數(shù)陣Al中第一行第二列的數(shù)的和等于0；所有數(shù)陣Al中第二行第一列的數(shù)的和等于0；所有數(shù)陣Al中第二行第二列的數(shù)的和等于0.進(jìn)而“總和”等于0.

再在“總和”中減去A0中四個(gè)數(shù)的和，即原題中所有TS(A0)的和等于-(a11+a12+a21+a22).因?yàn)閍11，a12，a21，a22∈U，所以a11+a12+a21+a22≥4.所以-(a11+a12+a21+a22)≤-4，即所有TS(A0)的和不超過(guò)-4.

那么，從A0經(jīng)過(guò)集合S變換得到Al，a11是保持符號(hào)不變，還是變成-a11？這既與集合S中是否含有a11有關(guān)，也與集合S中是否含有a12有關(guān)，所以對(duì)a11，a12是否相等進(jìn)行討論就是自然而然的思路了.

因?yàn)?，在變換過(guò)程中，數(shù)陣中同一行的兩個(gè)數(shù)的“變”與“不變”是同步進(jìn)行的，所以我們可以整行考慮，先搞清楚一行中兩個(gè)數(shù)的變化情況.

為了更清楚地把握問(wèn)題的本質(zhì)，又不失一般性，我們不妨從具體、簡(jiǎn)單的例子開始觀察、思考.

設(shè)U={1，2，3}，數(shù)陣的第一行為數(shù)組A=(1，1)，U的所有子集共八個(gè)，分別為：

S0=?，φ?(A)=(1，1)，TS0(A)=2；

S1={1}，φS1(A)=(-1，-1)，

TS1(A)=-2；

S2={1，2}，φS2(A)=(-1，-1)，

TS2(A)=-2；

S3={1，3}，φS3(A)=(-1，-1)，

TS3(A)=-2；

S4={1，2，3}，φS4(A)=(-1，-1)，

TS4(A)=-2；

S5={2}，φS5(A)=(1，1)，TS5(A)=2；

S6={3}，φS6(A)=(1，1)，TS6(A)=2；

S7={2，3}，φS7(A)=(1，1)，TS7(A)=2；

所有TS(A)的和等于0.

因?yàn)閁={1，2，3，4，5，6}的所有子集中，含有1的子集共有25=32個(gè)，在這32個(gè)子集的變換下，(1，1)變成了(-1，-1)；U的其余32個(gè)子集中都不含1，在這32個(gè)子集的變換下，(1，1)仍然為(1，1).

所以在U所有子集變換下，(1，1)的64個(gè)“象”中，有32個(gè)(-1，-1)，32個(gè)(1，1)，顯然，其總和為0.

設(shè)一個(gè)數(shù)陣的第一行為二元數(shù)組(1，2)，對(duì)于U的含1不含2的子集，如{1，3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合的變換下得到(-1，-2)；對(duì)于U的含2不含1的子集，如{2，3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合的變換下得到(-1，-2)；對(duì)于U的既含1，又含2的子集，如{1，2，3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合變換下得到(1，2)；對(duì)于U的既不含1又不含2的子集，如{3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合的變換下仍然是(1，2).

這樣就必須得清楚，對(duì)于數(shù)組(a11，a12)而言，U的所有子集中含a11而不含a12的集合有多少個(gè)，含a12而不含a11的集合又有多少個(gè)，既含有a11，又含有a12的子集有多少個(gè)，既不含a11，又不含a12的子集又有多少個(gè).只要這些問(wèn)題搞清楚了，問(wèn)題就迎刃而解了.

規(guī)范解答(1)若a11=a12，在集合U的所有子集中含a11的集合有25=32個(gè)，所以A0經(jīng)過(guò)這32個(gè)集合變換后得到的32個(gè)數(shù)陣中，第一行的兩個(gè)數(shù)分別變成了-a11，-a12；而不含a11的集合也有25=32個(gè)，A0經(jīng)過(guò)這32集合個(gè)變換后得到的32個(gè)數(shù)陣中，第一行的兩個(gè)數(shù)依然分別是a11，a12.

此時(shí)，所有數(shù)陣(Al)中第一行的兩個(gè)數(shù)的和的和等于 32(-a11-a12)+32(a11+a12)=0.

(2)若a11≠a12，則集合U的所有子集中含a11而不含a12的集合有24=16個(gè)，A0經(jīng)過(guò)這16個(gè)集合變換后得到的16個(gè)數(shù)陣中，第一行的兩個(gè)數(shù)分別變成了-a11，-a12；含a12而不含a11的集合也有24=16個(gè)，同理又有16個(gè)數(shù)陣中第一行的兩個(gè)數(shù)分別變成了-a11，-a12；

集合U的既含有a11，又含有a12的子集有24=16個(gè)，A0經(jīng)過(guò)這16個(gè)集合變換后得到的16個(gè)數(shù)陣中，第一行的兩個(gè)數(shù)依然是a11，a12；集合U的既不含a11，又不含a12的子集也有24=16個(gè)，A0經(jīng)過(guò)這16個(gè)集合變換后得到的16個(gè)數(shù)陣中，第一行的兩個(gè)數(shù)依然是a11，a12.

此時(shí)，所有數(shù)陣Al中，第一行的兩個(gè)數(shù)的和的和等于(16+16)(-a11-a12)+(16+16)(a11+a12)=0.

總之，所有數(shù)陣Al中第一行的兩個(gè)數(shù)的和的和等于0.

同理，所有數(shù)陣Al中第二行的兩個(gè)數(shù)的和的和等于0.

所以，64個(gè)數(shù)陣Al的四個(gè)數(shù)的和的和等于0.

所以，當(dāng)S是集合U的所有非空子集時(shí)，所有TS(A0)的和等于-(a11+a12+a21+a22).

因?yàn)閍11，a12，a21，a22∈U，

所以a11+a12+a21+a22≥4.

所以-(a11+a12+a21+a22)≤-4，

即所有TS(A0)的和不超過(guò)-4.

反思啟迪數(shù)學(xué)之難學(xué)，往往在于數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象.許多同學(xué)看見陌生的符號(hào)就頭疼.用數(shù)學(xué)符號(hào)表示某些數(shù)學(xué)對(duì)象是數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)解題的常用手段，也是重要的數(shù)學(xué)思想和能力.理解并掌握符號(hào)表達(dá)能力的核心是對(duì)新定義的數(shù)學(xué)符號(hào)的理解和運(yùn)用.符號(hào)表示不僅是用字母表示數(shù)字，還包含數(shù)學(xué)中的一切公式、特殊約定的字符以及新定義的符號(hào)等.

第三問(wèn)——求所有TS(A0)的和，初看上去好像雜亂無(wú)序，無(wú)從下手，冷靜思考后我們發(fā)現(xiàn)，從全局出發(fā)，利用加法的交換律，可以改變運(yùn)算順序，變“局部求和”為“整體求和”.理解到這一點(diǎn)后，我們就不會(huì)糾纏于問(wèn)題的細(xì)枝末節(jié)，而是注重通覽全局，通過(guò)分析問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行整體轉(zhuǎn)化，達(dá)到問(wèn)題解決的目的.

建議同學(xué)們摒棄“重結(jié)果輕過(guò)程”式的學(xué)習(xí)，回歸教科書，關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程并感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，夯實(shí)基本技能，追求對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性理解，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).在解題訓(xùn)練中，必須跳出題海、遠(yuǎn)離各種技巧，注重通性通法，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)概念思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的好習(xí)慣.遇到新穎、陌生的含有“新定義”的題目時(shí)，要重視審題環(huán)節(jié)，反復(fù)認(rèn)真研讀題目，適當(dāng)時(shí)候變換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言(自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行重新表述，使得對(duì)問(wèn)題的刻畫是全方位、多角度的，有利于理解題目所定義的新概念、新規(guī)則、新運(yùn)算，在此基礎(chǔ)之上，還要善于從特殊的、簡(jiǎn)單的、極端的情形入手去“寫寫看”，通過(guò)對(duì)這些特殊情形的探討，獲得一些結(jié)論，受到一些啟發(fā)，從而找到解決問(wèn)題的有效途徑.

變式研究

1.對(duì)于本題，如果求TS(A0)的所有可能取值的和，那么結(jié)果等于什么呢？

且上述每一個(gè)數(shù)陣都能得到，所以TS(A0)的所有可能取值的和等于0.

S={e1，e2，…，el}?U，其中，e1

證明1(范方兵)：

補(bǔ)充定義φ?(A0)=A0，T?(A0)=a11+a12+a21+a22，并考慮數(shù)陣的第一行.

設(shè)a11，a12，…，a1p中有m(1≤m≤p)個(gè)不同的值，它們構(gòu)成集合V，則集合V的子集共有2m個(gè).

①當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，由V中奇數(shù)個(gè)元素構(gòu)成的集合共有

所以U的含有V中奇數(shù)個(gè)元素的子集共有

同理U的含有V中偶數(shù)個(gè)元素的子集共有

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，有

所以第一行的和的和為0.

②當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，由V中奇數(shù)個(gè)元素構(gòu)成的集合共有

所以U的含有V中奇數(shù)個(gè)元素的子集共有

同理U的含有V中偶數(shù)個(gè)元素的子集共有

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，有

所以第一行的和的和為0.

下略.

證明2(王芝平)：

范方兵老師用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言形式化地證明了推廣命題.受其啟發(fā)，下面給出當(dāng)時(shí)在推廣這個(gè)結(jié)論時(shí)的直覺(在總和中a11與-a11一樣多)想法下的一個(gè)證明：

設(shè)數(shù)陣A0第一行有且僅有m個(gè)不同數(shù)字，它們構(gòu)成集合B={a11，a12，…，a1m}.易知集合B的偶子集(即有偶數(shù)個(gè)元素)與奇子集(即有奇數(shù)個(gè)元素)一樣多，所以集合U的所有子集(含空集)中含有B的偶數(shù)(可以是0)個(gè)元素的子集與含有B的奇數(shù)個(gè)元素的子集一樣多，各有2n-1個(gè).

易知，當(dāng)S含有B的偶數(shù)(可以是0)個(gè)元素時(shí)，數(shù)陣A0經(jīng)過(guò)集合S變換后，第一行的各數(shù)都沒(méi)有變；當(dāng)S含有B的奇數(shù)個(gè)元素時(shí)，數(shù)陣A0經(jīng)過(guò)集合S變換后，第一行的各數(shù)都變?yōu)樽约旱南喾磾?shù).所以，所有數(shù)陣φS(A0)中，第一行各數(shù)和的和等于0，所以所有TS(A0)的和等于0.

所以，當(dāng)S是集合U的非空子集時(shí)，所有TS(A0)的和等于A0中pq個(gè)數(shù)的和的相反數(shù).證畢.

事實(shí)上，我們有如下本質(zhì)、簡(jiǎn)單的命題：

設(shè)集合U={1，2，…，，n}，對(duì)m維數(shù)組A=(a1，a2，…，am)定義變換φk：若數(shù)組A的m個(gè)數(shù)中有k或-k，則將A中每個(gè)數(shù)都乘以-1，否則，A中所有數(shù)均保持不變.

若S={e1，e2，…，el}?U，其中，e1