王芝平 范方兵

(1.北京宏志中學 100013；2.北京市第二中學 100010)

(Ⅲ)對任意確定的一個數(shù)陣A0，證明：TS(A0)的所有可能取值的和不超過-4.

這是2020年3月北京市高考適應性測試數(shù)學卷最后一題，眾多的字母符號、新穎的變換規(guī)則以及高度的抽象性，讓相當一部分學生“望題興嘆”！為了讓更多的學生更好地理解題意，我們在不改變題目本質(zhì)的情況下，將試題重新表述如下：

若S={e1，e2，…，el}?U，其中，e1

(Ⅲ)對任意確定的一個數(shù)陣A0，證明：所有TS(A0)的和不超過-4.

下面給出我們對這道題的思考與解答過程.

謀定思路為了敘述方便，我們引入下面記號與術語：

1.將“數(shù)陣P經(jīng)過φk變換得到的數(shù)陣Q”記作：φk(P)=Q，讀作“數(shù)陣P經(jīng)過k變換后得到數(shù)陣Q”.

2.將“φS(A0)”記作“φS(A0)=Al”，讀作“數(shù)陣A0經(jīng)過集合S變換后得到數(shù)陣Al”.顯然A0經(jīng)過集合S變換，就是A0依次經(jīng)過集合S中各元素ei(i=1，2，…，l)對應的變換φei，最后得到Al.

前兩問的目的既是幫助考生理解題意，也是給考生送一些分數(shù)，這在大型考試中是非常必要的.

對于第(Ⅲ)問，因為TS(A0)是A0經(jīng)過集合S變換得到的數(shù)陣Al中四個數(shù)的和，所以一個值得考慮的問題是，數(shù)陣Al中每個數(shù)與原數(shù)陣A0中對應位置上的數(shù)有什么關系？

顯然數(shù)陣Al中每個數(shù)與數(shù)陣A0中對應位置上的數(shù)要么相等，要么是一對相反數(shù).“相等”與“相反”取決于集合S中的元素.

讓我們再反復閱讀題目中的這句話：

“對任意確定的一個數(shù)陣A0，證明：所有TS(A0)的和不超過-4.”

因為數(shù)陣A0是確定的，所以TS(A0)是隨集合S變化而變化的.

所以，我們再來考慮集合S：由題設知，S是集合U的63個非空子集.經(jīng)驗告訴我們，從整體考慮問題可能更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律、更容易表述解題過程.所以我們不妨先設S是集合U的任意子集，則不同的集合S共有64個.當S=?時，我們約定A0經(jīng)過集合S——也就是?——變換依然是A0，此時TS(A0)是集合A0中四個數(shù)的和.

這樣所有的φS(A0)對應的數(shù)陣Al共有64個，對應的TS(A0)的值是64個整數(shù)，這64個整數(shù)的和我們稱之為“總和”.

如果要知道每一個TS(A0)的值，這不僅是麻煩的，也是不必要的.

因為加法具有交換律，我們可以考慮所有數(shù)陣Al中第一行第一列的數(shù)，它們都是由A0中的數(shù)a11變換得到的，不是a11，就是-a11.直覺告訴我們a11和-a11的個數(shù)一樣多，所以在“總和”中這64個數(shù)的和等于0.

同理，所有數(shù)陣Al中第一行第二列的數(shù)的和等于0；所有數(shù)陣Al中第二行第一列的數(shù)的和等于0；所有數(shù)陣Al中第二行第二列的數(shù)的和等于0.進而“總和”等于0.

再在“總和”中減去A0中四個數(shù)的和，即原題中所有TS(A0)的和等于-(a11+a12+a21+a22).因為a11，a12，a21，a22∈U，所以a11+a12+a21+a22≥4.所以-(a11+a12+a21+a22)≤-4，即所有TS(A0)的和不超過-4.

那么，從A0經(jīng)過集合S變換得到Al，a11是保持符號不變，還是變成-a11？這既與集合S中是否含有a11有關，也與集合S中是否含有a12有關，所以對a11，a12是否相等進行討論就是自然而然的思路了.

因為，在變換過程中，數(shù)陣中同一行的兩個數(shù)的“變”與“不變”是同步進行的，所以我們可以整行考慮，先搞清楚一行中兩個數(shù)的變化情況.

為了更清楚地把握問題的本質(zhì)，又不失一般性，我們不妨從具體、簡單的例子開始觀察、思考.

設U={1，2，3}，數(shù)陣的第一行為數(shù)組A=(1，1)，U的所有子集共八個，分別為：

S0=?，φ?(A)=(1，1)，TS0(A)=2；

S1={1}，φS1(A)=(-1，-1)，

TS1(A)=-2；

S2={1，2}，φS2(A)=(-1，-1)，

TS2(A)=-2；

S3={1，3}，φS3(A)=(-1，-1)，

TS3(A)=-2；

S4={1，2，3}，φS4(A)=(-1，-1)，

TS4(A)=-2；

S5={2}，φS5(A)=(1，1)，TS5(A)=2；

S6={3}，φS6(A)=(1，1)，TS6(A)=2；

S7={2，3}，φS7(A)=(1，1)，TS7(A)=2；

所有TS(A)的和等于0.

因為U={1，2，3，4，5，6}的所有子集中，含有1的子集共有25=32個，在這32個子集的變換下，(1，1)變成了(-1，-1)；U的其余32個子集中都不含1，在這32個子集的變換下，(1，1)仍然為(1，1).

所以在U所有子集變換下，(1，1)的64個“象”中，有32個(-1，-1)，32個(1，1)，顯然，其總和為0.

設一個數(shù)陣的第一行為二元數(shù)組(1，2)，對于U的含1不含2的子集，如{1，3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合的變換下得到(-1，-2)；對于U的含2不含1的子集，如{2，3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合的變換下得到(-1，-2)；對于U的既含1，又含2的子集，如{1，2，3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合變換下得到(1，2)；對于U的既不含1又不含2的子集，如{3，4}，數(shù)組(1，2)在該集合的變換下仍然是(1，2).

這樣就必須得清楚，對于數(shù)組(a11，a12)而言，U的所有子集中含a11而不含a12的集合有多少個，含a12而不含a11的集合又有多少個，既含有a11，又含有a12的子集有多少個，既不含a11，又不含a12的子集又有多少個.只要這些問題搞清楚了，問題就迎刃而解了.

規(guī)范解答(1)若a11=a12，在集合U的所有子集中含a11的集合有25=32個，所以A0經(jīng)過這32個集合變換后得到的32個數(shù)陣中，第一行的兩個數(shù)分別變成了-a11，-a12；而不含a11的集合也有25=32個，A0經(jīng)過這32集合個變換后得到的32個數(shù)陣中，第一行的兩個數(shù)依然分別是a11，a12.

此時，所有數(shù)陣(Al)中第一行的兩個數(shù)的和的和等于 32(-a11-a12)+32(a11+a12)=0.

(2)若a11≠a12，則集合U的所有子集中含a11而不含a12的集合有24=16個，A0經(jīng)過這16個集合變換后得到的16個數(shù)陣中，第一行的兩個數(shù)分別變成了-a11，-a12；含a12而不含a11的集合也有24=16個，同理又有16個數(shù)陣中第一行的兩個數(shù)分別變成了-a11，-a12；

集合U的既含有a11，又含有a12的子集有24=16個，A0經(jīng)過這16個集合變換后得到的16個數(shù)陣中，第一行的兩個數(shù)依然是a11，a12；集合U的既不含a11，又不含a12的子集也有24=16個，A0經(jīng)過這16個集合變換后得到的16個數(shù)陣中，第一行的兩個數(shù)依然是a11，a12.

此時，所有數(shù)陣Al中，第一行的兩個數(shù)的和的和等于(16+16)(-a11-a12)+(16+16)(a11+a12)=0.

總之，所有數(shù)陣Al中第一行的兩個數(shù)的和的和等于0.

同理，所有數(shù)陣Al中第二行的兩個數(shù)的和的和等于0.

所以，64個數(shù)陣Al的四個數(shù)的和的和等于0.

所以，當S是集合U的所有非空子集時，所有TS(A0)的和等于-(a11+a12+a21+a22).

因為a11，a12，a21，a22∈U，

所以a11+a12+a21+a22≥4.

所以-(a11+a12+a21+a22)≤-4，

即所有TS(A0)的和不超過-4.

反思啟迪數(shù)學之難學，往往在于數(shù)學符號的抽象.許多同學看見陌生的符號就頭疼.用數(shù)學符號表示某些數(shù)學對象是數(shù)學研究和數(shù)學解題的常用手段，也是重要的數(shù)學思想和能力.理解并掌握符號表達能力的核心是對新定義的數(shù)學符號的理解和運用.符號表示不僅是用字母表示數(shù)字，還包含數(shù)學中的一切公式、特殊約定的字符以及新定義的符號等.

第三問——求所有TS(A0)的和，初看上去好像雜亂無序，無從下手，冷靜思考后我們發(fā)現(xiàn)，從全局出發(fā)，利用加法的交換律，可以改變運算順序，變“局部求和”為“整體求和”.理解到這一點后，我們就不會糾纏于問題的細枝末節(jié)，而是注重通覽全局，通過分析問題的整體結構特征，進行整體轉化，達到問題解決的目的.

建議同學們摒棄“重結果輕過程”式的學習，回歸教科書，關注知識的形成過程并感悟其中蘊含的數(shù)學思想方法，夯實基本技能，追求對數(shù)學知識的本質(zhì)性理解，提升數(shù)學素養(yǎng).在解題訓練中，必須跳出題海、遠離各種技巧，注重通性通法，養(yǎng)成用數(shù)學概念思考問題、解決問題的好習慣.遇到新穎、陌生的含有“新定義”的題目時，要重視審題環(huán)節(jié)，反復認真研讀題目，適當時候變換三種數(shù)學語言(自然語言、符號語言、圖形語言)來對問題進行重新表述，使得對問題的刻畫是全方位、多角度的，有利于理解題目所定義的新概念、新規(guī)則、新運算，在此基礎之上，還要善于從特殊的、簡單的、極端的情形入手去“寫寫看”，通過對這些特殊情形的探討，獲得一些結論，受到一些啟發(fā)，從而找到解決問題的有效途徑.

變式研究

1.對于本題，如果求TS(A0)的所有可能取值的和，那么結果等于什么呢？

且上述每一個數(shù)陣都能得到，所以TS(A0)的所有可能取值的和等于0.

S={e1，e2，…，el}?U，其中，e1

證明1(范方兵)：

補充定義φ?(A0)=A0，T?(A0)=a11+a12+a21+a22，并考慮數(shù)陣的第一行.

設a11，a12，…，a1p中有m(1≤m≤p)個不同的值，它們構成集合V，則集合V的子集共有2m個.

①當m為奇數(shù)時，由V中奇數(shù)個元素構成的集合共有

所以U的含有V中奇數(shù)個元素的子集共有

同理U的含有V中偶數(shù)個元素的子集共有

由二項式系數(shù)的性質(zhì)，有

所以第一行的和的和為0.

②當m為偶數(shù)時，由V中奇數(shù)個元素構成的集合共有

所以U的含有V中奇數(shù)個元素的子集共有

同理U的含有V中偶數(shù)個元素的子集共有

由二項式系數(shù)的性質(zhì)，有

所以第一行的和的和為0.

下略.

證明2(王芝平)：

范方兵老師用數(shù)學符號語言形式化地證明了推廣命題.受其啟發(fā)，下面給出當時在推廣這個結論時的直覺(在總和中a11與-a11一樣多)想法下的一個證明：

設數(shù)陣A0第一行有且僅有m個不同數(shù)字，它們構成集合B={a11，a12，…，a1m}.易知集合B的偶子集(即有偶數(shù)個元素)與奇子集(即有奇數(shù)個元素)一樣多，所以集合U的所有子集(含空集)中含有B的偶數(shù)(可以是0)個元素的子集與含有B的奇數(shù)個元素的子集一樣多，各有2n-1個.

易知，當S含有B的偶數(shù)(可以是0)個元素時，數(shù)陣A0經(jīng)過集合S變換后，第一行的各數(shù)都沒有變；當S含有B的奇數(shù)個元素時，數(shù)陣A0經(jīng)過集合S變換后，第一行的各數(shù)都變?yōu)樽约旱南喾磾?shù).所以，所有數(shù)陣φS(A0)中，第一行各數(shù)和的和等于0，所以所有TS(A0)的和等于0.

所以，當S是集合U的非空子集時，所有TS(A0)的和等于A0中pq個數(shù)的和的相反數(shù).證畢.

事實上，我們有如下本質(zhì)、簡單的命題：

設集合U={1，2，…，，n}，對m維數(shù)組A=(a1，a2，…，am)定義變換φk：若數(shù)組A的m個數(shù)中有k或-k，則將A中每個數(shù)都乘以-1，否則，A中所有數(shù)均保持不變.

若S={e1，e2，…，el}?U，其中，e1