林天然， 李 震

(青島理工大學 結構聲與機械故障診斷實驗室,青島 266520)

統(tǒng)計能量分析(statistical energy analysis, SEA)是一種用以預測復雜耦合系統(tǒng)中各子系統(tǒng)間高頻能量流的常用計算方法。由于復雜耦合結構各子系統(tǒng)在中高頻段的模態(tài)比較密集，且相鄰模態(tài)的固有頻率間隔通常小于其對應模態(tài)的半功率頻帶，因而在高頻響應分析中很難完全分離相鄰模態(tài)的模態(tài)響應，從而無法準確確定各子系統(tǒng)單一模態(tài)間的能量傳遞。同時常用數(shù)值分析方法如有限元法(finite element analysis, FEA)和邊界元法(boundary element analysis, BEA)由于在高頻分析時需要使用大量單元以保證最低計算精度且結果往往存在很大不確定性，因而其在高頻響應預測方面具有很大局限性。而SEA由于能夠在子系統(tǒng)具體聲振特性未知條件下通過統(tǒng)計方法快速估算復雜耦合系統(tǒng)各子系統(tǒng)間平均高頻聲振能量傳遞，早在19世紀六七十年代就被成功用于航天器發(fā)射階段產(chǎn)生的高頻振動預測并取得良好效果[1]。其后SEA得到越來越多科研工作者的重視并被逐漸推廣應用到各種復雜工程結構如船舶艙室聲壓和噪聲傳遞路徑分析[2]；火車高頻聲振特性分析[3]；隧道內(nèi)噪聲及隧道口向外輻射噪聲分析及隧道聲學設計[4]等高頻聲振能量預測中。

SEA方法最早始于1962年Lyon等提出的雙線性耦合振子功率流計算方法并在其基礎上發(fā)展而來。通過計算兩個受隨機激勵且相互獨立振子間的功率流，得到了守恒系統(tǒng)耦合結構間的功率流正比于兩個子系統(tǒng)的平均模態(tài)能量之差，且總是從具有高模態(tài)能量的子系統(tǒng)流向低模態(tài)子系統(tǒng)的重要結論。此外，Lyon等還推導得到單模態(tài)和多模態(tài)子系統(tǒng)的相互作用公式，強調(diào)了SEA的三個基本參數(shù)：模態(tài)密度、阻尼和耦合損耗因子對系統(tǒng)響應估算的重要性，為SEA的后續(xù)發(fā)展奠定了理論基礎。幾乎在同一時期，Smith[5]在另一論文中也歸納總結出類似于Lyon等提出的SEA方法，并且分析了大型結構共振模態(tài)在聲源激勵下的響應以及由此產(chǎn)生的聲輻射，同時建立了模態(tài)輻射阻抗與傳遞函數(shù)間的互易關系。隨后Lyon在前期基礎上進一步把SEA的應用從雙振子系統(tǒng)拓展到多振子系統(tǒng)，并分析了振動能量在板-梁-板結構中的傳遞情況[6]。1966年Lyon[7]提出了一種簡單結構模型輸入功率和振動響應的計算方法并指出這種方法的本質(zhì)是在統(tǒng)計意義上將振動能量平均化。1971年Szechenyi[8]利用統(tǒng)計方法估算了直管的模態(tài)密度和輻射效率，并討論了模態(tài)在無量綱波數(shù)空間中的分布情況。1975年Lyon[9]在其發(fā)表的SEA經(jīng)典專著：《Statistical energy analysis of dynamical systems：theory and applications》里較為完整地歸納總結了自1962年以來SEA理論的發(fā)展與應用現(xiàn)狀，討論了SEA在當時工業(yè)應用中的可行性與不足之處以及未來的發(fā)展方向。1987年孫進才等[10]以及Fahy等[11]幾乎在同一時期各自把統(tǒng)計能量分析方法應用于非守恒耦合振子功率流預測并得出以下結論：在白噪聲激勵下兩個振子間的平均功率流不僅與兩個子系統(tǒng)的平均模態(tài)能量之差成正比，且與各振子的平均能量成正比。Fahy的這一重要結論拓展完善了之前Lyon基于守恒耦合系統(tǒng)提出的SEA基本理論，并成為經(jīng)典統(tǒng)計能量法(CSEA)演化為一般統(tǒng)計能量法(SEA)的重要分水嶺。

SEA根據(jù)模態(tài)近似原則將一個復雜系統(tǒng)劃分為多個相互耦合的子系統(tǒng)并從概率意義上給出各子系統(tǒng)參數(shù)[12]。SEA主要參數(shù)如模態(tài)密度、內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子等可以通過實驗方法獲取或者采用經(jīng)驗公式估算。同時通過構建各子系統(tǒng)間能量流平衡方程組求得各子系統(tǒng)的平均動態(tài)響應及聲振能量。相比于其它常用數(shù)值計算方法如有限元或邊界元法，SEA是一種從統(tǒng)計能量角度分析處理復雜系統(tǒng)高頻動力學問題的有效工具[13-15]。

為了便于初學者/研究人員更好地了解統(tǒng)計能量分析方法及其應用以吸引更多科研/工程人員投身于SEA的研究與應用，F(xiàn)ahy于1994年發(fā)表了一篇SEA綜述論文并系統(tǒng)地總結了SEA的發(fā)展狀況及優(yōu)缺點，通過對確定性模型及分析的局限性討論，詳細介紹了SEA頻段內(nèi)平均估算特點以及在分析高頻模態(tài)重疊問題上的優(yōu)勢，指出了SEA相比于其它數(shù)值分析方法的優(yōu)點以及存在的不足之處，重點討論了SEA的未來研究方向和工業(yè)工程應用前景。孫進才等在1998年又對SEA方法的新進展、新應用進行了一次全面系統(tǒng)的總結，從非守恒耦合系統(tǒng)、守恒強耦合系統(tǒng)和一般耦合系統(tǒng)三個方面詳細介紹了物理模型建立和SEA機理的推導過程，同時指出了尚存一些影響SEA拓廣應用急需解決的重要問題。二十年稍縱即逝，隨著計算機技術的快速發(fā)展及應用的拓展，SEA的很多應用及技術條件已發(fā)生巨大改變，有鑒于此，本文力圖在前人基礎上，結合近年來SEA理論及應用的最新發(fā)展作進一步的系統(tǒng)闡述和概括。本綜述將從SEA發(fā)展歷程、理論演變、主要系統(tǒng)參數(shù)估算方法及應用等方面進行詳細地歸類總結，為SEA的應用及未來研究方向提供一個盡可能全面的文獻參考。

1 統(tǒng)計能量分析方法的理論演變

統(tǒng)計能量分析的理論發(fā)展經(jīng)歷了從經(jīng)典統(tǒng)計能量分析(classical statistical energy analysis, CSEA)到統(tǒng)計能量分析(statistical energy analysis, SEA)的演變過程。經(jīng)典統(tǒng)計能量分析方法(CSEA)的鼎盛時期通常是指從1962年Lyon等提出的雙線性守恒耦合振子功率流理論到1987年孫進才等提出的非守恒耦合系統(tǒng)能量流分析這個階段，其成功應用案例主要有以衛(wèi)星運載火箭振動響應為代表的航空航天高頻聲振預測。但CSEA由于需要滿足系統(tǒng)能量守恒以及子系統(tǒng)弱耦合等條件，其在工程應用上存在較大局限性。直到孫進才及Fahy等把統(tǒng)計能量分析方法應用到非守恒耦合振子功率流預測后，并經(jīng)眾多科研人員的不懈努力，CSEA逐漸才被拓展成為一種可適用于一般耦合系統(tǒng)的SEA方法。

1.1 守恒耦合系統(tǒng)

根據(jù)Lyon等提出的雙線性守恒弱耦合振子功率流理論，可獲得在隨機外力激勵下兩個耦合振子功率流的表達式[16]

(1)

(2)

式(1)、(2)直觀地表述了兩個弱耦合振子間的平均功率流與振子儲存能量之差成正比，且能量從高能量振子傳遞到低能量振子。對于線性守恒弱耦合系統(tǒng)，式(1)、(2)可用下列矩陣表達式表述

[P]T=ω[η][E]T

(3)

式中：[P]T代表各子系統(tǒng)的平均輸入功率向量；[E]T表示子系統(tǒng)的能量值向量；ω表示平均帶寬中心頻率；[η]表示由耦合損耗因子ηij和內(nèi)損耗因子ηi組成的矩陣。該矩陣方程具有計算簡便、適用頻帶寬的優(yōu)點[17]。

在實際工程環(huán)境弱耦合假設難以成立的前提下，Norton等[18]指出基于弱耦合條件得到的雙耦合振子功率流表達式不能任意拓展到多耦合振子組。為了將統(tǒng)計能量分析方法推廣應用到更普遍存在的強耦合系統(tǒng)，有學者希望通過修改兩個直接強耦合子系統(tǒng)間的耦合損耗因子以提高統(tǒng)計能量分析的預測精度[19-21]，但這方面的嘗試由于忽略了不相鄰子系統(tǒng)間功率流傳遞而產(chǎn)生較大預測誤差。1995年Finnveden[22]指出無論是直接連接還是間接連接子系統(tǒng)間都存在功率流，忽略間接連接振子間的功率流會嚴重影響直接連接振子間功率流的預測精度[23]，該結論很快在Cuschieri發(fā)表的實驗結果中得到驗證[24]，并在隨后發(fā)表的一些研究結果中得到進一步驗證[25-26]。

式(4)以三串聯(lián)耦合振子功率流為基礎給出守恒強耦合系統(tǒng)間功率流表達式

(4)

1.2 非守恒耦合系統(tǒng)

由于實際工程系統(tǒng)中能滿足守恒弱耦合條件的應用實例并不多[27-30]，故如何把CSEA方法推廣應用到非守恒弱耦合系統(tǒng)成為統(tǒng)計能量法在實際工程應用中急需解決的問題[31]。非守恒弱耦合系統(tǒng)必須考慮如何在耦合處存在損耗情況下建立系統(tǒng)能量平衡方程，目前主要使用以下三種方法。

第一種方法是當結構耦合處阻尼較小時，在CSEA能量平衡方程中增添因耦合阻尼產(chǎn)生的損耗項[32-34],此時平衡方程能量傳遞規(guī)律不變,且與CSEA平衡方程形式相仿

(5)

第二種方法是通過引入“消耗耦合損耗因子”用以表示非守恒弱耦合元件的損耗特性，從而避免由于忽略耦合元件能量損耗帶來的影響，進而從根本上修正CSEA的能量平衡方程，修正后的能量平衡方程為[36]

(6)

式中，ξ12振子1到振子2間的“消耗耦合損耗因子”，該因子為一表示非守恒弱耦合元件損耗影響的正量，因而與第一種方法中Δη1的作用異曲同工。

第三種方法不僅僅是在能量平衡方程中簡單地添加一個正增量項，而是通過引進等效內(nèi)損耗因子用以修正守恒耦合損耗因子為非守恒耦合因子，此時穩(wěn)態(tài)能量平衡方程依然適用

(7)

相比于以守恒弱耦合系統(tǒng)所代表的CSEA，以非守恒(一般)耦合系統(tǒng)為代表的近代SEA方法在實際工程應用中更具普遍性與實際應用價值[37-39]。

1.3 瞬態(tài)激勵耦合系統(tǒng)

CSEA不能得到廣泛實際工程應用的另一原因是其僅適用于穩(wěn)態(tài)激勵下的耦合系統(tǒng)，為把CSEA理論中的穩(wěn)態(tài)激勵假設拓展到瞬態(tài)激勵，1990年Lai等[40]提出瞬態(tài)統(tǒng)計能量分析(transient statistical energy analysis, TSEA)的概念，隨后諸多學者發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵下的動力學特性可通過一組能量平衡方程描述[41-42]。1998年唐宵東[43]通過比較TSEA與CSEA的異同，將TSEA應用于分析梁-板耦合系統(tǒng)沖擊響應譜并較好的驗證TSEA的可行性。2019年Langley等[44]用一種類比于普里斯特利(Priestley)對非靜態(tài)隨機過程的描述，推導得到可用于瞬態(tài)及沖擊激勵響應預測的TSEA方程，并以耦合板響應為例，通過比較TSEA預測結果、有限元計算結果及實驗結果驗證TSEA方法的有效性。

對于包含n個子系統(tǒng)的復雜耦合系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵條件下的動力學響應可通過一組能量平衡方程描述

(8)

2 統(tǒng)計能量分析主要參數(shù)的獲取

SEA方法最關鍵核心的一步是如何將一個復雜系統(tǒng)合理劃分成若干相對獨立的耦合子系統(tǒng)，然后通過子系統(tǒng)間的平均能量分布描述各子系統(tǒng)的聲振特性。其中子系統(tǒng)能量通過該子系統(tǒng)的彈性元和慣性元儲存;通過阻尼元損耗；子系統(tǒng)間能量傳遞通過耦合元實現(xiàn)?；诟髯酉到y(tǒng)間能量流互動關系，通過能量守恒定律可依次建立各子系統(tǒng)的能量平衡方程，從而得到用以描述整個系統(tǒng)能量平衡狀態(tài)的線性方程組，進而獲得各子系統(tǒng)能量及聲振響應特性。

(9)

(10)

則該耦合系統(tǒng)的能量平衡方程組可進一步通過下式表示

(11)

式中：Πi,in表示作用于子系統(tǒng)i的激勵源對子系統(tǒng)i的平均輸入功率；Πi,diss表示子系統(tǒng)i的內(nèi)阻尼平均損耗功率；Πij表示從子系統(tǒng)i傳遞到子系統(tǒng)j的平均功率流。

由于子系統(tǒng)間的平均功率流正比于兩個子系統(tǒng)的平均模態(tài)能量之差，且總是從具有高平均模態(tài)能量的子系統(tǒng)流向低平均模態(tài)能量的子系統(tǒng)，因而子系統(tǒng)間的平均功率流可通過下式表示

(12)

式中，ni為子系統(tǒng)i的模態(tài)密度。

由于耦合子系統(tǒng)間功率流滿足互易原理，因而有

Πij=-Πji

(13)

即niηij=njηji，將式(9)、式(12)和式(13)代入式(11)可得到以下矩陣表達式

(14)

式中，ηmm代表子系統(tǒng)m的總損耗系數(shù)。由式(14)可以看出準確獲得主要參數(shù)如模態(tài)密度、內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子是成功應用統(tǒng)計能量分析方法預測系統(tǒng)高頻動力學響應的關鍵。2016年Antonio等[45]指出子系統(tǒng)能量與內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子緊密相關，并給出輸入功率、耦合損耗因子以及結構物理參數(shù)間的近似關系。但由于復雜耦合系統(tǒng)的主要參數(shù)一般難以準確獲取，許多科研工作者就如何精確快速估算SEA的各種系統(tǒng)參數(shù)展開了大量研究[46-49]，并提出了一系列參數(shù)估算方法，本節(jié)將對現(xiàn)有SEA各個主要參數(shù)的估算方法進行一個全面的歸納總結。

2.1 模態(tài)密度

模態(tài)密度是指一個系統(tǒng)在某一頻段內(nèi)單位頻率的模態(tài)數(shù)，是一個代表系統(tǒng)在外力激勵下產(chǎn)生共振響應能力的重要指標[50]。一般來說，模態(tài)密度越大，結構從寬頻激勵中吸取能量的能力越強[51]。目前通常采用的模態(tài)密度估算法主要有解析法和實驗法。Lyon和姚德源通過解析法計算了簡單典型結構如梁、板和殼的模態(tài)密度，并給出較為準確的理論公式[52-53]。但由于實際工程應用中更多的是復雜不規(guī)則結構，其模態(tài)密度很難通過解析方法準確估算，因此通過實驗測試方法獲得子系統(tǒng)模態(tài)密度顯得尤為重要[54-57]。Clarkson[58]在1981年提出一種基于結構激勵點導納獲取模態(tài)密度的方法，并通過實驗加以驗證[59]。目前基于結構激勵點導納實部平均值計算模態(tài)密度(即點導納法)成為主要實驗方法[60]，例如點導納法被用于測量鋁蜂窩夾層結構的模態(tài)密度[61-62],薄鋁板的模態(tài)密度[63]等。

通過點導納法估算模態(tài)密度n(ω)的表達式為

(15)

式中：M表示結構質(zhì)量；ω2、ω1分別是帶寬為Δω的頻率上下限;Y(ω)為結構輸入點導納。其表達式為

(16)

其中A(ω)和F(ω)分別表示系統(tǒng)在外力激勵下的加速度響應和激勵力的傅里葉變換。

近年來越來越多的學者嘗試結合有限元方法對不同耦合系統(tǒng)進行模態(tài)密度的估算。Yan等[64]于2002年提出一種通過有限元方法估算中低頻區(qū)雙、三耦合子系統(tǒng)的模態(tài)密度，并通過實驗驗證數(shù)值解的準確性。2010年孔憲仁等[65]基于特征系統(tǒng)算法提出了一種估算模態(tài)密度的方法，并對鋁蜂窩夾層結構的小衛(wèi)星模型進行數(shù)值仿真，進一步驗證該算法的可行性。2019年Chen等[66]提出一種采用有限元法建立熱環(huán)境下能量流模型并估算受雨流載荷的簡支L型折板模態(tài)密度的算法，并指出僅受溫度影響時板的模態(tài)密度與耦合損耗因子的變化趨勢相反。

2.2 內(nèi)損耗因子

內(nèi)損耗因子是指一個系統(tǒng)在某一頻段單位頻率、單位時間內(nèi)損耗能量與平均儲存能量之比[67]，能夠代表由系統(tǒng)阻尼特性決定的能量損耗能力，因此內(nèi)損耗因子的研究對結構動力學響應和聲傳遞特性具有重要意義。結構子系統(tǒng)的內(nèi)損耗因子可以表示為[68]

η=ηs+ηr+ηb

(17)

式中，ηs、ηr和ηb分別表示結構損耗因子、聲輻射損耗因子和邊界損耗因子。測量頻帶內(nèi)平均內(nèi)損耗因子通常使用實驗測試方法，其中功率輸入法和脈沖響應衰減法是兩種比較常用的實驗測試方法[69]。

功率輸入法的基本思路是通過給子系統(tǒng)提供一個穩(wěn)定的輸入功率并測量系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的平均響應能量來確定頻帶內(nèi)平均內(nèi)損耗因子。2007年Liu等[70]基于有限元模型，通過計算三合板的輸入點導納和傳遞導納估算其內(nèi)損耗因子。

子系統(tǒng)頻帶內(nèi)平均內(nèi)損耗因子表達式為

(18)

(19)

(20)

式中：N為測點的數(shù)目；Mi表示第i個測點的有效質(zhì)量；Yif(ω)表示激振點到測點i的頻率響應函數(shù)。

系統(tǒng)在受到穩(wěn)態(tài)激勵時，由于試件和激振器的連接導致接觸阻尼的增大從而影響到內(nèi)損耗因子的測量精度[71]。2009年Martarelli等[72]使用激光掃描多普勒振動儀進行蜂窩板表面速度響應測量，該測量方法極大地提高蜂窩板內(nèi)損耗因子的測量精度。

使用脈沖響應衰減法對系統(tǒng)頻帶內(nèi)平均內(nèi)損耗因子進行測試可以有效規(guī)避因測試系統(tǒng)與測試對象連接帶來的內(nèi)損耗因子測量誤差。脈沖響應衰減法的基本思路是借助結構中振動能量的衰減率來估算頻帶內(nèi)平均內(nèi)損耗因子，通過對結構進行脈沖或隨機激勵，測量激勵后結構響應的衰減信號進而估算內(nèi)損耗因子。衰減率的獲取方法主要包括基于Hilbert變換的信號幅值包絡法和Schroeder積分法[73-75]，其中單次測量的Schroeder衰減曲線與多次測量的信號總體平均衰減率結果相仿，而Hilbert變換包絡線則更為平滑[76-77]。

采用脈沖響應衰減法測試頻帶內(nèi)平均內(nèi)損耗因子的表達式為

(21)

式中，RD表示系統(tǒng)響應曲線的衰減率(decay rate,DR)，可通過計算衰減曲線幅值對數(shù)值的斜率求得

(22)

式中,v1、v2表示t1、t2時刻系統(tǒng)的速度或加速度響應包絡線幅值。在實際測量中RD的值會隨時間改變，故在獲得數(shù)據(jù)過程中往往會因為帶有主觀性而導致測量誤差[78]。

2.3 耦合損耗因子

耦合損耗因子是一個體現(xiàn)SEA子系統(tǒng)間能量傳遞效率的重要參數(shù)，即子系統(tǒng)間耦合作用大小的度量。目前獲取耦合損耗因子常用的方法包括試驗方法、波方法(wave method)、功率輸入法(power injection method，PIM)、有限元法(finite element analysis，F(xiàn)EA)、有限元-功率輸入法(finite element analysis-power injection method，F(xiàn)EA-PIM)和雙模態(tài)方程法(dual modal formulation，DMF)等。

由于試驗方法對工作環(huán)境要求較高、資源耗費大，因此除了用于科學研究外，鮮有實際工程應用案例[79]。1994年Cacciolati等[80-81]對三點耦合平板進行試驗測量，推導出簡單耦合結構耦合損耗因子的估算方法。2013年Pankaj等[82]利用波方法獲取簡單耦合結構如耦合梁、耦合板的耦合損耗因子方法，令人遺憾的是其未能將該方法進一步拓展應用到復雜結構的耦合損耗因子估算。針對建筑相鄰房間隔聲性能的研究，2016年Dijckmans[83]基于Pankaj的研究方法指出半無限板在擴散聲場假設下可通過波方法估算其耦合損耗因子，進而確定兩墻板連接處的能量傳遞情況。目前功率輸入法是一種獲取耦合損耗因子應用最為廣泛的方法，1980年Bies等[84]通過建立兩個耦合板模型的線性功率平衡方程估算其耦合損耗因子，并基于功率輸入法對耦合板進行損耗因子矩陣預測。Lalor[85]在1989年對功率輸入法進行了優(yōu)化，嘗試將損耗因子矩陣分開求解從而提高結果的精確度并大大降低計算量。2013年Secgin[86]基于功率輸入法對復合材料耦合板的耦合損耗因子進行計算，同時驗證在中頻段采用功率輸入法的精確性。2015年Putra等[87]將基于功率輸入法估算所得的汽車內(nèi)部SEA模型耦合損耗因子用于估算汽車內(nèi)部聲壓級，發(fā)現(xiàn)其與實驗測量結果吻合良好。2016年Mandale等[88]針對不同連接方式的矩形耦合板連接處進行了耦合損耗因子計算，將實驗結果與結合能級差分法估算的理論值進行對比，在驗證方法可行性的同時進一步發(fā)現(xiàn)通過螺栓連接的耦合板連接處的耦合損耗因子要高于螺紋連接方式。2002年Yan等指出有限元法也能夠精確獲得中低頻段結構的統(tǒng)計能量分析參數(shù)，但在高頻區(qū)由于需要非常精細的網(wǎng)格劃分，限制了有限元法在高頻參數(shù)估算的應用。鑒于有限元法在中高頻預測的局限性，許多科研工作者采用結合有限元和功率輸入法的方法用于獲取耦合損耗因子[89-91]。Mace等[92]以三耦合板系統(tǒng)為例，利用有限元法估算子系統(tǒng)的輸入功率和能量并利用功率輸入法估算系數(shù)矩陣的系數(shù)，得出子系統(tǒng)應力分布、質(zhì)量分布和剛度分布矩陣分別受到激勵分布特性、系統(tǒng)質(zhì)量和剛度特性影響的重要結論。2017年陳強等[93]基于有限元-功率輸入法提出一種適用于熱環(huán)境中的SEA方法，并分析了熱效應對復雜結構SEA參數(shù)的影響。雖然許多研究結果證實了有限元-功率輸入法在計算耦合損耗因子的有效性，但同時也存在穩(wěn)定性較差的問題。雙模態(tài)方程法是一種基于子系統(tǒng)在耦合邊界的模態(tài)參數(shù)直接估算耦合損耗因子的方法，具有計算效率高、計算耗時短的優(yōu)點。2001年Maxit等[94]通過對簡單耦合結構的子系統(tǒng)進行解耦分析，進而利用雙模態(tài)方程法估算梁、板結構子系統(tǒng)間的耦合損耗因子，指出雙模態(tài)方程法更適用于工業(yè)中大型復雜系統(tǒng)。2016年孔憲仁等[95]采用有限元-雙模態(tài)方程法對典型L型耦合加筋板進行耦合損耗因子預測精度研究，結果顯示其計算效率比有限元-功率輸入法提高了近一倍，也證明雙模態(tài)方程法可以高效精確估算復雜結構的耦合損耗因子。

3 不同工況下統(tǒng)計能量分析研究

3.1 不同激勵條件下的SEA研究

開展統(tǒng)計能量方法聲振分析時一般假定外部激勵為隨機激勵。1964年Lyon等[96]首次將SEA方法用于隨機激勵條件下簡單結構的耦合問題研究，通過對單振子與板的連接系統(tǒng)模型及兩個板的連接系統(tǒng)模型分析，指出SEA可以用于估算在結構連接處因隨機振動產(chǎn)生的能量。基于Lyon雙振子耦合模型的成功案例， Newland[97]在1966年將SEA拓展應用到三振子耦合結構中，并對隨機激勵下系統(tǒng)的耦合損耗因子給出定義。近年Lin等[98]通過理論計算討論了在確定力或確定力矩激勵條件下耦合板間的能量流關系，并發(fā)現(xiàn)當激勵源跟耦合板邊界的距離超過1/4板撓曲振動波長時，SEA方法可用于預測確定激勵源條件下耦合板間的平均能量流。

針對激勵形式的差異，輸入功率的估算方法也需隨之調(diào)整。1990年Norton等[99]在對輸入功率計算的研究中提出：在受到連續(xù)、寬頻隨機激勵時建議采用互譜方法估算輸入功率；在激勵為確定性瞬態(tài)時采用阻抗方法估算輸入功率。2002年Renji等[100]在Norton的理論基礎上基于蜂窩板模態(tài)密度公式和激勵力對復合材料蜂窩夾層板結構進行輸入功率計算，并對其內(nèi)損耗因子進行估算。

與此同時，關于SEA輸入相關性的研究也有了長足進展。針對系統(tǒng)分別受單點激勵和雙點激勵的不同情況，1994年劉明治等[101-102]采用等效輸入功率列陣方式得到受相關激勵下功率流是由比例功率流和相關功率流組成的結論。同一時期張建等[103-104]也進行了一系列關于SEA相關激勵的研究，張建分析討論了在任意輸入條件下耦合振子的能量分布，并推導出功率平衡方程及有關功率項的計算公式。2002年張建[105]基于相關或互不相關激勵條件下非守恒耦合系統(tǒng)的SEA機理，提出兩個相似SEA系統(tǒng)間的能量關系可通過利用已知系統(tǒng)預測未知相似系統(tǒng)方法得到，并通過理論及實驗驗證該方法的合理性。

3.2 中低頻頻段內(nèi)的SEA研究

SEA方法主要用于預測高頻頻段復雜耦合結構子系統(tǒng)間的能量流，但許多科研工作者也不斷探索將SEA方法推廣應用到中低頻段動力學分析的可能性。1997年Chol等[106]提出在考慮模態(tài)密度與邊界條件關系時，在中頻段應用SEA方法也可以得到精確結果。2005年王毅剛等[107]通過理論計算和實驗測量類似于飛機艙體結構的圓柱殼結構內(nèi)部聲壓級，并對簡單板殼結構進行數(shù)值仿真與實驗驗證，結果證明該研究對SEA方法適用頻率下限的界定具有重要指導意義，同時指出儲存能量較多的子系統(tǒng)對復雜系統(tǒng)的低頻SEA分析影響較大。2008年王毅剛等[108]通過對不同SEA模型進一步深入研究，分析討論了復雜耦合結構中SEA子系統(tǒng)模態(tài)數(shù)與下限分析頻率之間的關系。王毅剛發(fā)現(xiàn)當子系統(tǒng)具有足夠多的模態(tài)時，儲存能量較少的子系統(tǒng)對復雜系統(tǒng)的低頻SEA分析影響較小。Lin等于2011年發(fā)表的一篇理論分析文章里提出當外力激勵與板耦合邊界的距離超過1/4板撓曲波長時，SEA方法可用于預測確定激勵源條件下耦合板間的平均能量流。同年李冰等[109]開展了四種不同激勵條件下飛機艙內(nèi)噪聲中頻噪聲預測研究，通過對比仿真和實驗結果驗證混合FEA-SEA比SEA能更好的預測艙內(nèi)中頻段噪聲。2014年秦朝紅等[110]采用FEA-SEA法對飛行器典型結構件開展了中頻力學環(huán)境預示參數(shù)識別及建模技術研究，其結果與混響室噪聲實驗數(shù)據(jù)對比吻合良好。2015年毛杰等[111]提出多物理場耦合激勵下的高速列車車內(nèi)結構中頻噪聲輻射計算方案，分別采用快速多極邊界元、剛性多體動力學和大渦模擬結合Ffowcs Williams-Hawkings(FW-H)聲類比法提取輪軌噪聲，同時對二系懸掛力及空氣動力噪聲進行仿真，結果與實驗聲壓級對比誤差符合工程要求。2016年張永杰等[112]基于H-混合模型法，針對梁板組合結構的中頻振動問題建立了FEA-SEA模型，并通過模態(tài)試驗對模型進行了驗證。同年Yan等[113]基于FEA-SEA法和Monte Carlo法對振動聲耦合作用下的飛機模型的結構振動和座艙聲場響應進行了數(shù)值分析，通過試驗驗證該方法的可靠性。2018年Gao等[114]提出一種FEA-SEA法用于分析耦合系統(tǒng)中頻聲振特性，通過計算聲腔各點聲壓發(fā)現(xiàn)該方法不僅具有較小的自由度，同時能自動滿足外部無限遠聲場的Sommerfeld輻射條件。同年Wu等[115]建立了梁板組合結構的ES-FEA-SEA混合模型，將基于邊緣的光滑有限元技術應用于梁板組合結構的三維有限元模型中, 通過對比ES-FEA-SEA法和FEA-SEA法的結果，發(fā)現(xiàn)混合ES-FEA-SEA法可用于求解梁板組合結構中頻振動問題。Abdullah等[116]在2019年提出一種基于模態(tài)阻抗點、線、面連接的復雜耦合系統(tǒng)的SEA方法，通過對某柜體模型進行理論計算以及大量實驗驗證該方法在復雜系統(tǒng)中頻聲振特性分析的可行性。同年Hawes等[117]將FEA-SEA法推廣應用到?jīng)_擊和時變載荷作用下的結構中頻響應計算，在瞬態(tài)條件下研究了子系統(tǒng)產(chǎn)生的混響力與其內(nèi)部能量之間的擴散場互易關系，通過與梁板耦合結構的FEA模擬結果比較，發(fā)現(xiàn)使用該FEA-SEA法可獲得較高的計算精度。2020年Gao[118]針對復雜組合系統(tǒng)的中頻振動問題提出一種混合FEA-SEA法，為避免過大的計算量引入動力凝聚來降低有限元單元的階次，從而顯著降低了總動力剛度矩陣，并通過算例驗證該方法的有效性和收斂性。

4.3 SEA的響應統(tǒng)計估算

由于SEA是一種基于統(tǒng)計意義的聲振特性分析方法，其有效性和精確性受到參數(shù)估計，子系統(tǒng)劃分等多方面因素影響，具有一定的不確定性。因此完整有效的響應統(tǒng)計估算對成功分析SEA數(shù)據(jù)結果尤為重要[119]。Langley等[120-123]提出作為SEA的后處理模塊，響應統(tǒng)計估算應當包括：隨機系統(tǒng)在點載荷作用下能量密度的統(tǒng)計、具有隨機性質(zhì)的動態(tài)系統(tǒng)響應統(tǒng)計量和SEA響應預測等。1962年Schroeder[124]通過對聲容器單點響應分析，得出在足夠高的頻率下模數(shù)平方傳遞函數(shù)是指數(shù)分布的結論。1969年Lyon發(fā)現(xiàn)該結論僅在較高頻率時成立，且模數(shù)平方傳遞函數(shù)的標準方差偏大[125]。類似的結論在1978年Waterhouse[126]的研究中也有所提及。但是隨著研究的逐步深入，越來越多的科研工作者對Lyon和Waterhouse的結論提出了疑問。1981年Davy[127]指出當應用“最近鄰(nearest neighboring)”分布假設時，測量值和理論值的吻合度要比Lyon的結果高，且通過理論計算和大量實驗分析進一步指出Lyon和Waterhouse方差估計法的誤差[128]。1989年Weaver[129]提出動態(tài)系統(tǒng)響應統(tǒng)計估算應滿足(Gaussian orthonormal ensemble, GOE)頻率空間等頻率分布假設，該觀點的提出標志著SEA響應統(tǒng)計估算的新發(fā)展。隨后Weaver通過高斯正交集合頻率空間的響應統(tǒng)計估算方法得到的預測值與實驗結果基本一致[130-133]。1996年Burkhardt等[134-135]提出了復雜系統(tǒng)模態(tài)衰減率期望分布的修正模型并討論了模態(tài)阻尼和模態(tài)延遲率對響應統(tǒng)計估算的影響。2005年Manning[136]提出SEA響應統(tǒng)計估算應分“三步走”，分別從輸入功率估計、傳遞函數(shù)估計和從能量角度分析聲振響應特性三方面對SEA系統(tǒng)進行響應統(tǒng)計估算。2008年Zheng等[137]通過大量實驗驗證了簡單耦合結構振動響應估算方法的穩(wěn)定性，同時推導出不確定動態(tài)結構振動響應的計算表達式并得到實驗驗證。2011年廖慶斌等[138]在此基礎上進一步分析復雜耦合動力學系統(tǒng)的SEA響應統(tǒng)計估算，并討論系統(tǒng)響應統(tǒng)計估算在各種形式激勵條件下產(chǎn)生的偏差以及載荷參數(shù)的確定方法。2019年Andrade等[139]通過對一個由平板與封閉聲場耦合的結構聲學系統(tǒng)的實驗測量，驗證了統(tǒng)計能量分析模型預測能量均值和方差的有效性。

4 SEA在實際工程中的應用實例

SEA最早被用于航空航天系統(tǒng)的高頻聲振預測并取得了顯著效果[140-143]， 隨后被逐漸應用到工程實踐中的其它領域，如艦船、汽車、火車、建筑和核反應堆等實際工程問題的聲振特性分析。本章節(jié)將對SEA在實際工程中的成功應用實例進行概括總結。

4.1 SEA在航天航空中的應用

SEA在航天航空領域如航天飛機、導彈和火箭的高頻聲振預測方面有許多非常成功的應用案例[144-147]。2002年Bremner等[148]總結了SEA在飛機艙內(nèi)減振降噪和飛機內(nèi)部結構聲學設計的最新研究進展。2016年趙欣等[149]詳盡地介紹了SEA在航天器火工沖擊地面試驗以及環(huán)境預示的應用，并從航天工程急需改善的角度指出未來航天器領域發(fā)展應重點探索的研究方向，本節(jié)針對航天航空方面幾個具體應用方向所發(fā)表的文獻進行綜合介紹。

飛機機艙的噪聲預測一直是SEA方法應用的一個熱門方向。1968年Jolly等[150]首次嘗試使用SEA對隨機激勵下飛機機艙的聲振響應進行分析，通過將機艙結構和艙內(nèi)聲場看作一個耦合的動態(tài)系統(tǒng)對艙內(nèi)聲壓水平進行估算，但因預測結果缺少實驗驗證，故不能保證艙內(nèi)聲壓水平預測值的可靠性。Hay[151]在此基礎上比較了機艙內(nèi)聲壓測量值與SEA預測值，但所得結果吻合度較差。1983年Miller等[152]通過SEA方法研究了飛機艙室內(nèi)部噪聲水平，通過對飛機簡化模型進行艙內(nèi)聲壓測量發(fā)現(xiàn)在較高頻段SEA預測值與實際測量值有良好的一致性，進而指出SEA方法可用于飛機艙體模型高頻聲振預測。同年美國宇航局(NASA)研究了飛機航行狀況下艙內(nèi)噪聲及減振降噪方法，通過分組形式對S-76直升機的模態(tài)響應進行分析[153]，并在模擬飛行條件下對實際模型進行大量實驗驗證，發(fā)現(xiàn)機艙噪聲及振動響應的測量值與SEA預測值高度吻合。20世紀90年代波音公司對波音727飛機進行地面聲振實驗，通過建立螺旋槳相關裝置的SEA和FEA模型預測機艙內(nèi)部低頻噪聲并對分析方法進行討論[154-155]。波音公司的另一組研究人員通過對S-92直升機艙內(nèi)噪聲進行類似實驗分析[156]，進一步證明SEA能夠廣泛應用于各種型號飛機模型艙內(nèi)噪聲預測。2019年Giuseppe等[157]為提高駕駛員與乘客在飛機艙內(nèi)的舒適性，基于SEA對機身不同位置進行中高頻聲壓級數(shù)值計算，進而討論分析不同機艙結構設計對隔音效果的影響，同時提出一種將黏彈性阻尼層嵌入玻璃窗的隔音方式用以減小因機身表面湍流邊界層造成的噪聲。

SEA在航天航空領域應用的另一個熱門方向是關于各類飛行器聲振特性環(huán)境試驗研究。飛行器在高速飛行過程會受到振動、沖擊以及高溫高聲強環(huán)境的影響，其噪聲源主要來自三方面：發(fā)動機在高速推進過程產(chǎn)生的噴氣噪聲；燃料燃燒引起飛行器結構內(nèi)部空腔共振產(chǎn)生的噪聲；超高速飛行過程中飛行器表面湍流層所導致的空氣動力學噪聲[158]。此外飛行器表面由于氣動加熱產(chǎn)生的高溫載荷也會對飛行器本身造成振動損害，并對飛行器硬件結構和有效載荷造成重要影響，嚴重時可導致器件失效和設備的疲勞破壞[159-160]。為避免上述不良后果，飛行環(huán)境下飛行器的適應性驗證以及飛行器聲振特性試驗研究就顯得尤為重要[161]。2005年Shorter等[162-163]針對飛行器高溫、高聲強環(huán)境提出了一種基于混合FEA-SEA方法用以解決中頻聲振問題，Langley指出SEA能夠分析系統(tǒng)中參數(shù)不確定的子系統(tǒng)，進而預測不確定多模態(tài)子系統(tǒng)的振動特性[164-165]。

由于SEA能夠較好地預測火箭噴流噪聲和空氣動力噪聲等寬帶激勵下的動態(tài)響應，因而通過SEA對火箭發(fā)動機噪聲進行數(shù)值模擬與聲振分析成為近年來的一個新研究熱點[166-167]。發(fā)動機作為火箭發(fā)射的主要動力推動裝置在工作過程中會產(chǎn)生高量級聲振，其噪聲主要來源包括燃燒室不穩(wěn)定的燃燒和噴流噪聲[168-169]。2015年朱瑩等[170]應用SEA方法對火箭發(fā)動機模型進行全頻段聲振響應分析，得到噴流噪聲聲壓級與噴流流場湍流動能成正比的結論。相比于動力學預測的其它兩種常用方法(相似結構外推法、傳統(tǒng)模態(tài)法)，SEA由于僅從能量角度估算頻率域響應的統(tǒng)計平均值而不用考慮被研究對象的具體細節(jié)，已逐漸成為解決火箭、導彈等的寬帶高頻動力學預測的常用方法。2002年Iadevaia等[171]應用SEA對導彈板狀結構進行數(shù)值預測和實驗測試，驗證了SEA可以有效用于瞬態(tài)沖擊激勵下導彈的聲振特性預測。

4.2 SEA在車輛中的應用

SEA方法剛出現(xiàn)不久就被成功用于估算車輛振動和內(nèi)部空間平均噪聲值，并逐漸被推廣應用到車輛工程的諸多領域[172-174]。1997年Pierre等[175]在復雜車輛結構振動能量傳遞的研究進展綜述中指出，由于復雜車體結構中隨機參數(shù)的不確定性嚴重影響其它高頻動力學方法的應用，把SEA方法推廣應用到車輛工程高頻聲振預測意義重大。目前SEA主要被用于預測汽車內(nèi)部聲振特性及復雜車體結構間的能量傳遞路徑[176-177]。2010年Chen等[178]基于SEA方法提出一種車輛內(nèi)部聲學材料優(yōu)化處理辦法，通過測量材料的吸聲系數(shù)和傳輸損耗，討論各子系統(tǒng)對車內(nèi)噪聲的能量貢獻，進而提出降低汽車內(nèi)部噪聲級的解決方案。2013年焦映厚等[179-180]提出采用加筋或添加阻尼材料的方式可以有效降低車身板件的振動水平。在此基礎上賀巖松等[181]于2016年對聲學材料進行優(yōu)化改進并提出一種FEA-SEA混合法用于車身板件減振降噪分析，并討論汽車駕駛員頭部聲腔聲壓級的變化趨勢。2019年Lee等[182]利用SEA法對汽車內(nèi)部聲壓級進行預測，分析討論了不同部件的聲傳遞損耗以及對車內(nèi)聲壓級水平的貢獻。Chen等[183]嘗試使用SEA和半無限流體法建立轎車車外噪聲預測模型，通過比較實驗和預測結果發(fā)現(xiàn)SEA方法不僅能簡化建模步驟，同時能較準確的預測車外噪聲。

SEA方法不僅被用于小型轎車聲振響應和傳遞路徑預測，在大型載重類工程車輛中也有許多成功應用案例。1997年Borello[184]利用SEA方法預測大型貨車駕駛室的噪聲傳遞路徑，并基于外部噪聲負載和底盤機械力作用條件下預測駕駛室內(nèi)的噪聲響應。2007年Burkett[185]使用SEA分析卡車駕駛室板件振動響應和內(nèi)部聲壓響應，討論了不確定聲源對噪聲響應的影響，進而提出一種在駕駛室設計初期控制機載噪聲的優(yōu)化方案。

近年來隨著鐵路運輸?shù)目焖侔l(fā)展以及列車速度的不斷提高，空氣動力學對列車進一步提速的瓶頸制約逐步顯現(xiàn)[186-187]。而由于SEA方法能很好地處理高寬頻帶隨機載荷激勵下的復雜結構動力學問題，其在高速列車聲振特性及提速方面的應用顯得意義重大[188-190]。高速列車噪聲來源主要有牽引噪聲、輪軌噪聲和氣動噪聲，當列車速度超過300 km/h時氣動噪聲成為主要噪聲源[191]。高速列車氣動噪聲的計算方法主要包括近場流場計算和遠場輻射計算[192-195]，2017年劉加利等通過對車體結構子系統(tǒng)湍流邊界層輸入激勵的計算，提出一種結合大渦模擬(large eddy simulation，LES)方法分析高速列車車內(nèi)中高頻氣動噪聲特性的SEA方法用于計算列車各子系統(tǒng)聲腔的氣動噪聲A計權聲壓級水平。2018年王毅剛等[196]結合風洞試驗、計算流體力學和SEA法研究車外空氣脈動及其產(chǎn)生的氣動噪聲向車內(nèi)的傳播特性，發(fā)現(xiàn)車內(nèi)氣動噪聲主要來自于車窗、前后風擋;車外脈動壓力遠大于聲場,但聲場主導中頻偏高頻車內(nèi)噪聲,脈動壓力在中頻偏低頻作用明顯;風擋向車內(nèi)的聲能傳播,主要以車外空氣脈動激發(fā)的振動傳遞為主。2020年唐榮江等[197]建立車內(nèi)噪聲分析預測SEA模型，通過測量各個工況下車身的振動激勵和聲壓激勵，并將駕駛員頭部聲腔噪聲聲壓級結果的仿真結果與實驗結果對比驗證SEA模型預測車內(nèi)噪聲的精確性。同年Liu等[198]使用FEA-SEA法對鋼-混凝土組合的鐵路橋梁進行結構噪聲分析，通過合理簡化模型得到橋梁結構噪聲級與列車速度的關系，并通過實測進行驗證。

4.3 SEA在船舶中的應用

由于船舶艙室噪聲主要為中高頻噪聲，故SEA是分析船舶噪聲及噪聲傳遞路徑的關鍵技術手段[199-200]。傳統(tǒng)的矢量相干疊加法在分析船舶艙室中高頻振動噪聲問題會存在較大誤差，并且矢量相干疊加法的傳遞路徑分析不適用于SEA，相比之下基于能量疊加原理的非相干疊加法更便于SEA應用[201-202]。1993年Magrans[203]利用冪級數(shù)展開法，按路徑階次分析船舶結構間能量傳遞路徑，但由于該方法計算量過高從而限制其在實際工程中的應用。1995年Hynná等[204]提出一種預測大型焊接船舶結構聲傳播的SEA方法，并對一個具有5 000多個單元，17 000個耦合路徑的郵輪模型進行計算，驗證了SEA的高效性；同時通過比較掃頻船、木制集裝箱船和客輪的計算結果和實測結果，驗證SEA的準確性。1996年Craik[205]提出一種損耗因子共享法即逐條路徑分析法用以確定能量主要傳遞路徑，該方法的提出為后續(xù)SEA在船舶噪聲預測和能量傳遞路徑分析應用上奠定了基礎。但損耗因子共享法在處理大型復雜耦合系統(tǒng)時無法得到所有可能的能量傳遞路徑，因此與SEA高效便捷的統(tǒng)計特性背道相馳。2009年Bot[206]將熵的概念引入SEA，并從熱力學角度豐富完善SEA在船舶工程中的應用。2014年高處等[207]在Bot的研究基礎上將SEA系統(tǒng)等效為聲振熵賦權圖，利用刪除邊算法求得能量傳遞的主要可能路徑, 從而驗證聲振熵賦權圖法預測船舶艙室噪聲傳遞路徑的有效性，該研究方法可用于指導大型、超大型游輪的噪聲傳遞與能量分布分析。2017年張文春等[208]提出一種基于SEA賦權圖的船舶艙室噪聲傳遞路徑分析方法，通過對子系統(tǒng)進行數(shù)值模擬預測能量在船舶艙室中的傳播機理。張文春等給出的結構間能量傳遞規(guī)律為SEA在船舶行業(yè)的聲振控制和減振降噪優(yōu)化設計提供了一個可行方向。2018年Avcu等[209]基于SEA建立振動聲學模型中主要能量路徑排序的系統(tǒng)方法，根據(jù)模擬結果驗證路徑修改后對船舶結構振動能量水平降低的可靠性，同時指出基于SEA的能量路徑排序法可以快速預測復雜船舶結構的聲振特性，進而找到每條路徑的能量輸出并修正存在問題的路徑。2019年吳曉佳等[210]基于SEA對郵輪艙室噪聲進行預示研究，利用VA One建立郵輪全船的SEA仿真模型，通過模擬各艙室噪聲頻譜圖和總的聲壓級發(fā)現(xiàn)主要噪聲來源，進而比較各降噪控制方案得到最優(yōu)降噪效果。同年王淅鋮等[211]指出雖然SEA法處理復雜船舶結構具有其優(yōu)勢性，但是由于過細的建模會導致計算量過大和預測精度低的問題，對此提出一種基于SEA方法的典型船體板架結構簡化建模的等效原則，并通過誤差分析驗證其合理性。

5 結 論

本文從理論及實際應用實例兩方面分析總結了SEA從20世紀60年代初提出至今近60年的發(fā)展歷程。文章從經(jīng)典統(tǒng)計能量分析(CSEA)方法入手詳細介紹了其演變?yōu)榭蓱糜诖蟛糠止こ虇栴}的多子系統(tǒng)耦合、非守恒的現(xiàn)代統(tǒng)計能量分析(SEA)眾多科研工作者所做的努力和貢獻。文章同時詳細介紹了統(tǒng)計能量分析方法各種參數(shù)的估算及測量方法以及在航天航空、車輛及船舶工程方面的成功應用實例，為從事SEA方面研究的研究人員提供一份盡可能全面的參考文獻，同時為初學者提供一份詳盡的入門資料。

經(jīng)過眾多科研工作者的多年努力，統(tǒng)計能量分析法及其工程應用有了長足發(fā)展，但尚有一些理論與應用方面的問題值得科研工作者進一步深入探索研究，主要有但不限于以下幾方面：

(1) 建立新的理論公式及實驗方法用于準確計算或測量復雜耦合系統(tǒng)的耦合損耗因子以提高各子系統(tǒng)間能量流及響應的計算精度，針對常用SEA應用對象如飛機艙室、船舶艙室及相鄰艙室傳遞能量路徑等的系統(tǒng)化建模方式和聲振特性預測方法；

(2) 有效結合有限元(FEA)及其它分析手段將統(tǒng)計能量分析方法拓展應用到中低頻段實現(xiàn)全頻域系統(tǒng)動力學響應分析，在保證高頻預測精度的同時針對不同模型進行合理簡化從而實現(xiàn)高效、精確的中低頻分析；

(3) 針對工作工況愈發(fā)復雜的現(xiàn)代工業(yè)環(huán)境，穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)確定激勵條件下復雜耦合系統(tǒng)振聲響應的統(tǒng)計能量分析方法是急需拓展的研究方向。