范新亮， 王 彤， 張麗君， 夏遵平

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016；2. 中車唐山機(jī)車車輛有限公司， 唐山 063000)

有限元模型修正首先在航空航天領(lǐng)域提出，發(fā)展至今日已形成了一個龐大的理論體系，并且在運(yùn)載火箭、衛(wèi)星、航天飛機(jī)、飛機(jī)和直升機(jī)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與載荷預(yù)示、顫振分析、振動控制均得到了廣泛的應(yīng)用[1]。模型修正方法按用以修正的試驗(yàn)數(shù)據(jù)不同可分為基于模態(tài)參數(shù)的方法[2-6]和基于頻響函數(shù)的方法[7-9]。Modak等[10-11]通過數(shù)值仿真詳細(xì)對比了兩種方法的差異及收斂性?；谀B(tài)參數(shù)的方法易受模態(tài)識別的影響而引入了誤差及不確定性；而基于頻響函數(shù)的方法則避免了提取模態(tài)參數(shù)帶來的誤差，且具有大量數(shù)據(jù)，對于解決待修正參數(shù)眾多的問題具有優(yōu)勢。然而，在大噪聲干擾下和初始頻響殘差較大時收斂困難、規(guī)模龐大的有限元模型修正效率低下等問題均制約著基于頻響函數(shù)的模型修正方法的進(jìn)一步發(fā)展。

為了提高頻域修正方法的收斂性，Pascual等[12-13]基于頻響相關(guān)性準(zhǔn)則，提出一種移頻方法，并利用分析和測試頻響相匹配的頻率點(diǎn)對應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，提高了參數(shù)的收斂速度及范圍。Gang等[14]在該方法基礎(chǔ)上引入偽自由度的概念解決測試頻響信息不足而導(dǎo)致收斂困難的問題。為了解決自由度數(shù)目龐大的有限元模型修正問題，常常需要引入模型縮聚方法將有限元自由度縮聚至測試自由度。而利用模型縮聚難以避免引入較大的近似誤差，Li等[15]通過迭代過程更新縮聚矩陣來減小縮聚引起的誤差。模型縮聚方法僅可利用測試自由度上的頻響信息的特點(diǎn)不利于收斂，Gang等提出將有限元模型縮聚到實(shí)測和用戶選擇的偽自由度上，從而增加了用于修正的頻響的自由度數(shù)目。但是利用模型縮聚的坐標(biāo)縮減方法引起的誤差依舊較大，且形成縮聚矩陣本身計(jì)算量也較大。因此又有學(xué)者研究了采用子結(jié)構(gòu)綜合技術(shù)對系統(tǒng)的自由度縮減后進(jìn)行模型修正的方法。Papadimitriou等[16]在貝葉斯模型修正技術(shù)的基礎(chǔ)上，利用模態(tài)綜合技術(shù)得到縮減的系統(tǒng)，并計(jì)算相應(yīng)的靈敏度，減小了修正的計(jì)算規(guī)模。王陶等[17]提出了基于改進(jìn)自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的結(jié)構(gòu)模型修正方法，通過子結(jié)構(gòu)綜合技術(shù)得到由攝動量表示的綜合系統(tǒng)方程和靈敏度方程，僅需對綜合方程進(jìn)行修正。然而對于頻響函數(shù)在綜合坐標(biāo)下的靈敏度以及如何對頻域的系統(tǒng)縮減后進(jìn)行模型修正的方法尚少有研究。

為此，本文提出一種基于縮減基的有限元模型頻響修正方法，將系統(tǒng)的位移表示為模態(tài)綜合縮減基或模態(tài)振型縮減基的線性疊加，從而將自然坐標(biāo)映射至縮減坐標(biāo)下，得到了縮減坐標(biāo)下的頻響函數(shù)殘差的靈敏度矩陣，使得修正過程均在縮減坐標(biāo)上進(jìn)行，相比利用模型縮聚將總體自由度映射至測試自由度上的方法，在計(jì)算效率及精度上均有所提高。同時引入移頻方法以增加收斂性，由原先的基于測試頻響的頻率點(diǎn)處的頻響殘差最小化改進(jìn)為基于所匹配的頻率點(diǎn)處的頻響殘差最小化；并基于模態(tài)展開式推導(dǎo)了精度較高的分段頻響擴(kuò)充方法，減小擴(kuò)充誤差對修正過程的影響。仿真算例和試驗(yàn)驗(yàn)證均表明該方法對于規(guī)模巨大的有限元模型能高效地得到穩(wěn)健的修正結(jié)果。

1 理論背景

1.1 模態(tài)綜合方法

圖1 薄板模型子結(jié)構(gòu)劃分

(1)

根據(jù)界面協(xié)調(diào)條件可得到系統(tǒng)自然坐標(biāo)下的總體位移向量u為

(2)

其中Bs為子結(jié)構(gòu)的約束模態(tài)集及主模態(tài)集所組成的Φ經(jīng)坐標(biāo)變換矩陣T、S作用后的綜合基

Bs=TΦS

(3)

(4)

式中，M、K、C、f分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷向量。式(2)代入式(4)推導(dǎo)得到系統(tǒng)在模態(tài)綜合坐標(biāo)下的運(yùn)動方程為

(5)

1.2 基于模態(tài)綜合縮減基的修正方法

假設(shè)系統(tǒng)的真實(shí)參數(shù)為p*，對應(yīng)系統(tǒng)矩陣分別為MT、KT、CT，由式(5)在綜合坐標(biāo)下有頻域公式

(6)

類似地，假設(shè)有限元模型的初始參數(shù)為p，有：

(7)

(8)

(9)

取DT=DF+ΔD代入式(8)，其中ΔD為動剛度矩陣的修正量可得到

(10)

與文獻(xiàn)[14]類似，可推導(dǎo)得到進(jìn)行頻率點(diǎn)匹配后的迭代修正方程

(11)

(12)

(13)

(14)

假設(shè)有限元模型按材料參數(shù)分為Np個組，則可以將ΔD(ω)表示為

γeKe)

其中：Me、Ke為單元質(zhì)量、剛度矩陣，αe、γe為單元質(zhì)量、剛度矩陣修正系數(shù)增量；Ce、De為單元阻尼矩陣，βe為單元阻尼矩陣修正系數(shù)。將該式代入式(14)可得到系統(tǒng)參數(shù)識別方程

(15)

其中θ為αe、βe、γe組成的待識別的修正參數(shù)增量，系數(shù)矩陣S為

(16)

(17)

式(15)即為利用模態(tài)綜合縮減基轉(zhuǎn)換至模態(tài)綜合坐標(biāo)下的頻域模型修正公式。

1.3 基于模態(tài)振型縮減基的修正方法

由頻響模態(tài)展開式

(18)

式中：Φ為系統(tǒng)的模態(tài)振型;Λ為系統(tǒng)特征值;E為單位矩陣;下標(biāo)l與h分別代表系統(tǒng)的低階模態(tài)與高階模態(tài)。將式(18)右乘ej并展開得到

(19)

由式(19)知任意一列頻響可通過系統(tǒng)的模態(tài)振型疊加而得。即測試頻響可以用實(shí)際系統(tǒng)的完備低階模態(tài)作為基底進(jìn)行表示。而實(shí)際系統(tǒng)的完備低階模態(tài)無法得到，因此以有限元模型的完備低階模態(tài)進(jìn)行代替。由式(19)，取擬合式

(20)

(21)

其中上標(biāo)*表示測試自由度對應(yīng)分量，由式(20)、(21)得到擴(kuò)充后測試頻響

(22)

與式(19)類似，取測試頻響及有限元頻響為

(23)

自然坐標(biāo)下基于移頻的頻響直接矩陣方法的公式為

(24)

式(23)代入式(24)簡化得到

(25)

(26)

式(26)即為利用模態(tài)振型縮減基轉(zhuǎn)換至模態(tài)坐標(biāo)下的頻域模型修正公式，與式(14)形式一致，通過1.2節(jié)類似推導(dǎo)可得其迭代方程。將基于模態(tài)綜合縮減基或模態(tài)振型縮減基的方法統(tǒng)稱為縮減基方法。

1.4 算法實(shí)現(xiàn)相關(guān)問題

1.4.1 縮減基與模型縮聚的對比

應(yīng)用最廣泛的IRS縮聚(improved reduced system)方法，其縮聚矩陣為[18]

(27)

對于1.3節(jié)中轉(zhuǎn)換至模態(tài)坐標(biāo)下和通過模型縮聚轉(zhuǎn)換至測試坐標(biāo)下的修正方法，可以分別理解為以有限元模型的低階模態(tài)矩陣ΦF,l和特定的縮聚方法得到的基Td代替式(2)中的模態(tài)綜合基矩陣Bs，而后進(jìn)行與1.2節(jié)相同的推導(dǎo)得到與式(15)形式完全相同的修正公式，即

(28)

(29)

值得注意的是，三種方法無一例外需要以有限元模型的基矩陣代替相應(yīng)真實(shí)系統(tǒng)的基矩陣，帶來了近似誤差，因此三種基矩陣在近似誤差的差異上的比較也成為判斷其優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。雖在數(shù)學(xué)上難以證明，但在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)多數(shù)情形下基于模態(tài)綜合縮減基或模態(tài)振型縮減基的方法的近似誤差要小于模型縮聚方法，尤其當(dāng)測點(diǎn)較少時，模型縮聚方法的誤差會急劇增加。以某模型為例，圖2表示分別以三種有限元基矩陣代替真實(shí)系統(tǒng)的基矩陣所形成的坐標(biāo)下動剛度矩陣求解的頻響與真實(shí)系統(tǒng)的理論頻響的幅值相關(guān)性。可見相同情況下，基于縮減基的方法的近似誤差要遠(yuǎn)小于模型縮聚方法。

圖2 三種方法所計(jì)算頻響與理論頻響幅值相關(guān)性對比

1.4.2 基矩陣的迭代更新

subject topL≤p≤pU

(30)

根據(jù)上一小節(jié)的分析，以有限元模型的基矩陣代替真實(shí)系統(tǒng)的基矩陣將帶來近似誤差。文獻(xiàn)[15]通過迭代中不斷更新縮聚矩陣Td的方法減小了模型縮聚方法中該誤差對待修正參數(shù)識別的影響。因此本文方法中每一個迭代步以上一步修正后的有限元模型更新的縮減基矩陣來代替真實(shí)系統(tǒng)的基矩陣，隨著有限元模型參數(shù)逼近真實(shí)參數(shù)時，該近似誤差得以消除。

1.4.3 寬頻帶頻響擴(kuò)充方法

如圖3所示，通過選擇模態(tài)指示函數(shù)的半功率帶寬內(nèi)的頻率點(diǎn)可以得到測試頻響函數(shù)的分段：

圖3 測試頻響函數(shù)分段

(31)

(32)

2 算例分析

2.1 仿真算例

采用Garteur飛機(jī)仿真模型驗(yàn)證本文方法的收斂性及迭代速度。有限元模型劃分為5個區(qū)域，如圖4所示。每個區(qū)域的彈性模量、密度及阻尼系數(shù)作為待修正參數(shù)，共計(jì)15個參數(shù)。分別在無噪聲和20%噪聲水平下采用本文方法進(jìn)行修正。有限元模型劃分為3個子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)綜合。自然坐標(biāo)下模型的自由度為99 798，模態(tài)綜合坐標(biāo)下模型自由度僅為582，有效減小了修正過程的矩陣運(yùn)算規(guī)模。

圖4 Garteur飛機(jī)有限元模型子結(jié)構(gòu)劃分

2.1.1 無噪聲下頻響修正

將待修正參數(shù)向量的某組數(shù)值作為真實(shí)參數(shù)值，計(jì)算其有限元模型頻響作為仿真測試頻響；取上下界為真實(shí)參數(shù)值70%～130%的變化范圍對該組數(shù)值進(jìn)行攝動得到有限元模型修正前的初始參數(shù)，計(jì)算其頻響得到初始分析頻響。初始分析頻響與仿真測試頻響對比如圖5所示，其相關(guān)性較小，殘差較大。

圖5 修正前初始分析頻響與測試頻響對比

如圖6、圖7所示為經(jīng)過3個迭代步修正后的分析頻響與測試頻響，相關(guān)性有了很好的改善。理論上在無噪聲情形下修正后的參數(shù)將與真實(shí)參數(shù)完全一致，但由于擴(kuò)充頻響過程產(chǎn)生的誤差、自由度縮減過程的假設(shè)帶來的誤差是等效的頻響噪聲，對參數(shù)識別的過程同樣產(chǎn)生了擾動。在模態(tài)綜合坐標(biāo)下，單個迭代步運(yùn)行時間僅為220 s左右；而自然坐標(biāo)下則需要2 400 s(硬件信息：CPU-Intel i5 7300HQ，RAM-8G，OS-Windows 10 Pro，SSD-intel 256 G)?？梢娀谀B(tài)綜合縮減基的方法在保證參數(shù)收斂性的前提下，有效提高了模型修正的效率。

圖6 修正后分析頻響與測試頻響對比

圖7 修正前后分析頻響與理論測試頻響幅值相關(guān)性對比

2.1.2 20%噪聲水平下頻響修正

初始待修正參數(shù)設(shè)置同2.1.1節(jié)。如圖8所示，仿真測試頻響添加20%的噪聲，以驗(yàn)證基于模態(tài)綜合縮減基的方法在大噪聲情形下的修正精度。

圖8 修正前初始分析頻響與測試頻響對比

在大噪聲情形下，經(jīng)過10個迭代步修正后達(dá)到收斂，除第6階模態(tài)對應(yīng)頻帶外，其余頻帶的修正后分析頻響與測試頻響相關(guān)性有了很好的改善，如圖9、圖10所示?？梢娫诖笤肼暩蓴_下，基于模態(tài)綜合縮減基的方法收斂性仍較好。若采用基于模態(tài)振型縮減基的方法，取80階有限元模態(tài)作為坐標(biāo)變換基矩陣，模態(tài)坐標(biāo)下模型自由度為80，單步迭代所需時間僅為180秒，且修正精度與基于模態(tài)綜合縮減基的方法類似。

圖9 修正后分析頻響與測試頻響對比

圖10 修正前后分析頻響與理論測試頻響幅值相關(guān)性對比

2.2 試 驗(yàn)

以某型列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架作為試驗(yàn)對象，進(jìn)行多參考點(diǎn)錘擊試驗(yàn)，采用N-Modal模態(tài)參數(shù)識別軟件識別試驗(yàn)結(jié)果。從測試角度，測點(diǎn)布置應(yīng)清晰地反映出各階振動形態(tài)，參考點(diǎn)布置需要考慮到避開各階振型的節(jié)點(diǎn)；從模型修正角度，布置盡可能完備的測點(diǎn)不僅能有效提高擴(kuò)充精度，且能有效反映有限元模型與測試模型的振動形態(tài)差異，所修正的有限元模型亦愈逼近真實(shí)模型。如圖11所示。

圖11 試驗(yàn)結(jié)構(gòu)與測試設(shè)備

有限元模型劃分為10個區(qū)域，如圖12所示。每個區(qū)域的彈性模量、密度及阻尼系數(shù)作為待修正參數(shù)，共計(jì)30個參數(shù)。由于構(gòu)架為焊接的一體化結(jié)構(gòu)，其各個區(qū)域之間焊縫厚度的不確定性以及焊接區(qū)域的力學(xué)性質(zhì)的未知導(dǎo)致了有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)相差較大。同時，數(shù)目眾多的待修正參數(shù)均給模型修正帶來了較大的難度。設(shè)置初始待修正參數(shù)后計(jì)算得到初始分析頻響，其中某些測試自由度的初始分析頻響與測試頻響對比如圖13所示，其頻響相關(guān)性較小。

圖12 構(gòu)架有限元模型子結(jié)構(gòu)劃分

圖13 修正前初始分析頻響與測試頻響對比

有限元模型劃分為3個子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)綜合。自然坐標(biāo)下模型的自由度為181 356，模態(tài)綜合坐標(biāo)下模型自由度僅為1 830，大大減小了修正過程的矩陣運(yùn)算規(guī)模。如圖14、15所示，采用基于模態(tài)綜合縮減基的方法進(jìn)行修正，通過若干迭代步后，修正后分析頻響與測試頻響相關(guān)性有了很好的改善。

檢驗(yàn)修正前后的模態(tài)頻率變化，如表1所示，修正前后平均頻率誤差由12.72%降低至0.61%。因此，基于模態(tài)綜合縮減基的方法不僅在初始分析頻響與測試頻響相關(guān)性較差、待修正參數(shù)較多、具有較大測試噪聲干擾等情況下收斂性較好，且有效提高了模型修正的效率。若采用基于模態(tài)振型縮減基的方法，取80階有限元模態(tài)作為坐標(biāo)變換基矩陣，模態(tài)坐標(biāo)下模型自由度為80，修正精度與基于模態(tài)綜合縮減基的方法類似。

圖14 修正后分析頻響與測試頻響對比

圖15 修正前后分析頻響與測試頻響幅值相關(guān)性對比

表1 修正后各階頻率對比

3 結(jié) 論

針對規(guī)模巨大的有限元模型，本文提出了基于縮減基的頻域有限元模型修正方法，通過數(shù)值算例與試驗(yàn)結(jié)構(gòu)的模型修正表明：

(1) 對于自由度高達(dá)幾十萬的有限元模型，利用模態(tài)綜合縮減基或模態(tài)振型縮減基可以有效減小矩陣運(yùn)算規(guī)模，提高修正算法的計(jì)算效率。

(2) 在測試噪聲較大、初始分析頻響與測試頻響殘差較大、待修正參數(shù)較多等復(fù)雜情形下，本文方法仍具有較好的收斂性。

(3) 轉(zhuǎn)向架模型修正中，本文方法修正后的分析頻響與測試頻響的相關(guān)性有較大的提高，這對實(shí)際結(jié)構(gòu)在較復(fù)雜情形下的大型有限元模型修正具有一定的意義。