王海東

【摘要】羅素悖論的產(chǎn)生原因在于沒(méi)有將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象.羅素悖論的排除方法在于將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，要想將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，就必須在集合論中引入自我歸屬定理.

【關(guān)鍵詞】羅素悖論;屬于關(guān)系;自我歸屬定理

一個(gè)“幽靈”在集合論中徘徊.這個(gè)幽靈就是羅素悖論.

羅素悖論：是指屬于一個(gè)集合的元素不屬于自己，或?qū)儆谧约旱脑夭粚儆谝粋€(gè)集合.二者必居其一.

羅素悖論可以用以下公式表示：

xy（y∈xyy∨y∈yyx）

從這個(gè)公式來(lái)看，如果羅素悖論成立，那么屬于一個(gè)集合的元素不屬于自己，包含這個(gè)元素的集合也不屬于自己了.因?yàn)?，在集合論的邏輯推理過(guò)程中，任何一個(gè)集合都有可能被定義為另一個(gè)集合的元素.這樣一來(lái)，集合論就產(chǎn)生了一個(gè)集合都不屬于自己的邏輯矛盾.

有人認(rèn)為，集合論公理系統(tǒng)（ZFC）能夠從集合論中排除羅素悖論.因?yàn)?，集合論公理系統(tǒng)（ZFC）包括外延公理、配對(duì)公理、并集公理、冪集公理、無(wú)窮公理、概括公理、替換公理、正則公理、選擇公理等九個(gè)公理.

外延公理可以用以下公式表示：

xy（x=yz（z∈xz∈y））

配對(duì)公理可以用以下公式表示：

xyz（z=（x，y））

并集公理可以用以下公式表示：

xy（y=∪x=（a|b（b∈x∧a∈b）））

冪集公理可以用以下公式表示：

xy（y=p（x）=（a|ax））

無(wú)窮公理可以用以下公式表示：

x（（a（a∈x））∧（y（y∈x→y∪{y}∈x）））

概括公理可以用以下公式表示：

yxz（y∈xy∈z∧p（y））

替換公理可以用以下公式表示：

uvw（φ（u，v）∧φ（u，w）→v=w）→xy（y=（v|u（u∈x∧φ（u，v））））

正則公理可以用以下公式表示：

x（x≠φ→y（y∈x∧x∩y=φ））

選擇公理可以用以下公式表示：

x（φxf：x→∪x=a（a∈x（f（a）∈a））

在這九個(gè)公理中，概括公理就是針對(duì)羅素悖論提出的一個(gè)公理.因?yàn)楦爬ü硪?guī)定了集合概念的概括方法，所以概括公理限制了任意規(guī)定集合概念的現(xiàn)象.因?yàn)楦爬ü硐拗屏巳我庖?guī)定集合概念的現(xiàn)象，所以概括公理消除了形成羅素悖論的可能性.又因?yàn)楦爬ü硐诵纬闪_素悖論的可能性，所以概括公理就把羅素悖論從集合論中排除出去了.

但是，實(shí)際情況并非如此.即使有了概括公理，我們?nèi)匀幌涣诵纬闪_素悖論的可能性.不管我們?cè)鯓釉诩险撝袚]舞概括公理的“保護(hù)傘”，羅素悖論的陰影仍然神出鬼沒(méi)、無(wú)處不在.因?yàn)椋覀兛梢詮母爬ü碇型瞥鲆韵鹿剑?/p>

yxz（y∈xy∈z∧p（x）z∈p（y）y∈p（y）yy）

從這個(gè)公式來(lái)看，概括公理只是把羅素悖論從一個(gè)集合推向了另一個(gè)集合.如果這樣推下去，羅素悖論將會(huì)出現(xiàn)在所有集合之中.

由此可見(jiàn)，概括公理不僅沒(méi)有把羅素悖論從集合論中排除出去，還把羅素悖論從集合論帶進(jìn)了集合論公理系統(tǒng)（ZFC）.因?yàn)?，出現(xiàn)在概括公理之中的羅素悖論，同樣可以出現(xiàn)在其他八個(gè)公理之中.

我們可以從外延公理中推出以下公式：

xy（x=yz（z∈xz∈y）zz）

我們可以從配對(duì)公理中推出以下公式：

xyz（z=（x，y）（x∈z，y∈z）（xx，yy））

我們可以從并集公理中推出以下公式：

xy（y=∪x=（a|b（（b∈xbb）∧（a∈baa））））

我們可以從冪集公理中推出以下公式：

xy（y=p（x）=（a|axa∈xaa））

我們可以從無(wú)窮公理中推出以下公式：

x（（a（a∈xaa））∧（y（（y∈xyy）→（y∪{y}∈x））））

我們可以從替換公理中推出以下公式：

uvw（φ（u，v）∧φ（u，w）→v=w）→xy（y=（v|u（（u∈xuu）∧φ（u，v））））

我們可以從正則公理中推出以下公式：

x（x≠φ→y（（y∈xyy）∧x∩y=φ））

我們可以從選擇公理中推出以下公式：

x（φxf：x→∪x=a（a∈x（f（a）∈a）aa））

從這些公式來(lái)看，集合論公理系統(tǒng)（ZFC）如同一個(gè)包含羅素悖論的公理系統(tǒng).這個(gè)包含羅素悖論的公理系統(tǒng)肯定不是一個(gè)合理的公理系統(tǒng)，所以集合論公理系統(tǒng)（ZFC）的合理性將會(huì)受到嚴(yán)重質(zhì)疑.

那么，怎樣才能從集合論中排除羅素悖論呢？顯然，要想從集合論中排除羅素悖論，就必須找到羅素悖論的產(chǎn)生原因.只有找到羅素悖論的產(chǎn)生原因，才能找到羅素悖論的排除方法.只有找到羅素悖論的排除方法，才能從集合論中排除羅素悖論.

那么，怎樣才能找到羅素悖論的產(chǎn)生原因呢？顯然，要想找到羅素悖論的產(chǎn)生原因，就必須從集合論的一個(gè)二元關(guān)系說(shuō)起.這個(gè)二元關(guān)系就是在規(guī)定集合概念的數(shù)學(xué)公式中必須闡明的屬于關(guān)系.屬于關(guān)系就是某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象屬于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的二元關(guān)系.

從屬于關(guān)系來(lái)看，當(dāng)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象屬于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的時(shí)候，這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象就被包含在另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之中了.因此，屬于關(guān)系可以被理解為包含關(guān)系.包含關(guān)系就是某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象包含另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的二元關(guān)系.但是，屬于關(guān)系不僅可以被理解為包含關(guān)系，而且還可以被理解為等于關(guān)系.等于關(guān)系就是某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象等于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的二元關(guān)系.包含關(guān)系可以推廣到等于關(guān)系.當(dāng)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象等于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的時(shí)候，這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象就如同被包含在另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之中了.這種推廣到等于關(guān)系的包含關(guān)系稱為包含等于關(guān)系.包含等于關(guān)系就是某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象包含等于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的二元關(guān)系.

由于屬于關(guān)系有兩種理解方法，所以羅素悖論也有兩種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).如果我們把屬于關(guān)系理解為包含關(guān)系，羅素悖論就是一個(gè)可以成立的悖論.如果我們把屬于關(guān)系理解為等于關(guān)系，羅素悖論就是一個(gè)不能成立的悖論.

由此可見(jiàn)，羅素悖論隱含著一個(gè)理論假設(shè)：某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象既可以屬于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，也可以屬于某些包含另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)對(duì)象，但是不能屬于任何一個(gè)不包含另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)對(duì)象.這個(gè)理論假設(shè)稱為羅素假設(shè).羅素假設(shè)就是羅素悖論的理論依據(jù).羅素悖論就是根據(jù)羅素假設(shè)提出的.

那么，羅素假設(shè)是否可以成立呢？顯然，如果羅素假設(shè)可以成立，我們不僅可以從中推出羅素悖論，而且可以從中推出羅素悖論的悖論.

羅素悖論的悖論可以用以下公式表示：

xyz（y∈xyyy∈zz∈xzzz∈yy∈x…）

從這個(gè)公式來(lái)看，如果屬于一個(gè)集合的元素不屬于自己，這個(gè)元素就屬于另一個(gè)元素了.如果這個(gè)元素屬于另一個(gè)元素，屬于一個(gè)集合的元素就不是這個(gè)元素了.按照這個(gè)推論不斷推導(dǎo)下去，我們會(huì)陷入一個(gè)永無(wú)止境的循環(huán)推理過(guò)程.在這個(gè)永無(wú)止境的循環(huán)推理過(guò)程中，每一個(gè)羅素悖論都會(huì)遭到下一個(gè)羅素悖論的否定.

由此可見(jiàn)，羅素假設(shè)是不能成立的，所以羅素悖論也是不能成立的.

但是，問(wèn)題并沒(méi)有到此結(jié)束.因?yàn)?，羅素假設(shè)不能成立并非意味著羅素假設(shè)絕對(duì)不能成立.羅素假設(shè)在一定條件下是可以成立的.這個(gè)假設(shè)是否成立是由某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的自身存在決定的.如果羅素假設(shè)不涉及某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的自身存在，羅素假設(shè)就是一個(gè)可以成立的假設(shè).羅素假設(shè)如果涉及某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的自身存在，就是一個(gè)不能成立的假設(shè).

那么，這個(gè)成立條件又是怎樣形成的呢？顯然，要想回答這個(gè)問(wèn)題，就必須從屬于關(guān)系說(shuō)到等價(jià)關(guān)系.等價(jià)關(guān)系也是集合論中的一個(gè)二元關(guān)系.這個(gè)二元關(guān)系具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性三個(gè)基本特征.

自反性可以用以下公式表示：

a=a

對(duì)稱性可以用以下公式表示：

a=b，b=a

傳遞性可以用以下公式表示：

a=bb=ca=c

如果上述三個(gè)公式都可以成立，等價(jià)關(guān)系可以用以下公式表示：a～b

由此可見(jiàn)，等價(jià)關(guān)系是從等于關(guān)系中推導(dǎo)出來(lái)的.只要把屬于關(guān)系理解為等于關(guān)系，我們就可以將自反性、對(duì)稱性和傳遞性納入屬于關(guān)系.只要將自反性、對(duì)稱性和傳遞性納入屬于關(guān)系，我們就可以使屬于關(guān)系成為一種等價(jià)關(guān)系.

屬于關(guān)系的自反性可以用以下公式表示：

a∈a

屬于關(guān)系的對(duì)稱性可以用以下公式表示：

a∈b，b∈a

屬于關(guān)系的傳遞性可以用以下公式表示：

a∈bb∈ca∈c

這樣一來(lái)，我們就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理：在屬于關(guān)系成為一種等價(jià)關(guān)系的條件下，某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在屬于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的同時(shí)，不僅可以屬于某些包含另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)對(duì)象，而且可以屬于一個(gè)不包含另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)對(duì)象.這個(gè)不包含另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)對(duì)象就是這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的自身存在.這個(gè)數(shù)學(xué)定理就是自我歸屬定理.

我們可以用以下公式證明自我歸屬定理：

已知

p∈q，

又知

p=pp（p∈pp=p）;

q=qq（q∈qq=q）

因此

pp（p∈pp=p）∈qq（q∈qq=q）.

證畢.

從這個(gè)證明過(guò)程來(lái)看，某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在屬于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之前就已經(jīng)屬于自身存在了.某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象只有在屬于自身存在的條件下才能屬于另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象.這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象如同發(fā)生在我們身邊的一種社會(huì)現(xiàn)象.在這種社會(huì)現(xiàn)象中，我們每一個(gè)人只有在屬于自己的條件下才能屬于一個(gè)社會(huì)組織，才能使自己成為一個(gè)社會(huì)組織的合法成員.除非這個(gè)社會(huì)組織是一個(gè)奴隸制的社會(huì)組織.因?yàn)?，在一個(gè)奴隸制的社會(huì)組織中，奴隸主屬于自己而奴隸不屬于自己.這種不屬于自己的人只能被視為奴隸主的一種財(cái)產(chǎn)，而不能被視為這個(gè)社會(huì)組織的合法成員.

由此可見(jiàn)，如果將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，任何兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的屬于關(guān)系都不會(huì)產(chǎn)生羅素悖論.如果不將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，任何兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的屬于關(guān)系都會(huì)產(chǎn)生羅素悖論.

綜上所述，羅素悖論的產(chǎn)生原因在于沒(méi)有將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，羅素悖論的排除方法在于將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象.要想將每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都視為屬于自身存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，就必須在集合論中引入自我歸屬定理.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王元，文蘭，陳木法.數(shù)學(xué)大辭典[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[2]馮琦著.集合論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，2019.

[3]石純一.數(shù)理邏輯與集合論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.

[4]汪芳庭.數(shù)理邏輯.[M]北京：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2010.