李丹 王俊亮

摘要：小學(xué)階段，平面圖形的定義往往以靜態(tài)的描述為主，而無論是空間觀念的培養(yǎng)，還是圖形意識的形成，都需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、抽象、想象和描述等活動，并在活動中形成對平面圖形本質(zhì)的認(rèn)識。小學(xué)階段平面圖形的教學(xué)，應(yīng)緊扣教材“靜態(tài)”定義，輔以操作性的“運動”視角：靜中求動，在“動”中建構(gòu)概念;動中取靜，在“靜”中突出本質(zhì);動靜結(jié)合，在“用”中融會貫通。

關(guān)鍵詞：平面圖形;概念教學(xué);動態(tài);靜態(tài)

“平面圖形”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程“圖形與幾何”領(lǐng)域中非常重要的一部分內(nèi)容。現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材對平面圖形的定義往往以描述性語言為主：給出若干生活中的實物圖，從中抽取某些圖形，然后明確“像這樣的圖形就是……”。這樣靜態(tài)的描述性定義不能凸顯圖形的性質(zhì)以及知識之間的聯(lián)系。教學(xué)中，可“靜中求動”“動中取靜”“動靜結(jié)合”，幫助學(xué)生建構(gòu)平面圖形概念。

一、靜中求動：在“動”中直觀建構(gòu)

嚴(yán)格而言，有關(guān)圖形的概念是提煉到抽象層面的數(shù)學(xué)對象，這樣的概念是一種理念上的存在。而高度抽象的概念對于小學(xué)生而言是難以理解的，不能讓學(xué)生很好地感受這些概念的本質(zhì)。小學(xué)生對平面圖形的認(rèn)識仍然以感性認(rèn)知為主、抽象思維為輔。對此，與其讓學(xué)生“說千遍”，不如讓他們“做一遍”，在“動”中經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程，建構(gòu)完整、準(zhǔn)確、“有血有肉”的平面圖形概念。

例如，“射線”和“直線”都是無限長的，是純數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，在現(xiàn)實生活中缺乏有效的直觀形象支撐，諸如探照燈、鐵軌等都是用有限比喻無限，不能真的達(dá)到無限。同時，學(xué)生對于“直線”和“射線”的表達(dá)只能在有限的紙面上，在有限中表示無限，這對學(xué)生的符號化能力有著較高的要求。于是，教學(xué)“射線、直線和線段的認(rèn)識”這部分內(nèi)容時，可借助平移運動讓學(xué)生經(jīng)歷從點到線的過程。

師（在黑板上畫一個點）看！這是一個點。如果把這個點向右平移，并保留每個位置上的點，你會看到什么？

生這些點連成了一條線段。

師你怎么知道它能連成一條線段的？

生以前學(xué)過，直直的、有兩個端點的就是一條線段。

師如果這個點繼續(xù)往右平移并保留每個位置上的點呢？

生那將會是一條特別長的線段。

師想象一下，如果這個點一直往右平移，那它還是一條線段嗎？

生我覺得不是線段。因為雖然有的線段很長，但還是能測量出長度;如果這個點一直往右延伸的話，我們就無法測量出它的長度了。

師是的，所以當(dāng)線段的一端無限延伸，就不是線段了，它有一個新的名字：射線。說說看，你覺得射線是什么樣的？

生把線段的一端無限延長。

師如果兩端都無限延伸，它還是射線嗎？

生應(yīng)該不是了。

生那就是直線了。

師你說得沒錯，這是直線。（課件顯示線段、射線、直線圖）比較一下射線、直線和線段，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？

生它們都是直直的。

生線段有兩個端點，射線有一個端點，而直線沒有端點。

生射線和直線，都可以無限延伸。只不過射線是往一端無限延伸，而直線可以往兩端無限延伸。

生我感覺直線最長，射線其次，線段最短。

生線段是可以測量出長度的，但是我們沒有辦法測量出射線和直線的長度，所以無法比較它們的長度。

生直線、射線、線段很像，都是直的。從直線當(dāng)中截取一部分就能得到射線和線段;也可以把線段的一端無限延伸得到射線，兩端無限延伸得到直線。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種自主的、能動的、有意義的建構(gòu)過程。而經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成的過程，有助于學(xué)生形成知識的整體建構(gòu)。學(xué)生學(xué)習(xí)圖形，并不是一味地識記圖形的形狀、名稱、性質(zhì)或量的計算公式，而要通過具體的操作活動去感知、發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)正確的空間形式和關(guān)系。從“線”的概念特質(zhì)出發(fā)，直線和射線都是動態(tài)的概念?！盁o限延伸”也是動態(tài)的，它指向“一端”或“兩端”的永無止境的向前延伸，畫出來的、表示出的直線和射線永遠(yuǎn)只是一部分。因而，把原本教材中和生活中靜態(tài)的“直線”“射線”“線段”都看成“點”的平移運動的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生想象“如果這個點一直往右平移會怎么樣”，由此感受到“線”是“點”的移動軌跡?；o為動，讓學(xué)生經(jīng)歷直線、射線、線段的產(chǎn)生過程，于動態(tài)的情境中建構(gòu)直觀的概念。

二、動中取靜：在“靜”中突出本質(zhì)

圖形的運動是研究圖形性質(zhì)和探索圖形面積計算的重要工具。在平面圖形概念中，常常會遇到一個概念有著多種形狀和位置。以“角”為例，把角看作射線圍繞頂點旋轉(zhuǎn)出來的圖形，角的大小就可以看作運動過程中的連續(xù)變量。在這個動態(tài)的過程中，會產(chǎn)生銳角、直角、鈍角、平角、周角等許多相關(guān)的子概念，并且它們表現(xiàn)出的非本質(zhì)屬性各不相同。教師在教學(xué)中需要“削枝強干”“動中取靜”，突出圖形概念的本質(zhì)屬性。

例如，教學(xué)“三角形的面積計算”時，教師讓學(xué)生通過對三角形的紙片進(jìn)行操作，探究三角形面積的計算方法。

師同學(xué)們都是怎么計算三角形面積的？

生（展示方法，如下頁圖1）我把兩個一模一樣的三角形拼成一個平行四邊形，兩個三角形的底就是平行四邊形的上底和下底，三角形的高就是平行四邊形的高，所以求出平行四邊形的面積后除以二就是三角形的面積。

生（展示方法，如圖2）我把三角形橫著從中間（中位線）分成兩半，然后把上面的小三角形豎著分成兩半，再旋轉(zhuǎn)一下拼成一個長方形。長方形的長是三角形的底，長方形的寬是三角形高的一半，所以三角形的面積就是底乘高的一半。

生（展示方法，如圖3）我是在三角形內(nèi)部畫一條高，把這個三角形分成兩個小三角形。然后，再過三角形的頂點畫出三角形底邊的平行線和高的兩條平行線，這樣一連就是長方形。從圖上我們看到左邊小三角形的面積是左邊小長方形面積的一半，右邊小三角形的面積是右邊小長方形面積的一半，合起來就是長方形面積的一半，長方形的底是三角形的底，長方形的高是三角形的高，所以三角形的面積就是底乘高除以二。

師大家的方法有很多，這么多種方法之間有什么共同之處呢？

生無論是什么方法，求三角形的面積都是把三角形的底和高相乘再除以二。

生他們都是把三角形剪一剪、拼一拼，或是補一補，轉(zhuǎn)化成長方形或者平行四邊形，然后再用這些圖形的面積除以二。

生我覺得這里都是把沒有學(xué)過的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，然后再找到它們之間的關(guān)系，算出新圖形的面積。

……

對于剛剛進(jìn)入多邊形面積學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，利用圖形的運動展開空間想象是具有一定的學(xué)習(xí)難度的?！皠印本哂胁淮_定性，學(xué)生不好把握，怎樣突破“動”帶來的多樣變化產(chǎn)生的不確定性呢？小學(xué)生對圖形的認(rèn)知遵循著“直覺動作思維—直觀表象思維—抽象邏輯思維”的規(guī)律，于是，教師設(shè)計學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生借助實驗操作，展開自主研究。學(xué)生利用圖形的變化，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長方形，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形的面積公式。這個過程是動態(tài)的，而為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)動態(tài)過程中不變的規(guī)律，需要抓住平面圖形概念的“邊界”，讓它“靜”下來。教師利用板書、課件以及學(xué)生自己的作品，定格住操作過程中的關(guān)鍵片段，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“求三角形的面積都是把三角形的底和高相乘再除以二”“都是把沒有學(xué)過的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形”。

平面圖形概念教學(xué)，通過“動”能夠多元地、直觀地呈現(xiàn)出知識本身的結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解概念;而“靜”下來的片段更有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、對比，發(fā)現(xiàn)背后的規(guī)律。教師需要以核心問題串聯(lián)起整個學(xué)習(xí)活動，“動”中取“靜”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“運動”背后那不變的真理，強化對知識本質(zhì)的理解。

三、動靜結(jié)合：在“用”中融會貫通

數(shù)學(xué)對象是明確定義的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)結(jié)論又是按照相應(yīng)的定義與給定的推理規(guī)則進(jìn)行推理的結(jié)果，因此，數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)就完全反映于它們的相互關(guān)系。這也是指數(shù)學(xué)對象的建構(gòu)實際上是一種整體性的建構(gòu)活動。教師需要以整體的視野，采用“動靜結(jié)合”的方法，確定教學(xué)目標(biāo)，預(yù)設(shè)教學(xué)過程。在教學(xué)中還要注意從知識體系和學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)等多方面理清各平面圖形的核心概念和學(xué)習(xí)過程，使得不同年級平面圖形的學(xué)習(xí)連貫一致又各有側(cè)重，循序漸進(jìn)又不脫節(jié)。

例如，為了讓二年級學(xué)生真正認(rèn)識角，教師在觀察“靜態(tài)角”的基礎(chǔ)上，從“運動”的角度展開了如下教學(xué)：

（教師課件展示圖4所示的角的教具，要求學(xué)生指出角的頂點和邊。）

師要想讓這個角變得更大一些，可以怎么做呢？請你從材料袋中選擇合適的材料，自己動手試一試。

（學(xué)生活動。教師選擇學(xué)生作品交流。）

師（出示圖5）老師把小明同學(xué)的作品拍了下來，請同學(xué)們看看，角變大了嗎？你是怎么想的？

生變大了。

（不少學(xué)生點頭附和。）

生我覺得角并沒有變大，他只是把這個角的邊延長了，（用手在角的兩邊之間畫出一道圓弧）角的大小是看這個地方。

師你們聽懂他的意思了嗎？

生他的意思是，這個角和原來的那個角（用手比畫）這個地方是一樣大的，只是邊延長了。

師哦，老師明白你們的意思了，（用手比畫）角是看這里的。這兩個角這里是一樣大的，你們同意嗎？這樣吧，我們來比一比這兩個角。（手持兩個角，緩慢靠近至重合）看，它們一樣大嗎？

生（齊）一樣大。

師如果我們把這個角的兩條邊再延長一點呢？

生還是跟原來的角一樣大。

師如果再延長呢？一直延長到100米、1000米、10000米……呢？

生（齊）還是一樣大。

生不管怎么延長，因為兩條邊叉開的大小不變，角還是原來那么大。

師是的。角的兩條邊叉開的大小不變，不管怎么延長邊，角的大小都是不變的。那如果縮短呢？自己想一想、試一試，再和同桌說一說。

生我覺得不管邊怎么縮短，角的大小也是不變的。

師也就是說，不管邊是延長還是縮短，只要角的兩條邊叉開的大小不變，角的大小都是不變的。那怎么才能讓這個角更大呢？請你來演示給我們看一看。

（學(xué)生把活動角的兩條邊向外拉。）

師變大了嗎？我們來比一比。

（教師手持兩個角，緩慢靠近。）

生（齊）變大了。

師那怎么變小呢？

生（邊說邊操作）把它的兩邊向里面慢慢地收。

師是啊，生活中這樣的現(xiàn)象也不少見呢，我們來一起看一看吧。

（教師出示鬧鐘的指針走動、扇子開合、剪刀開合等的動態(tài)圖。）

“動態(tài)角”從不同于“靜態(tài)角”的層面揭示了角的本質(zhì)內(nèi)涵，反映兩個方向（兩條射線）的差異。通過“旋轉(zhuǎn)”，學(xué)生一步步感受到角的兩條邊位置的變化所帶來的角的大小的變化，豐富了對角的認(rèn)識。同時，在“動態(tài)角”的操作過程中，學(xué)生還經(jīng)歷了銳角、直角、鈍角的產(chǎn)生過程，為四年級的角的再認(rèn)識以及線與線的位置關(guān)系做了鋪墊。教師借助“動態(tài)”的操作和“靜態(tài)”的呈現(xiàn)，從兩個不同角度去表征，幫助學(xué)生在對比中清晰地理解角的本質(zhì)內(nèi)涵，使后續(xù)角的特征的探索過程變得更加流暢。

“動靜結(jié)合”在勾連同類型知識之間的關(guān)系時也有不錯的功效。如六年級復(fù)習(xí)平面圖形時，可引導(dǎo)學(xué)生通過梯形上底的變化，建立求平面圖形面積的通性通法：把梯形的上底延長至和下底一樣長，就能得到長方形（正方形）或平行四邊形;把梯形的上底縮短為0，就能得到三角形。在動態(tài)變化、靜態(tài)內(nèi)化的過程中，學(xué)生自然建構(gòu)起平面圖形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（編號：DHA200370）的階段性研究成果。

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