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        函數(shù)極限求解方法研究

        2021-06-28 09:19譚暢
        海外文摘·學(xué)術(shù) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué)

        摘要:極限是《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)重要概念,是研究《高等數(shù)學(xué)》的重要手段,同時(shí)也是微分學(xué)和積分學(xué)的基礎(chǔ),很多概念都是由極限來(lái)定義的,比如導(dǎo)數(shù)定義,定積分定義等等。而函數(shù)極限的計(jì)算靈活多變,本文以一元函數(shù)為例,梳理了一元函數(shù)極限求解的思路,并且對(duì)一元函數(shù)極限的求解方法進(jìn)行了全面的歸納總結(jié)。

        關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);一元函數(shù)極限;方法總結(jié)

        中圖分類(lèi)號(hào):O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A? ?文章編號(hào):1003-2177(2021)02-0085-03

        極限是《高等數(shù)學(xué)》中的重要概念之一。極限思想是近代數(shù)學(xué)的重要思想,是《高等數(shù)學(xué)》的靈魂,貫徹《高等數(shù)學(xué)》始終。很多概念都是由極限來(lái)定義的,比如導(dǎo)數(shù),定積分,反常積分等等。因此,理解極限思想和掌握求極限的方法是學(xué)習(xí)這門(mén)課程的基本要求。但函數(shù)極限問(wèn)題類(lèi)型比較多,求解方法也靈活多變,學(xué)生往往對(duì)極限這一問(wèn)題感到束手無(wú)策。另外,我國(guó)現(xiàn)在開(kāi)設(shè)《高等數(shù)學(xué)》課程的高校使用的教材普遍理論性比較強(qiáng),并不適合學(xué)生自學(xué),像極限這樣靈活多變的問(wèn)題也沒(méi)有系統(tǒng)的歸納總結(jié)過(guò),若教師上課是照本宣科式的教學(xué)模式,那學(xué)生對(duì)極限這樣的問(wèn)題更是一頭霧水,當(dāng)然思路混亂了。因此,鑒于這種現(xiàn)狀,筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐總結(jié)了求函數(shù)極限問(wèn)題的一般思路,并且對(duì)函數(shù)極限問(wèn)題進(jìn)行了分類(lèi),給出了不同類(lèi)型函數(shù)極限的求解方法[1]。

        對(duì)于一元函數(shù)求極限的題目,我們可以按照以下思路進(jìn)行:

        (1)先化簡(jiǎn)(主要指利用無(wú)窮小等價(jià)代換);

        (2)利用極限四則運(yùn)算法則,將自變量趨向的數(shù)值代入函數(shù)表達(dá)式計(jì)算,若能直接計(jì)算出數(shù)值,則該數(shù)值即為此函數(shù)的極限值;

        (3)在過(guò)程2中,若不能直接計(jì)算出結(jié)果,則一定會(huì)出現(xiàn)幾種特殊情況,判斷類(lèi)型,找對(duì)應(yīng)的求解方法。

        1化簡(jiǎn)計(jì)算

        如果題目可以找到合適的方法進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn),那將會(huì)起到事半功倍的效果,可以大大縮短做題時(shí)間,減輕計(jì)算量,這里主要指的是無(wú)窮小等價(jià)代換。在基本的無(wú)窮小等價(jià)代換公式的基礎(chǔ)上,我們更應(yīng)該熟記這樣一類(lèi)無(wú)窮小等價(jià)代換:

        □→0時(shí):

        □里面可以是單變量,也可以是一個(gè)表達(dá)式,只要□內(nèi)的整體趨向于0,就可以進(jìn)行無(wú)窮小等價(jià)代換。值得注意的是,無(wú)窮小等價(jià)代換只能用于乘法或者除法中,不能用于加法和減法中。

        例1

        ====

        本題中,x→0時(shí)ecosx是非零因子,可以直接計(jì)算出結(jié)果,經(jīng)過(guò)這樣一次適當(dāng)?shù)淖冃魏螅瑢1-cosx-1等價(jià)代換成1-cosx,等價(jià)帶換成,而1-cosx又可以帶換成,這樣就大大簡(jiǎn)化了題目難度,直接得出極限值。

        2利用函數(shù)極限四則運(yùn)算法則帶值計(jì)算

        函數(shù)極限四則運(yùn)算法則:

        若,,(這里的x→*指6種極限狀態(tài)中的任意一種)則:

        ①;

        ③若,則

        例2

        ===

        注:函數(shù)極限四則運(yùn)算法則有2個(gè)前提條件:①函數(shù)是有限項(xiàng)的和;②函數(shù)中每一項(xiàng)的極限都存在。這兩個(gè)條件中任意一個(gè)不滿(mǎn)足就不能使用極限四則運(yùn)算法則。例如,當(dāng)說(shuō)明這個(gè)

        表達(dá)式有無(wú)窮項(xiàng)求和,若忽略這個(gè)條件,則會(huì)得到0+0+

        …+0=0.但事實(shí)上并不是這樣,=

        =。

        3判斷類(lèi)型,找對(duì)應(yīng)方法

        在上一步中,若利用函數(shù)四則運(yùn)算法則不能直接得出結(jié)果,則一定會(huì)出現(xiàn)以下7種特殊類(lèi)型,我們稱(chēng)之為“未定式”。在以下過(guò)程中,若在乘法或者除法中出現(xiàn)極限不為0的因子,我們要先計(jì)算出來(lái)。

        (1)“”型

        方法:①因式分解,約分化簡(jiǎn);②洛必達(dá)法則;③帶根號(hào)的要先有理化;④利用重要公式的推廣形式:。

        例3

        ===

        ·在這里1+cosx是個(gè)非零因子,可以先計(jì)算出來(lái)為2。由于x→0時(shí),ln(1+x)可以無(wú)窮小等價(jià)代換為x;x→0時(shí)x2為無(wú)窮小,為有界函數(shù)。所以在x→0時(shí)為0.采用該類(lèi)型的第4種方法求解。

        (2)“”型

        方法:①分子分母同時(shí)除以跟變量有關(guān)的最大項(xiàng);②洛必達(dá)法則。

        例4

        令t=-x,則x→-∞時(shí),t→+∞

        原式==

        ==1.

        此題屬于“”類(lèi)型的極限,采用方法一比較簡(jiǎn)單,自變量x<0,所以先做一次換元,將自變量x轉(zhuǎn)化為正數(shù),分子分母所有項(xiàng)中跟變量有關(guān)的最大項(xiàng)為t,所以分子分母同時(shí)除以t。當(dāng)t→+∞時(shí),為無(wú)窮小量,sint為有界函數(shù),所有。

        (3)“I∞”型

        方法:①“湊e”(湊重要公式的推廣形式:

        或);

        ②“取e”(借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì):)

        例5 =

        而==, ∴原式=。

        此題屬于“I∞”類(lèi)型,采用方法1求解要構(gòu)造出重要公式的形式,□內(nèi)應(yīng)構(gòu)造出cosx-1。而對(duì)指數(shù)求極限過(guò)程中,將cosx-1等價(jià)代換成,ln(1+x2)等價(jià)帶換成x2,恰好直接就可以計(jì)算出結(jié)果, 比較簡(jiǎn)單,另外,此題也可以采用“取e”的方法來(lái)求解,具體做法可以參考下面兩種類(lèi)型。

        (4)“00”型

        方法:“取e”(借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì):)

        (5)“∞0”型

        方法:“取e”(借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì):)

        對(duì)于第(4)和第(5)種類(lèi)型的求極限,我們給出相同的求解方法,均為“取e”,需借助數(shù)指函數(shù)的性質(zhì),將原式變?yōu)橐詄為底的函數(shù),然后再對(duì)指數(shù)進(jìn)一步取極限。

        例6

        ==

        而=

        ===0 ∴原式=e0=1。

        此題屬于“∞0”類(lèi)型求極限,首先將原式轉(zhuǎn)化為以e為底的形式,在對(duì)指數(shù)求極限的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)指數(shù)部分為“”型極限,用洛必達(dá)法則分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)數(shù)即可求出指數(shù)部分的極限值。

        (6)“0·∞”型

        方法:將“0·∞”型轉(zhuǎn)化為“”型或者型

        例7 =

        =2=2=。

        此題屬于“0·∞”的類(lèi)型。將用公式變?yōu)椋捎谠趚→1時(shí)是非零因子,要先計(jì)算出來(lái)為2,從而化簡(jiǎn)了計(jì)算難度,將原題目轉(zhuǎn)化為“”型的極限,在用洛必達(dá)法則來(lái)求極限。

        (7)“∞-∞”型

        方法:①通分化簡(jiǎn); ②倒代換。

        例8 ===

        ===

        =。

        此題為“∞-∞”類(lèi)型。先將原式通分并用2倍角公式化簡(jiǎn),從而將原題目轉(zhuǎn)化為“”類(lèi)型的極限,然后再用2次洛必達(dá)法則來(lái)求極限。

        在前面我們介紹過(guò)只有有限項(xiàng)和或者差并且每一項(xiàng)的極限都存在時(shí)才能使用極限的四則運(yùn)算法則。若將有限項(xiàng)推廣到無(wú)限多項(xiàng)和或差的極限問(wèn)題時(shí),又產(chǎn)生兩種常見(jiàn)解題思路。

        4夾逼準(zhǔn)則

        如果函數(shù)f(x),g(x)及h(x)滿(mǎn)足下列條件[2]:

        ①當(dāng)時(shí),g(x)≤f(x)≤h(x);

        ②,

        則存在,并且等于A。

        例9

        分析:

        原式可以寫(xiě)成,在上述不等式中,對(duì)左側(cè)的部分求和,即=,從

        而=,同理對(duì)右側(cè)的部分求和,即=,從而=。由夾逼準(zhǔn)則知=。

        在采用夾逼準(zhǔn)則求無(wú)窮項(xiàng)和的極限問(wèn)題時(shí)要采取合適的方法,對(duì)原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,使原式恰好夾在極限值相等的兩個(gè)函數(shù)之間。尋找合適的放縮方法需要一定的經(jīng)驗(yàn)和技巧。若每項(xiàng)的分子或分母都相同時(shí),通??梢詫ふ覂蛇叺淖畲笾岛妥钚≈祦?lái)建立不等式;若每項(xiàng)的分子和分母都呈一定規(guī)律變化時(shí),也可以固定分子和分母之中的其中一個(gè),通過(guò)放縮另外一項(xiàng)來(lái)建立不等式。總之,放縮無(wú)定法,還需在實(shí)踐中不斷探索和總結(jié),才能找到便捷之路[3]。

        5定積分思想

        由定積分定義:=可知,將[a,b]換成[0,1]。將[0,1]平均分成n份,即得到=。

        例10

        ==

        ===。

        利用定積分思想求極限難度較大,綜合性較強(qiáng),需要學(xué)生對(duì)定積分定義有深刻的理解才能從容應(yīng)對(duì)這類(lèi)題目。通常情況下,若函數(shù)表達(dá)式是無(wú)窮多項(xiàng)求和的形式,并且每項(xiàng)分子次數(shù)均為0次或者1次,分母的次數(shù)都是2次,就可以考慮用定積分的思想來(lái)求解,確定準(zhǔn)變量和,將原函數(shù)表達(dá)式構(gòu)造出乘積的和式形式,從而求解這個(gè)簡(jiǎn)單積分即可。

        《高等數(shù)學(xué)》課程中關(guān)于極限的類(lèi)型和求解方法有很多種,本文只對(duì)高等院校教學(xué)中常見(jiàn)的一些類(lèi)型及其求解方法進(jìn)行歸納總結(jié),其他方法不再贅述。希望能帶給廣大師生一點(diǎn)思考和探索。當(dāng)然,數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是需要不斷思考和總結(jié)的,在不斷的思考和總結(jié)中探索出新的方法和技巧,體會(huì)數(shù)學(xué)的美與樂(lè)趣。

        參考文獻(xiàn)

        [1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上)(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.

        [3]張?zhí)斓?,蔣曉蕓.吉米多維奇高等數(shù)學(xué)習(xí)題精選精解(第一版)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010.

        (責(zé)編:楊梅)

        作者簡(jiǎn)介:譚暢(1987—),女,黑龍江鶴崗人,碩士研究生,助教,研究方向:非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)。

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