郭雪娟， 吉雁斐

(中北大學 理學院， 山西 太原 030051)

0 引 言

周期Jacobi矩陣形式如下

其中，αi∈R，βi>0,](i=1,2,…,n).周期Jacobi矩陣來源于周期Toda lattices和連分數(shù)的應用[1-2]， 它的逆特征值問題主要出現(xiàn)在逆散射問題中， 具有十分重要的實際意義， Boley 和Golub在文獻[3-4]和Ferguson在文獻[5]中分別對此問題進行了相關研究.

本文對此類矩陣進行推廣， 研究以下形式的子周期Jacobi矩陣逆特征值問題[6-7]

(1)

記矩陣X的譜為σ(X)， 對于式(1)中的矩陣Sn， 規(guī)定

(2)

問題：給定一個正數(shù)β以及三個集合λ={λ1,λ2,…,λn}?C，μ(1)={μ1,μ2,…,μr}?R，μ(2)={μr+1,μr+2,…,μn-1}?R， 3≤r≤n， 其中λ在復共軛下是封閉的， 且滿足

λ1<μ1<λ2<…<λn-1<μn-1<λn.

(3)

求一個子周期Jacobi矩陣Sn使得

(4)

上述問題簡稱SPJIEP.

引理1[8]已知Jm是一個m階Jacobi矩陣且其次對角元為γ1,γ2,…,γm-1， 令si是特征值ξi對應的單位特征向量，i=1,2,…,m， 則

χ′(ξi)s1ism,i=γ1γ2…γm-1,i=1,2,…,m，

其中,χ′(ξ)是χ(ξ)=det(ξIm-Jm)的導數(shù)且s1i和sm,i分別是si的第一個和最后一個分量.

引理2[9]已知{ξ1,ξ2,…,ξm}是一組在復共軛下是封閉的復數(shù)， {η1,η2,…,ηm-1}是一組成對且互不相同的實數(shù)， 且ηi?{ξ1,ξ2,…,ξm}， 則線性代數(shù)方程組

i=1,2,…,m.

1 子周期Jacobi矩陣的譜性質

因為Sr-1和Sr+1,n都是Jacobi矩陣， 所以這兩個矩陣均有實的且互異的特征值. 因此， 考慮

σ(Sn)=λ,λ={λ1,λ2,…,λn},

σ(Sr-1)=μ(1),μ(1)={μ1,μ2,…,μr-1},

(5)

σ(Sr+1,n)=μ(2),μ(2)={μr,μr+1,…,μn-1},

引理3[6]令N1={1,2,…,r-1}， N2={r,r+1,…,n-1}，μ(1)和μ(2)如式(5)所示， 則：

2) 當且僅當μj∈μ(1)∩μ(2)時，μj∈σ(Sn),j∈N2.

引理4[6]若μ(1)∩μ(2)=?， 且存在一個集合I={i1,i2,…,is}∈N1， 使得

則μi1,μi2,…,μis是Sn的特征值，Sn其余的特征值是有理函數(shù)

(6)

的n-s個零點.

注1上述定理中的集合I可以為空集， 此時Sn的特征值即為式(2)的n個零解.

j∈(SI1)∪((N1S)I2),

則μj,j∈I1∪I2也是Sn的特征值， 其余特征值是有理函數(shù)

(7)

的n-t-s2個零點.

注2上述定理中的集合I1或I2均可以為空集， 此時Sn的特征值可由式(7)類似得到.

定理1當μ(1)∩μ(2)=?時， 取I={1,2,…,s}， 令λi=μi,i∈I， 將μi,i∈(N1∪N2)I升序排列， 則不等式(8)成立.

λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn,

(8)

λt+s2+1<μt+s2+1<λt+s2+2<…<μn-1<λn.

(9)

證明1)μ(1)∩μ(2)=?，Sn的特征值滿足式(6)， 即F1(λ)=0.將F1(λ)寫作

其中，ci>0,i=1,2,…,n-1.對于一個充分小的正數(shù)ε，

F1(μi-ε)>0，

F1(μi+ε)<0，i=1,2,…,n-1，

F1(-∞)<0，F(xiàn)1(+∞)>0，

因此，λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn成立.

其中，ci>0,i=1,2,…,n-1， 且F2(λ)的極點為μ1,μ2,…,μt,μt+s2+1,μt+s2+2,…,μr-1,μr+t,…,μn-1， 已知μi,i∈S={1,2,…,t}和μj,j∈I1∪I2均為Sn的特征值， 不妨設λi=μi,i=1,2,…,t，λi=μi,i=t+1,t+2,…,t+s2， 則Sn剩余的特征值為F2(λ)的零點， 即λt+s2+1,λt+s2+2,…,λn.又由于μi=μi+r+1,i=1,2,…,t， 則F2(λ)的極點為μt+s2+1,μt+s2+2,…,μr-1,μr,μr+1,…,μr+t+1,…,μn-1， 故類似μ(1)∩μ(2)=?的情況可知，F(xiàn)2(λ)的零點與極點也存在交錯關系， 即λt+s2+1<μt+s2+1<λt+s2+2<…<μn-1<λn.

2 SPJIEP有解的充要條件

對于如SPJIEP所示的λ，μ(1)和μ(2)， 本節(jié)按照

μ(1)∩μ(2)=?和μ(1)∩μ(2)≠?

兩種情形討論SPJIEP的可解性.

2.1 考慮μ(1)∩μ(2)=?的情況

不失一般性， 考慮正整數(shù)集合I={1,2,…,s}， 且定義

j=s+1,s+2,…,n-1.

(10)

定理2對于如SPJIEP所示的正數(shù)β， 集合λ，μ(1)和μ(2).假設μ(1)∩μ(2)=?， I={1,2,…,s}?N1，λi=μi，i∈I， 且滿足不等式λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn.集合xj,j=s+1,s+2,…,n-1如式(10)所示.當且僅當滿足下列條件時SPJIEP有解且有2r-s-1個不同的解：

證明必要性：假定存在一個形如式(1)的子周期Jacobi矩陣Sn使得式(4)成立. 由引理1可得

(11)

(12)

(13)

由式(12)， 式(13)可知條件2)成立.

充分性：假定條件1)和2)成立， 考慮非零實數(shù)xj,j=s+1,s+2,…,n-1如式(10)所示， 定義

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

注3上述定理中I可以為空集， 此時SPJIEP有解的充要條件可由定理2類似得到， 且最多有2r-1個不同的解.

2.2 考慮μ(1)∩μ(2)≠?的情況

考慮正整數(shù)集合I1={1,2,…,s1}， I2={t+1,t+2,…,t+s2}， 且定義

j=t+s2+1,t+s2+2,…,n-1.

(19)

1) 存在任意實數(shù)θj?{0,1}， 使得θjxr-1+j>0, (1-θj)xr-1+j>0,j∈SI1；

證明必要性： 可由定理2中必要性的證明類似得到.

充分性：假定條件1)～4)均成立， 考慮非零實數(shù)xj,j=t+s2+1,t+s2+2,…,n-1如式(19)所示， 定義

(20)

(22)

(23)

由于θj?{0,1}是任意的， 所以滿足上述所有條件可以得到無窮多個解.

注4上述定理中I1, I2均可以為空集， 此時SPJIEP有解的充要條件可由定理3類似得到， 且均有無窮多解.

推論1對于如SPJIEP所示的正數(shù)β， 集合λ，μ(1)和μ(2)， 假設μ(1)∩μ(2)=?， I={1,2,…,s}?N1，λi=μi，i∈I， 且滿足λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn.集合xj,j∈(N1∪N2)I如式(10)所示.當且僅當滿足下列條件時SPJIEP有唯一解：

2) 定理2中的條件2)成立；

其中I為空集時SPJIEP有唯一解的充要條件可由推論1類似得到.

3 構造子周期Jacobi矩陣的數(shù)值算法及實例驗證

下面將建立構造子周期Jacobi矩陣Sn的算法.

算法 1SPJIEP的解

輸入： 如SPJIEP中所示的β,λ,μ(1),μ(2)

輸出：Sn.

1) 若μ(1)∩μ(2)=?， 則接步驟2)， 否則接步驟4)；

2) 由式(10)計算xj,j∈(N1∪N2)I；

5) 由式(19)計算xj,j=t+s2+1,t+s2+2,…,n-1， 并在R{0,1}中選擇θj?{0,1},j∈(SI1)；

8) 如果滿足定理2中的條件4)～5)， 則可通過向前的Lanczos算法分別結合(I1,μ(1),g1)和(I2,μ(2),g2)重構矩陣Sr-1和Sr+1,n， 否則該問題無解；

10) 輸出Sn， 結束.

例1令n=7,r=4， 給定正數(shù)β=1和集合λ,μ(1),μ(2)， 如表1 所示.

表1 譜數(shù)據(jù)λ={λ1,λ2,…,λ7}, μ(1)={μ1,μ2,μ3},μ(2)={μ4,μ5,μ6}

顯然μ(1)∩μ(2)=?且I=?， 由算法1可得

x1=0.439 198 451 967 014,

x2=0.475 249 790 525 101,

x3=1.085 551 757 507 88,

x4=0.989 147 543 776 782,

x5=1.748 293 216 267 16,

x6=1.262 559 239 956 07,

表的主對角元與次對角元

表3 輸入的譜數(shù)據(jù)λ,μ(1),μ(2)和輸出的譜數(shù)據(jù)對比結果

4 結 論

本文共分μ(1)∩μ(2)=?和μ(1)∩μ(2)≠?兩種情況依次討論了子周期Jacobi矩陣的逆特征值問題. 首先得到了關于λ， μ(1)和μ(2)的交錯不等式，其次， 在建立算法去構造子周期Jacobi矩陣的過程中， 由于中的符號“+”或“-”都可取， 因此， 我們構造出了8個不同的且均滿足SPJIEP有解的充要條件的矩陣， 實例仿真表明構造出的8個矩陣的譜數(shù)據(jù)與給定的譜數(shù)據(jù)誤差極小， 驗證了本文所給算法的有效性.