張曉琴， 李 宇， 荊文君

(山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 山西 太原 030006)

新型冠狀病毒肺炎在全球爆發(fā)， 截止2020年11月， 全球COVID-19累計(jì)確診人數(shù)已達(dá)上千萬， 其中幾百萬人患病死亡， 可見病毒對(duì)人類生命健康威脅之大， 有效預(yù)防和控制疫情成為當(dāng)前最受關(guān)注的問題之一. 研究疫情發(fā)展規(guī)律、 評(píng)估防控措施， 對(duì)有效控制疫情傳播、 助力全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有重要意義.

傳染病動(dòng)力學(xué)模型通過建立基本假設(shè)、 設(shè)置參數(shù)與變量描述疾病發(fā)展過程和傳播規(guī)律， 能科學(xué)預(yù)測(cè)疾病流行趨勢(shì)、 評(píng)估防控效果[1]. 目前， 大量學(xué)者應(yīng)用傳染病動(dòng)力學(xué)模型對(duì)COVID-19展開研究. 范如國等[2]基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建立SEIR模型， 給出3種不同潛伏期下參數(shù)仿真分析與疫情拐點(diǎn)預(yù)測(cè). 王霞等[3]對(duì)SEIR模型進(jìn)行改進(jìn)， 將 2019年同期人口流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)與之結(jié)合， 重點(diǎn)分析武漢及周邊地區(qū)的復(fù)工時(shí)間節(jié)點(diǎn). 李倩等[4]建立傳染病數(shù)學(xué)模型刻畫COVID-19疫情期間隔離措施實(shí)施作用， 認(rèn)為滯后確診增大了感染規(guī)模. 趙序茅[5]基于百度地圖大數(shù)據(jù)， 認(rèn)為武漢輸出人口與全國各地確診人數(shù)在疫情初期呈正相關(guān). 周濤等[6]基于SEIR模型對(duì)基本再生數(shù)進(jìn)行估計(jì)， 認(rèn)為COVID-19傳播能力略高于SARS. 張慶等[7]利用傳染病模型中的基本再生數(shù)對(duì)山西省與其他地區(qū)的疫情做了對(duì)比分析. 離散化的差分方程模型在傳染病研究上使用也越來越多， 劉雙等[8]通過建立具有時(shí)滯效應(yīng)的差分方程來研究北京SARS疫情， 對(duì)改變收治速度時(shí)疫情發(fā)展的狀況進(jìn)行了模擬分析. 李浩等[9]建立具有時(shí)滯和非線性發(fā)生率的離散SIRS模型， 對(duì)差分方程解的性質(zhì)給予證明. 此外， 還有學(xué)者對(duì)太原市COVID-19病毒在不同情境下的傳播做了仿真模擬， 對(duì)疫情的防控給予了很大支持[10].

無癥狀感染者由于沒有明顯癥狀又存在傳染性， 容易造成聚集性傳染， 給疫情防控帶來巨大挑戰(zhàn)[11]. 湖南郴州一個(gè)家庭6天內(nèi)出現(xiàn)4例確診和1例無癥狀， 調(diào)查發(fā)現(xiàn)無癥狀感染者是傳染源[12]. 隨后， 中國多地陸續(xù)發(fā)現(xiàn)無癥狀感染者及其傳播事件. 隨著人們對(duì)COVID-19認(rèn)識(shí)加深， 無癥狀感染者也受到有關(guān)部門重視， 學(xué)者們也對(duì)此類人群展開研究. 孫皓宸等[13]考慮無癥狀患者對(duì)校園疫情的影響， 認(rèn)為無癥狀患者越多病毒傳播越快.

鑒于此， 本文考慮潛伏者與無癥狀感染者均具有傳染性、 防控治療等具有時(shí)滯性， 構(gòu)建一類離散化的差分方程模型， 對(duì)山西省疫情發(fā)展?fàn)顩r、 無癥狀感染者的影響， 以及防控措施效果進(jìn)行研究， 為科學(xué)認(rèn)識(shí)COVID-19傳播模式提供理論參考.

1 數(shù)據(jù)與模型說明

1.1 數(shù)據(jù)來源

自疫情爆發(fā)以來， 山西省衛(wèi)健委每日公布COVID-19數(shù)據(jù)， 包括新增確診數(shù)、 累計(jì)確診數(shù)、 新增治愈和累計(jì)治愈數(shù)等. 從疫情數(shù)據(jù)可知： 山西省在2020年1月22日出現(xiàn)第一例病例， 3月13日所有確診患者治愈出院； 3月23日開始出現(xiàn)境外輸入病例， 由于境外輸入人員被全部隔離， 因此不在本文研究范圍內(nèi).

本文針對(duì)1月22日到3月13日的數(shù)據(jù)， 建立差分方程模型來模擬疫情發(fā)展， 并預(yù)測(cè)3月14日到3月22日疫情發(fā)展， 通過與實(shí)際情況對(duì)比來驗(yàn)證模型的有效性. 表1 是山西省疫情原始數(shù)據(jù).

表1 山西省每日疫情數(shù)據(jù)

1.2 基本假設(shè)

建立差分方程前， 提出一些基本假設(shè)：

1) 模型不考慮自然出生和自然死亡等因素；

2) 感染者在潛伏期內(nèi)出現(xiàn)癥狀為有癥狀感染者， 此類人群確診后被醫(yī)院收治. 但不是所有的感染者一出現(xiàn)癥狀就住院， 因此， 存在延遲效應(yīng)；

3) 部分感染者經(jīng)過潛伏期后有輕微癥狀或未出現(xiàn)癥狀， 未被醫(yī)院收治， 此類人群為無癥狀感染者， 被發(fā)現(xiàn)后需隔離14天， 核酸檢測(cè)通過后解除隔離；

4) 由于政府防控嚴(yán)格， 部分潛伏者未出現(xiàn)癥狀就被隔離， 在隔離期內(nèi)出現(xiàn)癥狀后住院；

5) 住院的病人被醫(yī)院收治一段時(shí)間后治愈或死亡；

6) 在就醫(yī)和隔離期間沒有傳染性；

7) 患者治愈后不再被感染.

1.3 變量說明

根據(jù)COVID-19傳播特征和基本假設(shè)， 可將人群分為六類： 潛伏者(E)、 隔離者(G)、 有癥狀感染者(I)、 無癥狀感染者(A)、 住院者(H)、 移出者(R).具體說明如下：

Et： 第t天新增潛伏者， 具有傳染性；

Gt： 第t天已感染， 處于潛伏期但被隔離的人群；

It： 第t天新增有癥狀感染者， 經(jīng)過潛伏期后出現(xiàn)癥狀， 具有傳染性；

At： 第t天新增無癥狀感染者， 經(jīng)過潛伏期后未出現(xiàn)癥狀， 具有傳染性；

Ht： 第t天新增住院者；

Rt： 第t天新增移出者， 指當(dāng)天治愈出院和死亡人數(shù)之和；

HI： 有癥狀感染者中的住院人數(shù)；

RH： 住院者中的移出人數(shù)；

RA： 無癥狀感染者中的移出人數(shù).

1.4 模型構(gòu)建

基于上述假設(shè)， 研究時(shí)間段為2020年1月22日到3月13日， 共52天， 由此構(gòu)建差分方程模型

t=0,1,2,…,51,

(1)

It+1=(1-μ)·q·Et+1-T1,t=0,1,2,…,51,

(2)

At+1=μ·q·Et+1-T2,t=0,1,2,…,51,

(3)

Gt+1=l·Et+1-T3,t=0,1,2,…,51，

(4)

t=0,1,2,…,51,

(5)

Rt+1=RHt+1+RAt+1=Ht+1-T4+At+1-T5,

t=0,1,2,…,51.

(6)

初始條件為

(7)

式中：t=0對(duì)應(yīng)1月21日，t=-1對(duì)應(yīng)1月20日，t=-2對(duì)應(yīng)1月19日， 依此類推.

模型解釋：

1) 由基本假設(shè)可知， 就醫(yī)和隔離期間沒有傳染性， 因此， 第t天新增潛伏者由有癥狀感染者、 無癥狀感染者和潛伏者新傳染人數(shù)三部分構(gòu)成.αt、βt、δt分別為第t天有癥狀感染者、 無癥狀感染者和潛伏者的平均傳染人數(shù)， 取值隨時(shí)間變化.從表1確診病例數(shù)來看， 2月2日之前新增病例呈上升趨勢(shì)， 之后基本呈下降趨勢(shì)， 據(jù)此將研究時(shí)間分為兩個(gè)時(shí)期， 設(shè)2月2日之前的傳染率分別為常數(shù)α1、β1、δ1； 2月2日之后的傳染率分別為常數(shù)α2、β2、δ2.

2)μ是感染者不出現(xiàn)癥狀的概率， 用來區(qū)分有癥狀和無癥狀患者；q是潛伏者到感染者的轉(zhuǎn)移率，l是隔離率.

4)每日新增移出者由RH和RA構(gòu)成， 分別來源于T4天前的住院者和T5天前的無癥狀感染者.

5)T1為潛伏期， 潛伏者在T1天后出現(xiàn)癥狀成為感染者；T2是潛伏者轉(zhuǎn)移到無癥狀感染者的天數(shù)；T3是潛伏者轉(zhuǎn)移到隔離者的天數(shù)；T4是平均延遲天數(shù)；T5是無癥狀感染者被觀察的天數(shù)或隔離的天數(shù)；T6是治療期， 即感染者從住院到移出的天數(shù)；σ是傳染期.

模型示意圖如圖1 所示.

圖1 模型流程圖

2 參數(shù)分析

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)可將部分參數(shù)確定為常數(shù). 其中，T1一般為3～7天[15]， 這里取中位數(shù)5天； 傳染期σ=T1+T4+T6=21， 即從感染病毒到康復(fù)或死亡的平均天數(shù)共21天， 則T2=σ-T5=7.隔離者經(jīng)歷4天平均隔離期后會(huì)確診入院[16]， 因此T3=T1+T4-4=5.由上述分析可知， 隔離者[16]和有癥狀感染者[14]從出現(xiàn)癥狀到入院， 分別經(jīng)歷4天隔離期、 延遲期. 住院者從確診住院到出院一共經(jīng)歷12天治療， 潛伏者到感染者的轉(zhuǎn)移率為0.2[17]. 具體參數(shù)值設(shè)置見表2.

表2 參數(shù)值及來源

經(jīng)過上述分析， 待優(yōu)化參數(shù)共9個(gè)：α1、α2、β1、β2、δ1、δ2、l、E0、μ. 由表1 可知， 實(shí)際數(shù)據(jù)有限， 而山西省的治愈人數(shù)就是原來的確診人數(shù)， 因此， 通過最小化實(shí)際確診數(shù)與模擬確診數(shù)的誤差構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)如下：

(8)

式中：P=(P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9)=(α1,α2,β1,β2,δ1,δ2,l,E0,μ)是參數(shù)向量；Hj,j=1, 2, …, 52是研究時(shí)間段內(nèi)醫(yī)院在第j天新收治的病人數(shù)；Hj(P)是模型(1)～(7)模擬的相應(yīng)值.

3 結(jié)果分析和疫情模擬

3.1 參數(shù)結(jié)果分析

基于山西省COVID-19數(shù)據(jù)， 利用MATLAB軟件和最小二乘法， 對(duì)目標(biāo)函數(shù)(8)進(jìn)行優(yōu)化， 參數(shù)估計(jì)見表3. 結(jié)果顯示：

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

1) 傳染率：α1<α2，β1<β2，δ1>δ2， 說明2月2日之前， 山西處于輸入病例高峰期， 病例主要由初期的輸入病例傳染； 2月2日之后， 有癥狀感染者和無癥狀感染者傳染率開始增加， 但增加幅度較小. 潛伏者由于未出現(xiàn)癥狀， 難以全部排查， 因此存在潛伏者傳染率較大的情況， 隨著政府管控措施的加強(qiáng)， 密切接觸者大部分被隔離， 于是2月2日之后， 潛伏者傳染率減小.

2) 隔離率為0.8， 說明山西省管控力度較強(qiáng)， 對(duì)抗擊疫情起到較好的效果.

3) 1月21日潛伏者估計(jì)為17人， 按5天的平均潛伏期來看， 山西省在1月22日到1月 26日期間增加了13個(gè)病例， 說明估計(jì)的潛伏者較符合實(shí)際， 并且這17人中大部分是山西省新型冠狀病毒的輸入病例， 還有小部分是輸入病例所傳染的.

4) 無癥狀感染者比例初值由文獻(xiàn)[18]確定， 取值0.22， 模型擬合值為0.25， 二者差距小， 說明模型擬合效果較好.

3.2 疫情模擬與預(yù)測(cè)

將參數(shù)擬合值代入模型(1)～(6)反演， 得到疫情發(fā)展模擬圖， 從圖2 和圖3 均可看出， 1月22日至2月10日左右， 山西省疫情處在高發(fā)期， 2月11日以后， 每日新增確診病例顯著減少， 疫情趨于穩(wěn)定. 模擬的累計(jì)確診者為132人， 實(shí)際人數(shù)為133人； 模擬的累計(jì)康復(fù)者約為132人， 實(shí)際為133人， 二者的誤差均為0.76%.

圖2 山西省每日新增確診病例擬合結(jié)果

圖3 累計(jì)確診病例擬合結(jié)果

圖4 為模型預(yù)測(cè)的3月14日到3月22日累計(jì)確診圖. 預(yù)測(cè)的累計(jì)確診人數(shù)穩(wěn)定在133人， 與實(shí)際累計(jì)確診人數(shù)133人一致.

圖4 優(yōu)化參數(shù)下累計(jì)病例的預(yù)測(cè)

綜合來看， 差分方程模型能較好地?cái)M合山西省COVID-19疫情發(fā)展趨勢(shì).

3.3 無癥狀感染者的傳染率參數(shù)分析

模型估計(jì)的無癥狀感染者約有7人，β1優(yōu)化數(shù)值為0.000 1， 傳染力非常小， 因此， 只考慮β2不同時(shí)的情形.圖5 是β2不同時(shí)擬合的累計(jì)確診病例. 結(jié)果表明， 無癥狀感染者傳染率越低， 疫情控制效果越好， 產(chǎn)生的病例數(shù)也會(huì)減少. 當(dāng)無癥狀感染者傳染率為零時(shí)， 擬合的累計(jì)確診數(shù)約為119人， 與實(shí)際累計(jì)病例相比減少14人， 即無癥狀感染者不具有傳染性時(shí)， 最終染病者將降低10.53%. 由此可見， 在疫情防控中， 不僅要關(guān)注有癥狀感染者和潛伏者， 還要重視隱藏在人群中的無癥狀感染者.

圖5 無癥狀感染者在不同感染率下的累計(jì)病例圖

3.4 政策效應(yīng)評(píng)估

本文中隔離率可反映政府防控力度. 擬合隔離率為0.8， 其他參數(shù)不變時(shí)， 改變隔離率， 觀察累計(jì)確診數(shù)的假想情況， 如圖6； 圖7 是隔離率為0時(shí)的擬合結(jié)果. 研究結(jié)果表明， 隔離率對(duì)疫情防治有顯著影響， 隔離率越大， 防控效果越好. 若無防控措施， 則研究時(shí)間段累計(jì)病例將達(dá)280人， 比實(shí)際多出1倍， 并且還會(huì)持續(xù)增長， 由此可見， 山西省防控措施對(duì)疫情起到了很好的控制效果.

圖6 不同隔離率下的累計(jì)病例擬合結(jié)果

圖7 隔離率為0時(shí)的擬合結(jié)果

4 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)傳染病模型基礎(chǔ)上， 構(gòu)建了一類具有時(shí)滯效應(yīng)的差分方程模型， 分段擬合了山西省COVID-19疫情發(fā)展趨勢(shì)， 分析了無癥狀感染者對(duì)疫情的影響， 評(píng)估了山西省防控措施的效果. 結(jié)果表明：

1) 無癥狀感染者的傳染率并不大， 潛伏者和有癥狀感染者是山西省COVID-19疫情的主要傳播者， 但無癥狀感染者也傳染了10.53%的確診者.

2) 隔離率越大， 防控效果越好， 山西省的防控措施是嚴(yán)格且有效的.

綜上所述， 差分方程模型能較好模擬出山西省COVID-19的發(fā)展過程. 此外， 模型的參數(shù)可根據(jù)疫情發(fā)展的時(shí)間段進(jìn)行調(diào)整， 使得模型更加靈活， 可應(yīng)用于其他地區(qū)， 為傳染病的模型提供了新的改進(jìn)之處.