李 強(qiáng)，張悅嬌

(北京科技大學(xué)天津?qū)W院 基礎(chǔ)部，天津 301830)

0 引 言

近些年，混沌系統(tǒng)同步的研究得到了越來越多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視。因?yàn)殡S著信息現(xiàn)代化步伐的加快，很多重要的信息需要被安全地傳遞，利用混沌系統(tǒng)的同步可以使信息通過加密—傳遞—解密的方式，安全準(zhǔn)確地進(jìn)行傳遞。因此，混沌同步在通信加密領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用[1-2]。

隨著對(duì)驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)同步的不斷研究，出現(xiàn)了很多類型的混沌同步方式，如漸近同步[3]、完全同步[4]、投影同步[5-7]、脈沖同步[8]，然而這些文獻(xiàn)中的同步研究并沒有考慮時(shí)滯問題。之后，文獻(xiàn)[9]利用滑?？刂频姆椒ㄑ芯苛司哂袝r(shí)滯的混沌系統(tǒng)的組合同步[9]。利用脈沖控制方法[10]R.C.Wu[10]對(duì)時(shí)滯混沌系統(tǒng)的延遲同步問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[11]和[12]分別針對(duì)2個(gè)時(shí)滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的間歇同步和時(shí)滯混沌系統(tǒng)投影同步控制問題進(jìn)行了分析。

在實(shí)際應(yīng)用中，往往希望同步收斂的時(shí)間越短越好，這樣可以節(jié)約生產(chǎn)成本并且提高經(jīng)濟(jì)效益，因此具有收斂速度更快、魯棒性更好的有限時(shí)間同步控制方法被應(yīng)用在混沌系統(tǒng)同步的研究中。例如文獻(xiàn)[13]研究了2個(gè)具有時(shí)變時(shí)滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步控制問題。不同于文獻(xiàn)[13]，文獻(xiàn)[14]討論了具有時(shí)變時(shí)滯和有界擾動(dòng)的混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步控制問題。由于系統(tǒng)部件老化、環(huán)境不穩(wěn)定等各種因素，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)卡死故障或者是一部分執(zhí)行器失效的問題。而這些文獻(xiàn)中都沒有考慮系統(tǒng)在長(zhǎng)期運(yùn)行中出現(xiàn)故障的情況。

基于上述分析，本文研究了時(shí)滯混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間容錯(cuò)同步控制問題。主要的創(chuàng)新點(diǎn)如下：1)具有時(shí)變時(shí)滯并且結(jié)構(gòu)不同的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)被研究；2)考慮混沌系統(tǒng)出現(xiàn)未知的卡死故障和部分執(zhí)行器失效的情況，設(shè)計(jì)自適應(yīng)故障容錯(cuò)控制器，其中自適應(yīng)增益更新率實(shí)現(xiàn)了對(duì)誤差系統(tǒng)實(shí)時(shí)有效的控制；3)利用李雅普諾夫穩(wěn)定性和有限時(shí)間穩(wěn)定性定理，得到誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)同步的過渡時(shí)間。

1 問題描述

考慮具有時(shí)變時(shí)滯的混沌系統(tǒng)模型如下所示：

(1)

其中,A1∈Rn×n表示系統(tǒng)矩陣，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T∈Rn表示混沌系統(tǒng)(1)的狀態(tài)向量；f1(x(t))∈Rn和g1(x(t-τ(t)))∈Rn表示連續(xù)的非線性函數(shù)向量，且f1(0)=g1(0)=0，τ(t)表示時(shí)變時(shí)滯。

基于驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步的概念，將系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，與其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)如下所示：

(2)

其中,A2∈Rn×n表示系統(tǒng)矩陣，y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T∈Rn表示狀態(tài)向量；f2(y(t))∈Rn和g2(y(t-τ(t)))∈Rn表示連續(xù)的非線性函數(shù)向量，且f2(0)=g2(0)=0，u(t)∈Rn表示控制輸入向量。

考慮系統(tǒng)可能出現(xiàn)故障的情況，根據(jù)文獻(xiàn)[15]將故障容錯(cuò)控制器描述如下：

uF(t)=vu(t)+δ(t)

(3)

其中，uF(t)是故障執(zhí)行器，v是未知的執(zhí)行器效率因子，且δ(t)表示未知的時(shí)變有界信號(hào)。

根據(jù)上面的故障容錯(cuò)模型，具有執(zhí)行器故障的響應(yīng)混沌系統(tǒng)模型描述如下：

(4)

定義同步誤差e(t)=y(t)-x(t)， 因此同步誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)表示如下：

(5)

為了進(jìn)一步的研究，給出了如下的定義、引理和假設(shè)。

定義1[16]如果存在一個(gè)常數(shù)0

并且

‖y(t)-x(t)‖=0,?t>t0+T

則稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)是有限時(shí)間同步的。

引理1[17]假設(shè)V(t)是連續(xù)的正定函數(shù)，且滿足以下微分不等式條件：

其中，ω>0和ι∈(0,1)為常數(shù)。那么，對(duì)于任意給定的t0，V(t)滿足以下不等式：

V1-ι(t)≤V1-ι(t0)-ω(1-t)(t-t0)，t0≤t≤t1

并且

V(t)≡0，t≥t1

其中

引理2[18]如果a1,a2,…,an,r,p為實(shí)數(shù)且滿足0

假設(shè)1存在常數(shù)l1,l2>0,使得

‖fi(u)-fi(v)‖≤l1‖u-v‖

‖gi(u)-gi(v)‖≤l2‖u-v‖

其中i=1,2,u,v∈Rn,u≠v。

2 主要結(jié)果

為了使得驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步，設(shè)計(jì)了如下的自適應(yīng)容錯(cuò)控制器

(6)

其中，0<μ<，α1是大于零的任意常數(shù)。

設(shè)計(jì)的控制器增益的更新率為

(7)

其中Ω=l1[‖y(t)‖+‖x(t)‖]+l2[‖y(t-τ(t))‖+‖x(t-τ(t))‖],l1,l2,β,α2是大于零的任意常數(shù)。

定理1 在滿足假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，自適應(yīng)容錯(cuò)控制器(6)和更新率(7)能夠保證時(shí)滯混沌系統(tǒng)是有限時(shí)間同步的，并且過渡時(shí)間

(8)

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)如下

V(t)=V1(t)+V2(t)

(9)

(10)

計(jì)算V1(t)沿系統(tǒng)(5)的導(dǎo)數(shù)及自適應(yīng)控制器(6)，有下式成立：

+g2(y(t-τ(t)))-g1(x(t-τ(t)))+vu(t)+δ(t)}

≤eT(t)[A2y(t)-A1x(t)]+eT(t)f2(y(t))-eT(t)f1(x(t))

+eT(t)g2(y(t-τ(t)))-eT(t)g1(x(t-τ(t)))+eT(t)vu(t)+eT(t)δ(t)

≤eT(t)f2(y(t))-eT(t)f1(x(t))+eT(t)g2(y(t-τ(t)))-eT(t)g1(x(t-τ(t)))

(11)

由假設(shè)1可知

eT(t)f2(y(t))-eT(t)f1(x(t))≤‖eT(t)‖‖f2(y(t))-f1(x(t))‖

≤‖eT(t)‖l1[‖y(t)‖+‖x(t)‖]

(12)

類似地，可得

eT(t)g2(y(t-τ(t)))-eT(t)g1(x(t-τ(t)))≤‖eT(t)‖‖g2(y(t-τ(t)))-g1(x(t-τ(t)))‖

≤‖eT(t)‖l2[‖y(t-τ(t))‖+‖x(t-τ(t))‖]

(13)

結(jié)合式(11)、(13)，可得

-k(t)eT(t)e(t)-α1eT(t)φ(t)

=‖eT(t)‖Ω-k(t)eT(t)e(t)-α1eT(t)φ(t)

(14)

計(jì)算V2(t)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合自適應(yīng)更新律(7)，有下式成立：

(15)

結(jié)合式(14)、(15)，可以得到

因此

(16)

通過引理1，可以得到當(dāng)t≥T*時(shí)，V(t)=0， 即誤差系統(tǒng)(5)在控制器(6)的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的，這里T*滿足(8)式

3 數(shù)值仿真

本小節(jié)給出算例仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)容錯(cuò)控制策略的有效性。

考慮2個(gè)不同的具有時(shí)變時(shí)滯的混沌系統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)：

根據(jù)所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器和自適應(yīng)更新率，選擇參數(shù)如下：取μ=0.51，α1=1.1，α2=1，β=1.2，l1=l2=1，時(shí)滯τ(t)=et/(1+et).

選擇系統(tǒng)的初始條件分別為(x11(0),x12(0)，x13(0))=(1,-1,1)，(x21(0),x22(0),x23(0))=(2,1,0), 自適應(yīng)控制器增益的初始條件為k(0)=1，圖1～2分別是Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的開環(huán)狀態(tài)軌跡，從圖1～2中可以看出2個(gè)系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象。

圖1 Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡 圖2 Chen系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡

圖3 同步誤差的變化軌跡 圖4 控制增益的變化軌跡

同步誤差系統(tǒng)的軌跡如圖3所示。從圖3可以看出，在t=6 s之前，誤差系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間自適應(yīng)控制器的作用下很快到達(dá)了平衡點(diǎn)，即驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)很快實(shí)現(xiàn)了同步；在t=6 s之后，由于系統(tǒng)突然出現(xiàn)了未知的卡死故障和執(zhí)行器的部分失效，導(dǎo)致同步誤差偏離了平衡點(diǎn)，但是在容錯(cuò)控制器的作用下，很快又收斂到平衡點(diǎn)，這說明所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器是有效的。同時(shí)圖4給出了控制增益的相應(yīng)變化軌跡。

4 結(jié) 論

本文研究了具有時(shí)滯混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步容錯(cuò)控制問題。考慮混沌系統(tǒng)具有時(shí)變時(shí)滯和出現(xiàn)故障問題，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的自適應(yīng)容錯(cuò)控制器?？刂圃鲆婧芎玫貙?shí)現(xiàn)了對(duì)誤差系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制，并且保證了執(zhí)行器出現(xiàn)故障時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)﹂]環(huán)系統(tǒng)有效控制，此外還得到了有限時(shí)間同步的過渡時(shí)間。