安徽省馬鞍山市第二中學(xué)鄭蒲港分校 陶尚明

安徽省馬鞍山市第二中學(xué) 劉向兵

在很多次的教學(xué)研討或者公開(kāi)課中，經(jīng)常聽(tīng)到教師們稱二次函數(shù)為基本初等函數(shù)，甚至也有的教師很詫異“為什么指數(shù)函數(shù)會(huì)被稱為超越函數(shù)？”本文將結(jié)合運(yùn)算與解析式談函數(shù)的分類與這兩者的聯(lián)系，給教師備課提供更多的素材，希望能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、運(yùn)算與解析式

在研究函數(shù)分類之前，很有必要了解一下“代數(shù)”這門(mén)學(xué)科。代數(shù)是研究數(shù)與字母的關(guān)系、性質(zhì)和運(yùn)算法則的分支學(xué)科，是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。解方程就是代數(shù)的一部分內(nèi)容，而初等代數(shù)的中心內(nèi)容就是解代數(shù)方程，在中學(xué)，我們以研究初等代數(shù)為主。要討論代數(shù)方程，首先遇到的一個(gè)問(wèn)題是如何把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列成帶有未知數(shù)的代數(shù)式，然后根據(jù)等量關(guān)系列出代數(shù)方程，所以初等代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容就是代數(shù)式。那么，代數(shù)式與本文中的函數(shù)分類究竟有什么樣的聯(lián)系呢？帶著疑問(wèn)，我們先從運(yùn)算談起。

1.運(yùn)算

2.解析式

圖1

二、函數(shù)相等

我們一起回顧一下《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中關(guān)于函數(shù)的定義：“如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等?！睆慕滩牡倪@段敘述來(lái)看，函數(shù)相等的定義很明確：如果函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，那么函數(shù)相等。筆者同意第二種觀點(diǎn)，對(duì)應(yīng)法則本質(zhì)就是自變量與因變量的配對(duì)法則，解析式只是一種表示方式，式的形不同，配對(duì)的法則不一定不同，如果表達(dá)式可以化簡(jiǎn)或者等價(jià)到同一種形式，那么對(duì)應(yīng)法則就是一樣的，這與代數(shù)中的式（也叫解析式）不一樣，其強(qiáng)調(diào)的是形，而函數(shù)注重對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)。例子中的兩個(gè)函數(shù)定義域一樣，定義域中每一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是完全一致，如圖2，因此這兩個(gè)函數(shù)相等。函數(shù)的實(shí)際配對(duì)沒(méi)有區(qū)別，像這樣的兩個(gè)函數(shù)不應(yīng)該被分成兩類不同的函數(shù)。

圖2

三、函數(shù)分類

1.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)

關(guān)于基本初等函數(shù)的提法，各個(gè)文獻(xiàn)有所不同，常見(jiàn)的有三種提法。第一種提法：基本初等函數(shù)包括常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)六大類函數(shù)；第二種提法：基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)五大類函數(shù)；第三種提法：基本初等函數(shù)包括常值函數(shù)y=1、恒等函數(shù)y=x、正弦函數(shù)y=sinx以及指數(shù)函數(shù)y=ex這四個(gè)函數(shù)。先不討論誰(shuí)更優(yōu)，那么怎么形成初等函數(shù)呢？文獻(xiàn)提出由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。而第二種提法下，初等函數(shù)是由常數(shù)與基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟得到的函數(shù)。其實(shí)第二種提法與第一種提法差距不大，無(wú)本質(zhì)區(qū)別。文獻(xiàn)中指出，如果是第三種提法，那么初等函數(shù)則是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)數(shù)乘、有限次四則運(yùn)算、有限次復(fù)合步驟及求反函數(shù)而得到的函數(shù)。目前主流說(shuō)法是第一種提法，之所以是第一種提法，筆者認(rèn)為有多方面因素，如對(duì)數(shù)的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)歷史上關(guān)于數(shù)的重大發(fā)明，一要突出其地位，二要尊重歷史，三是能夠讓中學(xué)生更直接地了解數(shù)學(xué)中最經(jīng)典的知識(shí)。而且為了給學(xué)生減負(fù)，很多知識(shí)在現(xiàn)有的中學(xué)階段已經(jīng)淡化，如數(shù)乘與反函數(shù)，中學(xué)教材中僅僅是在平面向量中提及數(shù)乘運(yùn)算，且在學(xué)習(xí)指對(duì)函數(shù)時(shí)簡(jiǎn)單提了一下反函數(shù)，甚至反三角函數(shù)直接不提。以上是筆者自己的觀點(diǎn)，不太成熟，有誤歡迎指正。

2.初等函數(shù)與非初等函數(shù)

由于函數(shù)注重對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)，根據(jù)運(yùn)算（與對(duì)應(yīng)法則相對(duì)應(yīng)），可以將函數(shù)分為初等函數(shù)與非初等函數(shù)，至于每一種函數(shù)的名稱與函數(shù)表達(dá)式在這里不再詳述，如圖3是函數(shù)的結(jié)構(gòu)分類。

圖3

本文有很多是筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，加入了很多自己的觀點(diǎn)，由于水平有限，不當(dāng)之處，希望專家或讀者批評(píng)指正，只求能夠解決疑惑和達(dá)成共識(shí)。雖然本文中函數(shù)的結(jié)構(gòu)分類不是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，但是至少能給讀者在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)提供更加完整的備課素材，同時(shí)科普一下數(shù)學(xué)文化知識(shí)，這就達(dá)到了筆者寫(xiě)這篇論文的初衷了。