李榮軍

[摘? 要] 居家學(xué)習(xí)時，學(xué)生遇到不會解的題，往往會想到借助于“小猿搜題”等網(wǎng)絡(luò)工具來進(jìn)行自主學(xué)習(xí). 那么該如何運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)工具進(jìn)行學(xué)習(xí)，疫情之下，這樣的問題迫在眉睫. 基于“互聯(lián)網(wǎng)+”與“人工智能”的背景下，以可視化技術(shù)為輔助，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方式，以期解決好居家的深度學(xué)習(xí)，以提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 居家學(xué)習(xí);網(wǎng)絡(luò)智能;深度研題;自主學(xué)習(xí)

問題背景

居家學(xué)習(xí)時，學(xué)生遇到不會解的題或者解題過程復(fù)雜的問題時，在沒有老師的指導(dǎo)、同伴互助時，往往會想到借助于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間（小猿搜題、作業(yè)幫、智學(xué)網(wǎng)等）來進(jìn)行學(xué)習(xí)，而這樣的學(xué)習(xí)若是沒有教師的指導(dǎo)，學(xué)生可能會變成“搬運(yùn)工”，從網(wǎng)絡(luò)上“搬運(yùn)”到紙質(zhì)作業(yè)上. 這樣的搬運(yùn)，沒有知識的內(nèi)化，沒有思維的積淀，能力更得不到提升，立德樹人又從何談起呢？那么該如何運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間進(jìn)行學(xué)習(xí)，尤其是疫情之下，這樣的問題迫在眉睫. 基于“互聯(lián)網(wǎng)+”與“人工智能”的背景下，以可視化技術(shù)為輔助，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方式，以期解決好居家的深度學(xué)習(xí)，以提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)過程

1. 教學(xué)目標(biāo)：（1）基于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間，教會學(xué)生運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間搜集答案;

（2）學(xué)會歸納、整理問題的解決方法;

（3）掌握對題目解法進(jìn)行分析、研究以及提煉數(shù)學(xué)思維的方法;

（4）培養(yǎng)學(xué)生的四基四能、質(zhì)疑精神等，提升學(xué)生的邏輯推理等核心素養(yǎng).

2. 教學(xué)重難點(diǎn)：在人工智能與可視化的基礎(chǔ)上，研究問題的方法.

3. 教學(xué)工具：除常規(guī)教學(xué)工具外，還需要硬件準(zhǔn)備：手持移動工具（手機(jī)、平板），軟件準(zhǔn)備：小猿搜題、作業(yè)幫、幾何畫板等.

4. 教學(xué)環(huán)節(jié)：

（1）例題展示，搜題操作

（2）解法研究，弄清一解

（3）解法探究，多維求解

（4）質(zhì)疑探究，把握正道

（5）課堂總結(jié)，加深理解

（6）課后實踐，自行鞏固

5. 例題講解

（1）例題展示，搜題操作

例1：已知橢圓 + =1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點(diǎn)A在以原點(diǎn)O為圓心（如圖1），OF為半徑的圓上，求（1）PF的長度;（2）點(diǎn)P的坐標(biāo).

問題1：我們大家在求解點(diǎn)P的坐標(biāo)時，老師發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)沒有完成，若是在家里面自主學(xué)習(xí)時，沒有老師的幫助，沒有同伴的互助，大家怎么辦呢？

設(shè)計意圖：本題是從學(xué)生作業(yè)中篩選出來的一道題，絕大部分學(xué)生對點(diǎn)P的坐標(biāo)這一問題沒有作答，說明學(xué)生對第二個問題無從下手，毫無解法，在居家學(xué)習(xí)中類似的問題也會出現(xiàn). 對于問題的解答，在沒有老師的幫助、同伴的互助時，學(xué)生的第一反應(yīng)則是利用人工智能軟件來進(jìn)行學(xué)習(xí)，由此引出本節(jié)課的課題《基于人工智能與可視化下的高中數(shù)學(xué)居家學(xué)習(xí)指導(dǎo)課》.

（2）解法研究，弄清一解

問題2：對于搜出的解題過程，老師有些不明白，還請各位同學(xué)不吝賜教. “設(shè)點(diǎn)P（m，n），可得3- m=4（圖2）”其中的等式是如何得到的呢？

設(shè)計意圖：在學(xué)生通讀答案的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行提問，點(diǎn)出學(xué)生理解的難點(diǎn). 學(xué)生理解的難點(diǎn)是第（2）問解法中所呈現(xiàn)的等式“3- m=4”，這個等式其實是焦半徑公式的運(yùn)用，學(xué)生沒有學(xué)過，而智能軟件提供的答案是人工后臺解析而來的，有時只會提供最優(yōu)解，對學(xué)生而言是一頭霧水，不知道其中的緣由，所以需要對此解法進(jìn)行深入研究. 通過這個問題的研究，指導(dǎo)學(xué)生讀懂答案，研究解法. 經(jīng)過教師的引導(dǎo)，等式“3- m=4”可以由第二定義轉(zhuǎn)化而來，得出解法1，而在新課標(biāo)中，圓錐曲線的統(tǒng)一定義已經(jīng)淡化，顯然這樣的解答不屬于新課標(biāo)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，故不能幫助學(xué)生形成通解通法.

（3）解法探究，多維求解

問題3：上述解法設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行求解，一定意義上是待定系數(shù)法的體現(xiàn)，你還能發(fā)現(xiàn)什么解法呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考運(yùn)用構(gòu)造方程組求解，本題可借助點(diǎn)P在橢圓上與PF的長度為2，構(gòu)建關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，從而形成解法2. 教師引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的解法，主要是幫助學(xué)生學(xué)會自我學(xué)習(xí)、探究解法，同時告訴學(xué)生，通過搜題軟件搜出的解答并不一定是學(xué)生所能掌握的方法，學(xué)生需要掌握的方法需要重新建構(gòu)，顯然在解法1的基礎(chǔ)上，學(xué)生是能夠做到的，而且這樣的解法具有普遍性，是通解通法的體現(xiàn). 增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣. 但這樣的解法又不如解法1來得簡潔，為優(yōu)化解法提供了機(jī)會.

問題4：剛剛我們從解析的角度求解了點(diǎn)P的坐標(biāo)，但我們發(fā)現(xiàn)計算要求比較高，事實上求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)就是求解點(diǎn)P到x軸的距離，我們可以過點(diǎn)P作x軸的垂線（如圖3），此時即求PH的長度，如何求解這個長度呢？

圖3

設(shè)計意圖：解析法思維比較直接，但計算要求比較高，學(xué)生在計算過程中容易出現(xiàn)計算錯誤的情況. 解析法主要是從代數(shù)角度進(jìn)行研究問題，計算量大，這樣的解法不符合新課標(biāo)的“多思維、少計算”的方向，故需要對剛才解法進(jìn)行優(yōu)化. 優(yōu)化的宏觀角度一般是幾何與代數(shù)兩個方面，代數(shù)法已經(jīng)使用過了，接下來引導(dǎo)學(xué)生從幾何法的角度去研究問題，此時將PH放入在Rt△PHF中進(jìn)行研究即可，因為PH=PF·sin∠PFH，所以只要求出sin∠PFH，可以通過構(gòu)建直角三角形輕松求解. 很明顯，此時的解法是在第二個解法基礎(chǔ)上的優(yōu)化，計算量較小，對圖形的研究相對較多，符合了當(dāng)前新課標(biāo)的方向. 此解法引導(dǎo)了學(xué)生形成“解析幾何”要遵循“先幾何，后解析”的基本思路，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、“斜化直”等重要的思想，提升學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng). 進(jìn)一步也告訴學(xué)生，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間能幫助我們大家學(xué)習(xí)，但不能完全依賴人工智能，不能僅僅做人工智能的“搬運(yùn)工”，而是要運(yùn)用我們大家的頭腦進(jìn)行加工，只有隨著加工不斷深入，大家的學(xué)習(xí)才會變得更有深度，才能將知識進(jìn)一步內(nèi)化，從而養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、深入思考的良好習(xí)慣.

【總結(jié)1】在人工智能的背景下，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間能夠快速、及時地提供給學(xué)習(xí)者很多的資源（文本、視頻等），但這些資源不一定適合于學(xué)習(xí)者，這就需要學(xué)習(xí)者對問題的解法進(jìn)行深入研究，可以從方程思路、“先幾何，后解析”、數(shù)形結(jié)合等角度進(jìn)行析題、研題，探究出具有普適性的通解通法、優(yōu)解優(yōu)法，從而養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、深入思考的良好習(xí)慣.

（4）質(zhì)疑探究，把握正道

例2：已知a，b，c∈（0，+∞），且a

通過多款軟件搜出來的結(jié)果，解法基本一致，具體解法為：以a，b，c為三邊構(gòu)造三角形，并且ac恒成立，a+b=（a+b）· + =10+ + ≥16，故c<16. 又因為a ， > ，故 + > ，所以c>10. 綜上：c∈（10，16）.

設(shè)計意圖：請學(xué)生通過不同的搜題軟件進(jìn)行搜題，都得出了相同的解答過程. 有些學(xué)生通過閱讀文本資料，讀懂了本題的解答，還有些學(xué)生先自行求解了本問題，解答結(jié)果和搜出來的答案一樣，答案得到了肯定. 本題從三角形的性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)兩個角度求出了c的上界與下界，從而得出了答案. 通過本題的搜題，告訴學(xué)生一個事實，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺多為資本的運(yùn)作，力求質(zhì)量的同時，也希望成本最低，所以就出現(xiàn)產(chǎn)品共享的現(xiàn)象，也就容易存在同一數(shù)學(xué)問題多途徑求解少的現(xiàn)象. 例1也存在此現(xiàn)象，本題更為突出一些.

問題5：基于a，b，c∈（0，+∞）和 + =1這兩個條件，我們可以取a=19，b= ，此時為了滿足a16的例子嗎？[1]這說明了什么？

設(shè)計意圖：學(xué)生通過體驗尋找特殊例子的過程，從特殊值的角度去辨別答案的正誤，引發(fā)學(xué)生去思考，從而得出結(jié)論，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的資源不一定就是正確的，是有可能錯誤的，而且在產(chǎn)品共享的情況下，源頭錯誤，就會導(dǎo)致鏈條上的產(chǎn)品全部錯誤，對師生的學(xué)習(xí)會產(chǎn)生極大的危害. 這個問題的解決培養(yǎng)了學(xué)生從特殊到一般的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神，在認(rèn)知上導(dǎo)致了沖突，激發(fā)興趣，為后續(xù)問題的求解做準(zhǔn)備.

問題6：本道題一共出現(xiàn)了3個變量（a，b，c∈（0，+∞）），當(dāng)變量較多時，我們可以從減元的角度去解決問題，基于這樣的思路，應(yīng)如何去解決本題？

設(shè)計意圖：通過減元思路，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生研究求解之道，即題目中可以得知a，b，c滿足的不等式有ac，由于a，b，c∈（0，+∞），對上述不等式組中的第一個不等式兩邊同時除以a，第二個不等式兩邊同時除以b，第三個不等式兩邊同時除以c，即得到如下不等式組.

即為 >1， >1， + >1， ， >0，令 =x， =y，原不等式組可轉(zhuǎn)化為x>1，y>1， + >1.

題意中的 + =1變?yōu)閏= + ，即為目標(biāo)函數(shù)c=x+9y.

原題即變?yōu)椋阂阎獂，y滿足不等式x>1，y>1， + >1，求c=x+9y的取值范圍. 借助幾何畫板，對動直線c=x+9y進(jìn)行平移，當(dāng)經(jīng)過不等式對應(yīng)區(qū)域時（如圖4），則可以得到c的取值范圍為（10，+∞），充分說明了答案的錯誤性，借助了幾何思路解決了問題，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想. 這種解法是基于線性規(guī)劃的思想方法來進(jìn)行求解的，是新課標(biāo)已經(jīng)明確刪除的內(nèi)容，所以此處應(yīng)是教師運(yùn)用幾何畫板的對問題求解展示過程，只需要學(xué)生了解即可，所以還得去尋找本題錯誤解法的緣由，引發(fā)學(xué)生思考. 同時教師運(yùn)用幾何畫板將靜態(tài)的、抽象的符號變成了動態(tài)的圖形，是將抽象數(shù)學(xué)的可視化過程，給學(xué)生做了很好的示范，教給了學(xué)生一種可視化與數(shù)學(xué)實驗的工具，為學(xué)生以后的自我研題提供了途徑.

問題7：請大家逐層閱讀、分析，錯誤解法是在哪一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對人工智能提供解法的每一步進(jìn)行閱讀、分析，通過逐層分析可以發(fā)現(xiàn)錯誤原因應(yīng)該是在“因為a，b，c為三邊構(gòu)造三角形，并且ac恒成立”這一句話上. 若a，b，c為三邊構(gòu)造成三角形，則一定有a+b>c成立，而搜題軟件提供的答案是要滿足a+b>c恒成立，即為（a+b） >c. 這兩者之間并不是充要條件，也就是在對題意轉(zhuǎn)化時，出現(xiàn)了條件的不等價轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了本題的錯誤. 本題的正確轉(zhuǎn)化應(yīng)為“存在a>0，b>0，c>0使得a+b>c成立”. 通過問題的求解過程，學(xué)生獲得了成功，收獲了喜悅，培養(yǎng)學(xué)生從等價變形的角度進(jìn)行析題、研題的方法.

【總結(jié)2】 通過本題的探究，我們可以發(fā)現(xiàn)在人工智能時代，網(wǎng)絡(luò)資源也會存在錯誤的情況，正如古語所說的那樣“盡信書不如無書”，我們要有質(zhì)疑的精神. 面對疑問，大家可以從特殊入手，借助幾何畫板、GGB等數(shù)學(xué)實驗工具，從命題的充分必要性等角度進(jìn)行析題、研題，逐步回歸到一般.

（5）課堂總結(jié)，加深理解

本節(jié)課我們認(rèn)識到網(wǎng)絡(luò)資源存在的問題，可以用相應(yīng)的方法去析題、研題.

（6）課后實踐，自行鞏固

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=ex-e-x+x3+3x，若f（2a-1）+f（b-1）=0，求 + 的最小值.

教學(xué)反思

1. 居家指導(dǎo)課的源

本節(jié)課是基于學(xué)生居家學(xué)習(xí)遇到不會解的題或者解題過程復(fù)雜時，在沒有老師的指導(dǎo)、同伴互助時，往往會想到借助于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間（小猿搜題、作業(yè)幫、智學(xué)網(wǎng)等）來進(jìn)行學(xué)習(xí). 這樣的學(xué)習(xí)若是沒有教師的指導(dǎo)，學(xué)生可能會變成“搬運(yùn)工”，從網(wǎng)絡(luò)上“搬運(yùn)”到紙質(zhì)作業(yè)上，這樣的搬運(yùn)，沒有知識的內(nèi)化，沒有思維的積淀，能力更得不到提升，學(xué)習(xí)并沒有真正發(fā)生. 基于人工智能，該如何運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間進(jìn)行學(xué)習(xí)，尤其是疫情之下，這樣的問題迫在眉睫.

2. 人工智能解析存在的常見問題

學(xué)生居家自主學(xué)習(xí)更多的是解題，遇有不能解決的問題時，往往會運(yùn)用人工智能軟件進(jìn)行答案的搜集，搜出的答案有時運(yùn)用了新課標(biāo)中已經(jīng)刪除的知識進(jìn)行解題，導(dǎo)致學(xué)生看不懂;又或者是解題方法比較單一，不具有普適性，不具有通解通法的性質(zhì);又或者人工智能提供的答案運(yùn)算量大，不是優(yōu)解優(yōu)法;又或者人工智能給出的答案是錯誤的，且具有迷惑性……，而往往學(xué)生會盡信于網(wǎng)絡(luò)上的答案，成了答案的搬運(yùn)工. 基于上述問題，教師需要對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)會辨認(rèn)答案的正誤、方法的優(yōu)劣等等，可以從特殊值的角度去辨認(rèn)答案的真?zhèn)?，也可以從不同角度去解決同一道題，也還可以在原來解答的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化等等，從而學(xué)會深度學(xué)習(xí).

3. 學(xué)法指導(dǎo)讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生

在人工智能的背景下，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間能夠快速、及時地提供給學(xué)習(xí)者很多的資源（文本、視頻等），但這些資源不一定適合于學(xué)習(xí)者，這就需要學(xué)習(xí)者對問題的解法進(jìn)行深入研究. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生從方程思路、 “先用幾何的眼光看待問題，再用代數(shù)的手段解析問題”、 數(shù)形結(jié)合等角度進(jìn)行析題、研題，探究出具有普適性的通解通法，優(yōu)解優(yōu)法. 面對疑問，可以從特殊入手，借助幾何畫板、GGB等數(shù)學(xué)實驗工具，從命題的充分必要性等角度進(jìn)行析題、研題，逐步回歸到一般，從而實現(xiàn)問題的深入認(rèn)識，內(nèi)化為自身的知識架構(gòu). 中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作其實就是中學(xué)生自身不斷反省、總結(jié)、提升的過程，學(xué)生在寫作中不斷發(fā)現(xiàn)新問題[2]，學(xué)生運(yùn)用人工智能探索之后，可以將探索思考的內(nèi)容及時整理、做筆記、寫反思、寫小論文等，通過寫作在已經(jīng)探索的基礎(chǔ)上，從而去發(fā)現(xiàn)更深層次的問題并進(jìn)行解決，從而培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、深入思考的良好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的精神，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 王平 彭飛. 小猿搜題，你真的會用嗎？[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（07）.

[2]? 彭飛. 中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作，教學(xué)相長總相宜[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（03）.