江蘇省太倉市教師發(fā)展中心 陸紅力

初中數(shù)學課程標準指出：數(shù)學課程應體現(xiàn)基礎性、普及性、發(fā)展性，使數(shù)學教育面向全體學生，實現(xiàn)不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。新課程改革也提出了閱讀材料的重要性，目前大部分教師與學生雖然認同，但對閱讀材料的重視度不高。筆者在一次研討活動中觀摩了一堂研究課“幾種常見方程的解法辨析”，現(xiàn)結合此研究課談談自己的設計與思考。

一、教學內容及設想

蘇科版九年級上冊在第1章“一元二次方程”后安排了一個閱讀材料“各類方程的解法”，首先回顧了各類方程的解法，包括一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程，各類方程的解法不盡相同，但是都有一個共同的基本數(shù)學思想——轉化，把未知轉化為已知，然后再去解新的方程，如一元三次方程、無理方程。

教師應以各種不同的方程為載體，引導學生歸納出轉化的數(shù)學思想方法，讓學生根據(jù)求解方程的最終目標來確定解題步驟，從而掌握解題方法，并能運用這些方法解一些新的方程。在核心素養(yǎng)的背景下，教師不僅要關注常見方程的求解，更要挖掘其中的共同特征，歸納出共性方法，實現(xiàn)知識技能教學向素養(yǎng)教學的轉變。

二、基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學目標

此研究課設計的教學重點是讓學生再次經(jīng)歷解各類方程的方法，使學生對各種方程的解法更加熟悉，關注更多的是知識層面，而對數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)卻不足。筆者參考《初中數(shù)學課程標準》中數(shù)學學科的核心素養(yǎng)，將教學目標重新優(yōu)化，確定如下教學目標：

（一）熟練掌握常見方程的解法，提高學生的數(shù)學運算能力。

（二）歸納總結常見方程的解法和步驟，感悟解方程過程中蘊含的數(shù)學思想方法，提高學生的歸納反思能力。

（三）類比常見方程的解法，引導學生自主探索高次方程、多元方程、無理方程的解法，培養(yǎng)學生邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)和邊學習邊思考的科學態(tài)度。

（四）在合作交流中，培養(yǎng)學生傾聽與交流，發(fā)展學生的團隊意識，培養(yǎng)正確的價值觀。

修改后的教學目標使學生對方程這部分內容有了更清晰的脈絡，而且為今后學習更復雜的方程打下堅實的基礎。教會學生解方程的基本思想方法，這樣的教學不僅讓學生學會解方程的一般步驟，更重要的是關注了學生的實踐創(chuàng)新，發(fā)展了學生的科學素養(yǎng)與人文素養(yǎng)。

三、基于教學目標的教學設計

基于以上教學分析和教學目標，可以調整教學設計，設計如下教學活動。

問題1：我們學過哪些方程？

回答：一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程、分式方程。

問題2：從一元一次方程到二元一次方程發(fā)生了怎樣的變化？

回答：增加了未知數(shù)。

問題3：我們舉一個一元一次方程的例子，比如：x+1=2。如果把1換成y，變式為一個二元一次方程：x+y=2，那么這兩個方程的解是怎樣的？

回答：方程x+1=2，通過移項得x=1，而方程x+y=2有無數(shù)多個解。

問題4：如果要確定方程x+y=2中的x，y的值，還需要添加什么條件？

問題5：這個方程組如何求解？

回答：可以通過加減消元法或者代入消元法，將二元一次方程組轉化為一元一次方程。

問題6：如果是三元一次方程x+y+z=2，我們還需增加幾個關系式才能確定x，y，z的值？

問題7：如何求解？

回答：可以通過加減消元法或者代入消元法，將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，最后再轉化為一元一次方程。（學生自主解方程組）

問題8：如果是四元呢？

回答：一般需要四個關于未知數(shù)的方程組成四元方程組才能確定未知數(shù)的值，解四元方程用加減消元或代入消元的方法逐步降次，最終轉化為一元一次方程。

設計意圖：數(shù)學課堂教學既要完成知識的復習，也要向學生滲透策略性知識。上面一系列的問題串，通過增元，形成由一元、二元到多元的延伸，通過親歷解方程組的過程，感受利用加減消元或代入消元的手段達到多元化歸一元的過程，體會消元的數(shù)學思想方法。通過系列活動，讓學生感受方程之間的聯(lián)系、解方程的基本思想，從而避免學生學習的盲目性，增強學習的主動性，提升學生的歸納反思能力。

問題9：從一元一次方程到一元二次方程發(fā)生了怎樣的變化？

回答：增加了次數(shù)。

問題10：由方程x+1=2，增加次數(shù)變式為一元二次方程：x2+x=2，如何求解？

回答：可以用因式分解法、配方法、公式法進行求解。

問題11：解一元二次方程的思想方法是什么？

回答：通過因式分解、開平方等將一元二次方程轉化為一元一次方程進行求解。

問題12：如果再增加次數(shù)，變式為一元三次方程：x3+x2=2x，該如何求解？

回答：先移項，再因式分解，轉化為x(x+2)(x?1)=0，得x=0或x+2=0或x?1=0，從而求得方程的解為x1=0，x2=-2，x3=1。

設計意圖：以上問題，通過一次、二次到多次的延伸，親歷解方程的過程，讓學生利用因式分解、開平方的方法達到高次化歸一次的過程，體會降次的數(shù)學思想方法。在解惑中獲得樸素而靈動的思維，這種具有遷移性和生長性的思維，促使學生形成邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)。

問題13：從一元一次方程到分式方程發(fā)生了怎樣的變化？

回答：未知數(shù)的位置發(fā)生了變化。

問題14：由方程x+1=2，通過位置變化變式為分式方程：，如何求解？

回答：可以利用去分母，方程兩邊同時乘(x+1)，可得：1=2(x+1)，由此把分式方程轉化為一元一次方程。

問題15：分式方程為何會出現(xiàn)增根？

回答：去分母后的整式方程與原分式方程不是同解方程，擴大了未知數(shù)的取值范圍，所以分式方程解后需要檢驗。

問題16：解分式方程的基本思想方法是什么？

回答：需要把分母去掉，所以利用去分母的方法將分式方程轉化為整式方程，最終都化歸為一元一次方程進行求解。

問題18：這樣的方程叫什么方程？如何求解？

回答：未知數(shù)改變位置到根號內，類比無理數(shù)，可叫無理方程。求解時，只需將根號去掉，可以將方程兩邊同時平方，得到：x+1=4，解得x=3。

問題19：無理方程為何也會出現(xiàn)增根？

回答：方程兩邊平方后形成的整式方程與原無理方程不是同解方程，也擴大了未知數(shù)的取值范圍，因此解無理方程也需要檢驗。

問題20：解無理方程的基本思想方法是什么？

回答：需要把根號去掉，利用方程兩邊平方的方法將無理方程轉化為整式方程，最終都化歸為一元一次方程進行求解。

設計意圖：通過改變未知數(shù)的位置，自然生長出無理方程，類比分式方程求解過程、分式方程出現(xiàn)增根的原因來說明無理方程產(chǎn)生增根的理由。利用類比思想教學，讓學生邊學習邊思考，形成良好的科學態(tài)度和基本素養(yǎng)。

本節(jié)課板書如下：

四、基于核心素養(yǎng)教學設計的思考

1.借助閱讀材料，創(chuàng)造性設計教學活動

蘇科版教材中的許多閱讀材料都是教學內容的延伸，教學時需要創(chuàng)造性地使用好此材料，把學生的“最近發(fā)展區(qū)”作為課堂教學中的教學情境，即設計好一節(jié)課的起點，再精心設計一系列問題串，將所要復習的知識串聯(lián)起來，達到全面復習的目的。本課例中從最簡單的一元一次方程“x+1=2”出發(fā)，通過增元、增次、改變未知數(shù)位置的線索將所學的方程串聯(lián)起來，再引出需要探究的高次方程和無理方程，這種以新授課的形式進行復習關注了學生的探究過程，真正使數(shù)學教學走向以“素養(yǎng)”為本的教學活動。

2.反思閱讀材料功能，培養(yǎng)數(shù)學思維能力

閱讀材料需要學生認真閱讀后再總結反思，教師可以通過材料中問題的升華和探索后思想方法的提煉總結，把教學的內涵提升到一個新的高度，這是拓展學生視野和提升學生數(shù)學思維的有效方法。本課例中通過解各種方程（組），一方面提升學生的數(shù)學運算能力，另一方面，利用加減或代入法消元、利用因式分解或開平方法降次、利用去分母或乘方等方法還原未知數(shù)的位置，通過類比觸類旁通，讓學生體會問題的核心和本質，歷練了思維，同時又提升了學生的核心素養(yǎng)。

3.感悟閱讀材料內涵，體現(xiàn)學科育人價值

閱讀材料不僅僅承載著知識的獲取、學生學科素養(yǎng)的提升，更是落實立德樹人的根本任務，這是數(shù)學課堂教學設計的靈魂。本課例中以一元一次方程為起點，解方程的過程又都化歸為一元一次方程，可謂“萬物萬形，其歸一也”。同時，通過設計思維層次不斷提高的問題，培養(yǎng)學生不畏艱難、勇于探究、堅韌執(zhí)著的精神，在分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)學生的理性精神和團隊合作精神，發(fā)揮了學科育人的價值。