浙江省義烏市佛堂鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 王 妃

顯而易見(jiàn)，追問(wèn)能夠促進(jìn)學(xué)生縱深式、前進(jìn)式思考，學(xué)生可以從淺層學(xué)習(xí)過(guò)渡到深度學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)不僅僅停留在對(duì)知識(shí)的理解，而是發(fā)展為知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建、記憶印象的加深以及各種能力的同步深層發(fā)展。

一、在概念構(gòu)建中追問(wèn)

數(shù)學(xué)書(shū)中有關(guān)數(shù)學(xué)概念的介紹往往只是簡(jiǎn)單的兩行字，但是背后卻蘊(yùn)藏著比較深刻的數(shù)學(xué)道理。老師需要不斷提出一個(gè)又一個(gè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)帶領(lǐng)學(xué)生揭示背后的道理，目的是讓學(xué)生理性認(rèn)識(shí)概念。

例如，初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)第六章《反比例函數(shù)》這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，這節(jié)課最重要的數(shù)學(xué)概念就是反比例函數(shù)。老師可以追問(wèn)以下三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：只有滿(mǎn)足y=表達(dá)式的函數(shù)才能叫作反比例函數(shù)，對(duì)嗎？

意圖：y=這個(gè)數(shù)學(xué)式子可以轉(zhuǎn)換為其他的形式。我們可以把它變成或者xy=k的形式。對(duì)有的學(xué)生來(lái)說(shuō)，稍稍換一個(gè)形式就看不出來(lái)了。之所以題目寫(xiě)的是，主要是想突出因變量y和自變量x成反比關(guān)系。另外兩個(gè)表達(dá)式中也可以看出這種關(guān)系，只是沒(méi)有那么明顯。

意圖：很多學(xué)生在判斷反比例函數(shù)時(shí)都會(huì)忘記某個(gè)判定條件：k是常數(shù)，k≠0。如果k=0，這個(gè)函數(shù)就是y=0，它就是一個(gè)常函數(shù)，不是反比例函數(shù)。

意圖：我們?cè)谂卸ê瘮?shù)表達(dá)式時(shí)，要找準(zhǔn)因變量和自變量。這里的自變量是x2，因變量是y，所以y與x2成反比，但y和x不是反比例的函數(shù)關(guān)系，我們不可以把它判定為反比例函數(shù)。

從追問(wèn)中就可以看出，雖然是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念，但是如果想要把它理解透徹還是比較困難的。

二、在定理推導(dǎo)中追問(wèn)

深度學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移與應(yīng)用。在新的問(wèn)題情境中，學(xué)生要利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，通過(guò)解決問(wèn)題，自主尋找、歸納解決問(wèn)題的新方式和新策略，助力數(shù)學(xué)的自我學(xué)習(xí)。

例如，初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)上冊(cè)第二章《探索勾股定理》這一課的學(xué)習(xí)。

師：已知直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，如何求其斜邊的長(zhǎng)度？

師：通過(guò)剛才大家的探索，發(fā)現(xiàn)直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，斜邊為5，那么三條邊之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

生：通過(guò)各種猜想和驗(yàn)證，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。將直角三角形的兩條直角邊分別記為a和b，斜邊記為c，則關(guān)系為a2+b2=c2。

師：已知直角三角形ABC的兩條邊分別為3和4，那么第3條邊的長(zhǎng)為多少？

生：第3條邊的邊長(zhǎng)為5。

生：不，第3條邊的邊長(zhǎng)不是5。我們要使用分類(lèi)討論的思想來(lái)解決這道問(wèn)題，如果3和4都是兩條直角邊的長(zhǎng)度，那么斜邊為5；如果是斜邊的長(zhǎng)度是4，那另一條直角邊的長(zhǎng)度為 。

在以上提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)課堂可以分為四個(gè)步驟，分別是：嘗試猜想，分割圖形，理性驗(yàn)證，得出結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密性。

三、在性質(zhì)探究中追問(wèn)

數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要前提。在數(shù)學(xué)性質(zhì)的探究中，學(xué)生會(huì)對(duì)現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的信息進(jìn)行重新整理和歸納，構(gòu)建更為完整豐富的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系。

例如，初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)上冊(cè)第二章《等腰三角形的性質(zhì)定理》這一節(jié)課的學(xué)習(xí)。

師：我們已知等腰三角形有一條性質(zhì)—等腰三角形的兩個(gè)底角相等。你能夠利用已有的基本事實(shí)和定理來(lái)證明這個(gè)結(jié)論嗎？

教師見(jiàn)學(xué)生都沒(méi)有思路，于是繼續(xù)追問(wèn)。

師：我們?cè)纫矊W(xué)過(guò)等腰三角形，等腰三角形有什么性質(zhì)呢？

生：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。它的對(duì)稱(chēng)軸是頂角平分線所在的直線。

師：通過(guò)這些性質(zhì)，你想到了什么方法呢？

生：我發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)，都和邊、角有關(guān)，我們所要證明的結(jié)論也和角有關(guān)。在三角形里面，有邊，也有角，我想到我們?cè)葘W(xué)習(xí)過(guò)的全等三角形的判斷。或許我們可以用前面的知識(shí)來(lái)證明今天學(xué)習(xí)的結(jié)論。

師：如何構(gòu)造出兩個(gè)三角形呢？

生：題目中需要證明的是∠B=∠C，這兩個(gè)角應(yīng)該在不同的三角形中，我們得添加一條特殊的輔助線，頂角平分線是等腰三角形中一條特殊的線。

教師板書(shū)或用幻燈片演示作出∠BAC的平分線。

師：現(xiàn)在已經(jīng)作出輔助線了，同學(xué)們知道怎么證明嗎？

生：記角平分線和BC邊的交點(diǎn)為D，因?yàn)槲覀冏鞯氖墙瞧椒志€，所以∠BAD=∠CAD，而AD是一條公共邊，AB和AC相等，所以我們可以用邊角邊（SAS）來(lái)證明三角形全等，從而得出∠B=∠C的結(jié)論。

師：我們還可不可以添加別的輔助線來(lái)證明呢？

生：或許我們也可以作底邊BC的中線，將BC的中點(diǎn)和頂點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造輔助線。

生：我覺(jué)得我們也可以作底邊的高。

師：那同學(xué)們不如按照我們剛剛討論的思想來(lái)完善后面兩種整理方法。

通過(guò)以上的追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生完整地思考并證明了本節(jié)課的定理，解決了課堂的重難點(diǎn)，起到了很好的教學(xué)效果。

四、在問(wèn)題解決中追問(wèn)

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最后一步，也是最關(guān)鍵的一步：應(yīng)用。老師要從一個(gè)特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)，提出一系列的問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生批判性思維、創(chuàng)造性思維和學(xué)科思維的深度發(fā)展。

例如，在教學(xué)初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)第二章《直線與圓的位置關(guān)系》一課時(shí)，書(shū)本給出了這樣一道例題：在碼頭A的北偏東60°方向有一個(gè)海島，離開(kāi)島中心P12海里范圍內(nèi)是一個(gè)暗礁區(qū)。貨船從碼頭A由西向東方向航行，行駛了10海里到達(dá)點(diǎn)B，這時(shí)海島中心P在北偏東45°的方向。若貨船不改變航向，則貨船會(huì)不會(huì)進(jìn)入暗礁區(qū)？

問(wèn)題一：如何理解“離海島中心P12海里范圍內(nèi)是一個(gè)暗礁區(qū)”這個(gè)條件？

意圖：這句話的意思是，以P為圓心，12海里為半徑畫(huà)圓。出題人在這里使用了一個(gè)小技巧，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言上設(shè)置了一個(gè)小小的陷阱。畫(huà)圓是解決這道問(wèn)題的關(guān)鍵。

問(wèn)題2：“若貨船不改變航向，會(huì)不會(huì)進(jìn)入暗礁區(qū)？”怎樣判斷貨船會(huì)不會(huì)進(jìn)入暗礁區(qū)？貨船沿直線航行，而暗礁區(qū)是一個(gè)圓，其實(shí)判斷的是直線與圓的位置關(guān)系。如果直線與圓相離，那么貨船就不會(huì)進(jìn)入暗礁區(qū)；如果直線與圓相切或者相交，那么它就會(huì)進(jìn)入暗礁區(qū)。

問(wèn)題3：這個(gè)問(wèn)題屬于實(shí)際應(yīng)用類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題。同學(xué)們，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是什么呢？

意圖：這個(gè)問(wèn)題的題干信息比較多，讀題是這類(lèi)題目最大的一個(gè)障礙。一般我們會(huì)使用數(shù)形結(jié)合的思想，將圖形和題目相結(jié)合來(lái)幫助我們解決問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的設(shè)定是要求學(xué)生能以一種更高的眼光來(lái)看待數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。我們不僅要解決一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，更要想辦法解決一類(lèi)的問(wèn)題，找到該類(lèi)問(wèn)題的共性。

總而言之，追問(wèn)也是老師和學(xué)生之間建立對(duì)話的過(guò)程，追問(wèn)能夠使課堂變得更加流暢、生動(dòng)、飽滿(mǎn)，使課堂的氛圍、學(xué)生的思維變得更加活躍。所以數(shù)學(xué)老師在追問(wèn)時(shí)要挑選合適的問(wèn)題，在合適的時(shí)機(jī)提出問(wèn)題，這樣才能使追問(wèn)變得更有價(jià)值和意義。