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        球面距離的向量求解方法及應(yīng)用

        2021-06-20 23:16:22山東省青島第二中學(xué)分校楊慶忠
        數(shù)學(xué)大世界 2021年13期
        關(guān)鍵詞:弦長(zhǎng)經(jīng)度經(jīng)緯度

        山東省青島第二中學(xué)分校 楊慶忠

        在計(jì)算球面上兩點(diǎn)間的球面距離時(shí),一般的方法是先求出以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弦長(zhǎng),再求出該弦在大圓中所對(duì)圓心角的大小,從而求出這兩點(diǎn)間的球面距離。而當(dāng)球面上兩點(diǎn)的經(jīng)緯度各不相同時(shí),用常規(guī)的方法求這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弦長(zhǎng)是比較麻煩的,而用向量求解就顯得比較簡(jiǎn)潔了。

        例如:求球面上兩點(diǎn)A(經(jīng)度為β,緯度為α),B(經(jīng)度為β,緯度為α)的球面距離(經(jīng)度中:東經(jīng)記為“+”,西經(jīng)記為“-”;緯度中:北緯記為“+”,南緯記為“-”;球半徑記為R)。

        所以球面上兩點(diǎn)A、B的球面距離為:R×∠AOB的弧度數(shù)。

        這種方法避免了立體幾何方面的線面關(guān)系的判斷,簡(jiǎn)單易用,在教學(xué)中收到了良好的效果。從結(jié)論來看,數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”“簡(jiǎn)潔美”在結(jié)論中也有充分的體現(xiàn)。

        當(dāng)然,對(duì)于簡(jiǎn)單類型(如同緯度或同經(jīng)度的問題),還是直接求解更方便一些。

        應(yīng)用實(shí)例:假如你要乘坐從廣州直飛洛杉磯的飛機(jī),設(shè)想一下,它需要沿著怎樣的航線飛行呢?如果知道兩地的經(jīng)緯度,據(jù)此你能計(jì)算出航程嗎?

        解析:經(jīng)查,廣州A的經(jīng)緯度為:東經(jīng)113°,北緯23°;洛杉磯B的經(jīng)緯度為:西經(jīng)118°,北緯34°。地球半徑R≈6370 km,球心記為O,如上圖,

        α1=23°,α2=34°,β1=113°,β2=-118°,

        ∴cos∠AOB=sinα1sinα2+cosα1cosα2cos(β1-β2)

        =sin 23°sin 34°+cos 23°cos 34°cos 231°

        ≈-0.26176115250823。

        ∴∠AOB≈1.835弧度,

        ∴A,B的球面距離≈1.835R≈1.835×6370=11689 km。

        答:廣州白云機(jī)場(chǎng)到洛杉磯飛行距離約為11689 km。

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